Determinare misure dell'impulso
Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiuto per questo esercizio, dal momento che non ho a portata di mano le soluzioni non capisco se il mio ragionamento è giusto. L'esercizio in questione è il seguente:
Dalla teoria so che questa funzione è quella che descrive una particella in una buca deltiforme di potenziale se considerassimo:
$ rho = 1/sigma $
Infatti se consideriamo il potenziale $ V(x) = alpha delta(x) $ dove il $ delta(x) $ è la delta di Dirac, piccata in $ x = 0 $. Se $alpha < 0$ e se trattiamo energie $E < 0$ (quindi stati legati), otteniamo proprio quella funzione (con costante di normalizzazione pari a $ A = sqrt(rho ) $ ). Però nella funzione c'è un 2 in più che non so come interpretare.
A questo punta dalla teoria so che l'energia dello stato legato è unica ed è $ E = ħ^2 rho ^2/(2m) $ Da qui mi ricavo l'unico esito dell'impulso che è: $ P = sqrt(2mE) = ħrho $
Secondo voi il ragionamento è giusto? Quel 2 come lo interpreto? Dovrei considerare $ rho = 1/(2sigma) $ ?
Dalla teoria so che questa funzione è quella che descrive una particella in una buca deltiforme di potenziale se considerassimo:
$ rho = 1/sigma $
Infatti se consideriamo il potenziale $ V(x) = alpha delta(x) $ dove il $ delta(x) $ è la delta di Dirac, piccata in $ x = 0 $. Se $alpha < 0$ e se trattiamo energie $E < 0$ (quindi stati legati), otteniamo proprio quella funzione (con costante di normalizzazione pari a $ A = sqrt(rho ) $ ). Però nella funzione c'è un 2 in più che non so come interpretare.
A questo punta dalla teoria so che l'energia dello stato legato è unica ed è $ E = ħ^2 rho ^2/(2m) $ Da qui mi ricavo l'unico esito dell'impulso che è: $ P = sqrt(2mE) = ħrho $
Secondo voi il ragionamento è giusto? Quel 2 come lo interpreto? Dovrei considerare $ rho = 1/(2sigma) $ ?
Risposte
No sei completamente fuori strada. La trasformazione che lega le funzioni d'onda delle due rappresentazioni è la trasformata di Fourier.
btw, la soluzione è:
\[
\psi(p) = \sqrt{\frac{2\sigma}{\pi \hbar}}\frac{1}{1 + p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}}
\]
e di conseguenza la (densità di) probabilità:
\[
P(p) = |\psi(p)|^2 = \frac{2\sigma}{\pi\hbar} \frac{1}{\left(1+p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}\right)^2}
\]
Da notare che il testo fornisce una funzione d'onda non normalizzata, e pertanto ho preliminarmente corretto il coeff di normalizzazione della funzione data.
\[
\psi(p) = \sqrt{\frac{2\sigma}{\pi \hbar}}\frac{1}{1 + p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}}
\]
e di conseguenza la (densità di) probabilità:
\[
P(p) = |\psi(p)|^2 = \frac{2\sigma}{\pi\hbar} \frac{1}{\left(1+p^2\frac{\sigma^2}{\hbar^2}\right)^2}
\]
Da notare che il testo fornisce una funzione d'onda non normalizzata, e pertanto ho preliminarmente corretto il coeff di normalizzazione della funzione data.
ok grazie lampo, quindi l'impulso trovato da me non ha nessun significato fisico?
Poi effettivamente hai ragione non ci avevo fatto caso, dal calcolo ho ottenuto una costante di normalizzazione pari a $sqrt(2)$. Quindi quel 2 di cui parlavo se ne va. Adesso sto provando a calcolare la trasformata di Fourier:
$ int_(-∞)^(∞) 1/(sqrt(2pisigma)) e^(-|x|/sigma)*e^(ikx) dx $
Però mi esce un risultato diverso dal tuo. Per calcolare l'integrale l'ho prima diviso in due parti: tra -∞ e 0 e poi tra 0 e ∞ per poter togliere il valore assoluto, però poi mi esce il risultato:
$ psi(k) = sqrt((2sigma)/(pi))(1/(k^2+sigma^2)) $
E poi considerando $k^2 = p^2/ℏ^2$ ottengo:
$ psi(p) = sqrt((2sigma)/(pi))(sigma/(p^2/ℏ^2+sigma^2)) $
che è diversa dalla tua. Però se invece considero che $rho = 1/sigma$ allora ho:
$ psi(p) = sqrt((2rho)/(pi))(1/(p^2/ℏ^2rho^2+1)) $
Che è molto più simile alla tua anche se mi manca un $ℏ$ al denominatore. Quindi forse intendevi $rho$ e non $ sigma$?
Quindi mi sembra di capire che il momento non è quantizzato ed è legato alla larghezza della buca di potenziale infinita (come è giusto che sia). Se avessimo aggiunto i tempi sarebbe cambiato qualcosa? quando posso vedere la funzione come somma di due onde propaganti con un impulso definito?
Poi effettivamente hai ragione non ci avevo fatto caso, dal calcolo ho ottenuto una costante di normalizzazione pari a $sqrt(2)$. Quindi quel 2 di cui parlavo se ne va. Adesso sto provando a calcolare la trasformata di Fourier:
$ int_(-∞)^(∞) 1/(sqrt(2pisigma)) e^(-|x|/sigma)*e^(ikx) dx $
Però mi esce un risultato diverso dal tuo. Per calcolare l'integrale l'ho prima diviso in due parti: tra -∞ e 0 e poi tra 0 e ∞ per poter togliere il valore assoluto, però poi mi esce il risultato:
$ psi(k) = sqrt((2sigma)/(pi))(1/(k^2+sigma^2)) $
E poi considerando $k^2 = p^2/ℏ^2$ ottengo:
$ psi(p) = sqrt((2sigma)/(pi))(sigma/(p^2/ℏ^2+sigma^2)) $
che è diversa dalla tua. Però se invece considero che $rho = 1/sigma$ allora ho:
$ psi(p) = sqrt((2rho)/(pi))(1/(p^2/ℏ^2rho^2+1)) $
Che è molto più simile alla tua anche se mi manca un $ℏ$ al denominatore. Quindi forse intendevi $rho$ e non $ sigma$?
Quindi mi sembra di capire che il momento non è quantizzato ed è legato alla larghezza della buca di potenziale infinita (come è giusto che sia). Se avessimo aggiunto i tempi sarebbe cambiato qualcosa? quando posso vedere la funzione come somma di due onde propaganti con un impulso definito?
Che è molto più simile alla tua anche se mi manca un ℏ al denominatore. Quindi forse intendevi ρ e non σ
no, confermo il risultato che ho riportato nel mio post.
Se avessimo aggiunto i tempi sarebbe cambiato qualcosa?
premesso che l'esercizio non specifica la dinamica del sistema, la risposta generica è lo stato evolverà nel tempo. Il come dipende dall'hamiltoniana. Hamiltoniane diverse forniranno risposte diverse.
Alcuni casi limite:
1) particella libera: nella base degli impulsi, la funzione d'onda evolve per un fattore di fase proporzionale al tempo t (supponendo lo stato dato al tempo zero). Nella base delle posizioni, si tratta di antitrasformare la funzione d'onda (cosa che dubito sia possibile fare analiticamente)
2) buca potenziale deltiforme: lo stato non evolve nel tempo (acquista un fattore di fase dipendente dal tempo) , essendo un autostato dell'energia
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