Determinare la Geodetica del cono
Questo esercizio di cui il mio libro riporta la soluzione è interessante. Seguendo la soluzione del libro (che più o meno mi pare l'unica strada possibile) affermo che (se i matematici non mi linciano per quello che sto per scrivere 
) l'elemento di lunghezza sulla superficie di un cono di apertura angolare $2alpha$, in coordinate polari, fissato l'angolo polare $theta = alpha$, è:
$dl^2 = dr^2 +r^2sin^2alpha d(phi)^2$
da cui deriva
$int(dl) = int (sqrt(r'^2 +r^2sin^2alpha))d(phi)$
che è il funzionale da minimizzare. Nè consegue l'equazione di Eulero:
$d/(dphi) [(r')/ (sqrt(r'^2 +r^2sin^2 alpha))] = (rsin^2alpha)/(sqrt(r'^2 +r^2sin^2alpha)$
e fin qui sono d'accordo. Ora però il libro dice.
"Questa equazione può essere integrata una volta ottenendo":
$(r^2sin^2alpha)/(sqrt(r'^2 +r^2sin^theta)) = k$
e questo passaggio non lo capisco. Proprio non so da dove sia venuto fuori. E poi il libro dice:
"Anche questa equazione può essere integrata a sua volta, ottenendo"
$r = K/(sinalpha*sin(phisinalpha -delta_0)$
Non capisco veramente che cosa abbia fatto. Chiedendo al mio professore, che poi è l'autore del libro, mi ha detto che K e delta sono le due costanti di integrazione che vengono fuori integrando, e poi mi ha detto che la frase "Può essere integrata" non significa che si deve calcolare l'integrale (???), e se ne è andato... insomma, qualcuno mi aiuta? almeno per la prima volta che integra...
) l'elemento di lunghezza sulla superficie di un cono di apertura angolare $2alpha$, in coordinate polari, fissato l'angolo polare $theta = alpha$, è:$dl^2 = dr^2 +r^2sin^2alpha d(phi)^2$
da cui deriva
$int(dl) = int (sqrt(r'^2 +r^2sin^2alpha))d(phi)$
che è il funzionale da minimizzare. Nè consegue l'equazione di Eulero:
$d/(dphi) [(r')/ (sqrt(r'^2 +r^2sin^2 alpha))] = (rsin^2alpha)/(sqrt(r'^2 +r^2sin^2alpha)$
e fin qui sono d'accordo. Ora però il libro dice.
"Questa equazione può essere integrata una volta ottenendo":
$(r^2sin^2alpha)/(sqrt(r'^2 +r^2sin^theta)) = k$
e questo passaggio non lo capisco. Proprio non so da dove sia venuto fuori. E poi il libro dice:
"Anche questa equazione può essere integrata a sua volta, ottenendo"
$r = K/(sinalpha*sin(phisinalpha -delta_0)$
Non capisco veramente che cosa abbia fatto. Chiedendo al mio professore, che poi è l'autore del libro, mi ha detto che K e delta sono le due costanti di integrazione che vengono fuori integrando, e poi mi ha detto che la frase "Può essere integrata" non significa che si deve calcolare l'integrale (???), e se ne è andato... insomma, qualcuno mi aiuta? almeno per la prima volta che integra...
Risposte
ammetto di avere stracciato diverse pagine del libro su cui stai studiando...
per quanto riguarda la prima integrazione suggerisco di ricondursi alla forma:
$r'' f(r)+r'g(r)+h(r)=0$
con f, g, h che NON contengano radici ma funzioni polinomiali...
una volta che l'hai fatto correttamente credo che si ricaverà facilmente quella roba....
vie più facili non me ne vengono in mente...
per quanto riguarda la prima integrazione suggerisco di ricondursi alla forma:
$r'' f(r)+r'g(r)+h(r)=0$
con f, g, h che NON contengano radici ma funzioni polinomiali...
una volta che l'hai fatto correttamente credo che si ricaverà facilmente quella roba....
vie più facili non me ne vengono in mente...
Hai studiato anche tu sul libro di Rossi?
Quindi dici che dovrei svolgere la derivata e poi cercare di riportare tutto a quella forma li?
Quindi dici che dovrei svolgere la derivata e poi cercare di riportare tutto a quella forma li?
yep...
ma non me lo sono inventato... ora non ce l'ho con me ma se guardi qualche pagina prima nella parte delle soluzioni fa dei passaggi simili in un contesto simile ... lì non salta 20 passaggi , ma solo 10 alla vota...
studiato per modo di dire..... magari quel libro mi sarà utile in seguito, ma a suo tempo mi fece innervosire parecchio: testi belli e difficili molti imposttibili per me (fin qui ok) ma le soluzioni commentate in fondo incomprensibili ed incomplete (a mio parere)...
ma non me lo sono inventato... ora non ce l'ho con me ma se guardi qualche pagina prima nella parte delle soluzioni fa dei passaggi simili in un contesto simile ... lì non salta 20 passaggi , ma solo 10 alla vota...
studiato per modo di dire..... magari quel libro mi sarà utile in seguito, ma a suo tempo mi fece innervosire parecchio: testi belli e difficili molti imposttibili per me (fin qui ok) ma le soluzioni commentate in fondo incomprensibili ed incomplete (a mio parere)...
son d'accordo con te riguardo l'inutilità didattica del libro. Tanto valeva inventarsi dei problemi da soli... però vabbè, io ho lui come professore e le sue lezioni sono belle. A volte tende a ritenere tutto banale e salta interi passaggi algebrici (come sul libro) giungendo alla conclusione...
