Derivata parziale rispetto al tempo di $B$
Salve, durante alcune spiegazioni di Fisica II sull'identità tra campo magnetico e campo elettrico, il professore arriva a questi passaggi:
$d/(dt) int_\Sigma vec B cdot n d\Sigma = int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma$
Ovviamente, fin qui ci siamo. Ecco il passaggio incriminato:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_Sigma [ (del vec B)/(del t) + (del B)/(del x) (del x)/(del t) + (del B)/(del y) (del y)/(del t) + (del B)/(del z) (del z)/(del t) ] cdot n dSigma $
Ecco.. non capisco questa scomposizione. Subito dopo il professore definisce come
$ vec v cdot nabla = (del )/(del x) dot x + (del)/(del y) dot y + (del )/(del x) dot z $
Giunge così alla scrittura:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_\Sigma [ (del vec B)/dt + (vec v cdot nabla) vec B ] cdot n d\Sigma $
Qualcuno riesce a spiegarmi cosa sta succedendo?
$d/(dt) int_\Sigma vec B cdot n d\Sigma = int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma$
Ovviamente, fin qui ci siamo. Ecco il passaggio incriminato:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_Sigma [ (del vec B)/(del t) + (del B)/(del x) (del x)/(del t) + (del B)/(del y) (del y)/(del t) + (del B)/(del z) (del z)/(del t) ] cdot n dSigma $
Ecco.. non capisco questa scomposizione. Subito dopo il professore definisce come
$ vec v cdot nabla = (del )/(del x) dot x + (del)/(del y) dot y + (del )/(del x) dot z $
Giunge così alla scrittura:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_\Sigma [ (del vec B)/dt + (vec v cdot nabla) vec B ] cdot n d\Sigma $
Qualcuno riesce a spiegarmi cosa sta succedendo?
Risposte
"pater46":
Ecco il passaggio incriminato:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_Sigma [ (del vec B)/(del t) + (del B)/(del x) (del x)/(del t) + (del B)/(del y) (del y)/(del t) + (del B)/(del z) (del z)/(del t) ] cdot n dSigma $
Ecco.. non capisco questa scomposizione. ...
Qualcuno riesce a spiegarmi cosa sta succedendo?
Se espliciti le dipendenze del vettore induzione magnetica dal tempo e dalle variabili spaziali scrivi $vec B [t, x(t), y(t), z(t)]$. Quella che chiami scomposizione semplicemente calcola la derivata totale di B rispetto al tempo. Per essere sincero l'espressione che riporti non mi torna, perché sommi il vettore $(del vec B)/(del t)$ a scalari $(del B)/(del x)(del x)/( del t)+(del B)/(del y)(del y)/( del t)+(del B)/(del z)(del z)/( del t)$.
Non mi torna neanche il fatto la funzione integranda, che è un prodotto scalare, trovi la forma che tu riporti, in cui compare il modulo del campo e non le sue componenti. Io direi che correttamente la funzione integranda dovrebbe essere $((del B_x)/(del t)+(del B_x)/(del x)(del x)/( del t)+(del B_x)/(del y)(del y)/( del t)+(del B_x)/(del z)(del z)/( del t))*n_x+...$. E poi non capisco perché per le variabili spaziali viene utilizzata la derivata parziale. Insomma, non capisco diverse cose...sei sicuro di aver riportato correttamente quanto scritto dal professore?
si... purtroppo questo professore, pur di dimostrare tutto matematicamente, utilizza forzature e implicita alcune passaggi: calcola Laplaciani di vettori, e cose così.
Comunque effettivamente inteso in quel modo le cose funzionano, molto probabilmente intendeva derivare le singole componenti di $B$...
Comunque effettivamente inteso in quel modo le cose funzionano, molto probabilmente intendeva derivare le singole componenti di $B$...
Hai riportato esattamente i passaggi che ha scritto il tuo professore?
Spero di no, altrimenti è grave.
Sono sbagliati sia i passaggi, come già fatto notare da kinder, sia anche la scrittura del risultato finale.
L'uguaglianza che si vuole dimostrare è il cosiddetto teorema del trasporto di Reynolds, che trovi enunciato, senza dimostrazione, qui.
Una dimostrazione abbastanza semplice si fa (per quel che riguarda la mia formazione almeno) nei corsi base di fluidodinamica e di meccanica del continuo....
Spero di no, altrimenti è grave.
Sono sbagliati sia i passaggi, come già fatto notare da kinder, sia anche la scrittura del risultato finale.
L'uguaglianza che si vuole dimostrare è il cosiddetto teorema del trasporto di Reynolds, che trovi enunciato, senza dimostrazione, qui.
Una dimostrazione abbastanza semplice si fa (per quel che riguarda la mia formazione almeno) nei corsi base di fluidodinamica e di meccanica del continuo....
Controllando dagli appunti di altri colleghi, il passaggio pare essere proprio:
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_Sigma [ (del B)/(del t) + (del B)/(del x) (del x)/(del t) + (del B)/(del y) (del y)/(del t) + (del B)/(del z) (del z)/(del t) ] cdot n dSigma $
L'unico fatto è che il mio professore aveva il vizio di tralasciare a volte la notazione vettoriale, e quindi il dubbio era se le componenti del secondo membro dell'eguaglianza siano vettori o scalari.
Questo estratto fa parte della dimostazione dell'invarianza della legge di Newton - Faraday - Lenz rispetto a traslazioni del sistema di riferimento.. Siccome è la parte che precede la dimostrazione del fatto che il campo elettromagnetico sia un'onda, nella quale il prof specifica che noi studiamo il caso di onde piane unidimensionali... Non è che per $B$ egli intendesse dire $B_x$?
Pobabilmente sto icendo un sacco di sciocchezze, ma capirete che seguire questi passaggi strani mi sia parecchio problematico!
$ int_\Sigma (d vec B)/dt cdot n d\Sigma = int_Sigma [ (del B)/(del t) + (del B)/(del x) (del x)/(del t) + (del B)/(del y) (del y)/(del t) + (del B)/(del z) (del z)/(del t) ] cdot n dSigma $
L'unico fatto è che il mio professore aveva il vizio di tralasciare a volte la notazione vettoriale, e quindi il dubbio era se le componenti del secondo membro dell'eguaglianza siano vettori o scalari.
Questo estratto fa parte della dimostazione dell'invarianza della legge di Newton - Faraday - Lenz rispetto a traslazioni del sistema di riferimento.. Siccome è la parte che precede la dimostrazione del fatto che il campo elettromagnetico sia un'onda, nella quale il prof specifica che noi studiamo il caso di onde piane unidimensionali... Non è che per $B$ egli intendesse dire $B_x$?
Pobabilmente sto icendo un sacco di sciocchezze, ma capirete che seguire questi passaggi strani mi sia parecchio problematico!
Se lo scopo è dimostrare solo quel passaggio ti basta osservare che la derivata sostanziale di un vettore è pari a
$(d vec B) / (dt)=(partial vec B)/ (partial t)+ nabla vec B * vec V $
ovviamente $nabla vec B$ è una matrice che contiene nella riga enne il gradiente della componente ennesima di $vec B$, tale matrice moltiplica un vettore e dà componente per componente l'espressione che hai scritto tu, ma che come l'hai scritta è valida però solo se $B$ è uno scalare.
$(d vec B) / (dt)=(partial vec B)/ (partial t)+ nabla vec B * vec V $
ovviamente $nabla vec B$ è una matrice che contiene nella riga enne il gradiente della componente ennesima di $vec B$, tale matrice moltiplica un vettore