In ogni caso giungo a questa relazione qui
$2ddotr(dotr +r^2sin^2\alpha) - 2dotr^2 +2rdotr-(2rsin^2alpha)(dotr +r^2senalpha)=0$
che non so se posso risolvere perché compare roba con esponenti
$2ddotr(dotr +r^2sin^2\alpha) - 2dotr^2 +2rdotr-(2rsin^2alpha)(dotr +r^2senalpha)=0$
che non so se posso risolvere perché compare roba con esponenti
dovrebbe essere sbagliato il tuo conto...
il punto è che ti deve venire fuori la stessa equazione differenziale che ottieni ponendo uguale a zero la derivata rispetto a \phi di quella che vuoi dimostrare è una costante.. (ovvero nel caso di $\alpha=\pi/2$ viene $r'' r-2r'^2-r^2=0$ che peraltro si risolve anche direttamente manipolandola un po' senza passare per integrali primi)
il punto è che ti deve venire fuori la stessa equazione differenziale che ottieni ponendo uguale a zero la derivata rispetto a \phi di quella che vuoi dimostrare è una costante.. (ovvero nel caso di $\alpha=\pi/2$ viene $r'' r-2r'^2-r^2=0$ che peraltro si risolve anche direttamente manipolandola un po' senza passare per integrali primi)
Passando alla trattazione delle geodetiche con metodi di geometria differenziale (simboli di Christoffel) ed usando le note formule relative alle geodetiche per le superfici di rotazione, si arriva ad integrali più facili (anche se un integrale finale è un po' laborioso).
Ci sarebbe, però, una via molto più elegante che sposta il problema sulla scelta di una opportuna parametrizzazione. Se si taglia il cono lungo una sua generatrice si ottiene una porzione di piano ... per cui, in questa parametrizzazione, le geodetiche sono delle rette ...
Ci sarebbe, però, una via molto più elegante che sposta il problema sulla scelta di una opportuna parametrizzazione. Se si taglia il cono lungo una sua generatrice si ottiene una porzione di piano ... per cui, in questa parametrizzazione, le geodetiche sono delle rette ...
Ho fatto i conti (sempre salvo errori ed omissioni) e ho trovato il procedimento tramite le equazioni differenziali proibitivo (sia con metodi variazionali che di geometria differenziale). Magari, con qualche trucco, che non sono riuscito a trovare, si riesce a uscirne (come affermato all'inizio del topic) ...
La soluzione di tagliare il cono lungo una generatrice, invece, è agevole.
Applicando, poi, la relazione di Clairaut ho trovato interessanti proprietà delle nostre geodetiche. Tutte hanno un punto con tangente orizzontale (parallela al pavimento, se il cono ne è perpendicolare) e, arrampicandosi sul cono, diventano asintotiche con tangenti che tendono ad essere verticali.
Da quel punto iniziale paricolare (dove la tengente è orizzontale), ovviamente, ne partono due simmetriche, una che ruota in senso aorario e l'altra in senso antiorario.
Qui sorge il problema più interessante. Le geodetiche, salendo su per il cono, lo avvitano ? Se sì, quante volte ?
Ho visto che in certi casi le geodetiche avvitano ed in altri casi no. Sarebbe bello trovare una formula che descrive quanti avvitamenti avvengono ... trovarla, sarebbe poesia pura ...
La soluzione di tagliare il cono lungo una generatrice, invece, è agevole.
Applicando, poi, la relazione di Clairaut ho trovato interessanti proprietà delle nostre geodetiche. Tutte hanno un punto con tangente orizzontale (parallela al pavimento, se il cono ne è perpendicolare) e, arrampicandosi sul cono, diventano asintotiche con tangenti che tendono ad essere verticali.
Da quel punto iniziale paricolare (dove la tengente è orizzontale), ovviamente, ne partono due simmetriche, una che ruota in senso aorario e l'altra in senso antiorario.
Qui sorge il problema più interessante. Le geodetiche, salendo su per il cono, lo avvitano ? Se sì, quante volte ?
Ho visto che in certi casi le geodetiche avvitano ed in altri casi no. Sarebbe bello trovare una formula che descrive quanti avvitamenti avvengono ... trovarla, sarebbe poesia pura ...
l'equazione differenziale che scrive zkeggia è equivalente alle formule coi simboli di Christoffel, visto che derivano da principi variazionali....
l'equzione differenziale che si ottiene si risolve con qualche trucchetto... per esempio quella che ho scritto sopra dper $\theta=\pi/2$ civenta agevole ponendo $x=(r')/(r)$...
ma il punto non è risolvere zkeggia chiede aiuto per 'capire' una soluzione.... non per trovarne altre.... al momento io so dimostrare che quelli sono integrali primi e proponevo questo a zkeggia ma trovarli dal nulla non lo so ben fare.....
laprocedure di 'tagliare lungo una generatrice' è intuitiva ma va formalizzate (chi mi dice che riesco a distendere il cono sul piano?)....
l'equzione differenziale che si ottiene si risolve con qualche trucchetto... per esempio quella che ho scritto sopra dper $\theta=\pi/2$ civenta agevole ponendo $x=(r')/(r)$...
ma il punto non è risolvere zkeggia chiede aiuto per 'capire' una soluzione.... non per trovarne altre.... al momento io so dimostrare che quelli sono integrali primi e proponevo questo a zkeggia ma trovarli dal nulla non lo so ben fare.....
laprocedure di 'tagliare lungo una generatrice' è intuitiva ma va formalizzate (chi mi dice che riesco a distendere il cono sul piano?)....
Facevo per allargare un po' la veduta. Le geodetiche del cono sono molto interessanti ...
Il cono ed il cilindro sono classici esempi di figure isometriche al piano.
La parametrizzazione del cono che mi dà il tensore metrico euclideo è un po' lunga da scrivere. L'idea è di tagliare il cono e calcolare l'apertura del triangoloide che si ottiene ...
ps. è un piacere riincontrati qui, Thomas, e più o meno sulle stesse questioni di tempo fa ... una sorta di corsi e ricorsi ...
Il cono ed il cilindro sono classici esempi di figure isometriche al piano.
La parametrizzazione del cono che mi dà il tensore metrico euclideo è un po' lunga da scrivere. L'idea è di tagliare il cono e calcolare l'apertura del triangoloide che si ottiene ...
ps. è un piacere riincontrati qui, Thomas, e più o meno sulle stesse questioni di tempo fa ... una sorta di corsi e ricorsi ...
Per esempio :
Ho trovato il modo di calcolare quanti avvitamenti fa una geodetica.
Magari, faccio un articoletto con tutto quanto e lo posto nella sezione di geometria ...
Magari, faccio un articoletto con tutto quanto e lo posto nella sezione di geometria ...
Questa è la mia "visione" delle geodetiche del cono:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/3/GeodeticheCono.htm
Mancano un paio di esempi grafici, il calcolo dell'angolo di avvitamento ed un controllo accurato finale. Ancora un paio di giorni di lavoro ...
Però, intanto, se qualcuno è interessato, può già darci un'occhiata e postare suggerimenti e critiche ...
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/3/GeodeticheCono.htm
Mancano un paio di esempi grafici, il calcolo dell'angolo di avvitamento ed un controllo accurato finale. Ancora un paio di giorni di lavoro ...
Però, intanto, se qualcuno è interessato, può già darci un'occhiata e postare suggerimenti e critiche ...
Ora, la pagina di cui sopra dovrebbe essere ok (salvo errori ed omissioni).
Allora Thomas, risollevo la questione dopo un po' di settimane perché ho trovato la risposta che cercavo e magari ti interessa. È dimostrabile (se vuoi ti riporto la dimostrazione), che nei casi in cui il funzionale da minimizzare non dipenda esplicitamente dalla variabile di integrazione, allora la quantità
$doty delF/deldoty - F = cost$ con F funzionale e y variabile "dipendente"
Se utilizziamo questo viene esattamente l'espressione del mio professore.
$doty delF/deldoty - F = cost$ con F funzionale e y variabile "dipendente"
Se utilizziamo questo viene esattamente l'espressione del mio professore.
eheh... carino!... ti ringrazio molto per l'informazione!
la dimo penso di saperla fare basta derivare ed usare una volta Eulero Lagrange, right?
faccio solo una osservazione: se ad $F$ sostituisci la lettera $\Lambda$ e la chiami lagrangiana ti accorgi che quella funzione è la trasformata di Legendre della lagrangiana ovvero l'Hamiltoniana... quella costante dunque in fisica si chiama energia
la dimo penso di saperla fare basta derivare ed usare una volta Eulero Lagrange, right?
faccio solo una osservazione: se ad $F$ sostituisci la lettera $\Lambda$ e la chiami lagrangiana ti accorgi che quella funzione è la trasformata di Legendre della lagrangiana ovvero l'Hamiltoniana... quella costante dunque in fisica si chiama energia
yes... perfetto, anche questo è risolto!
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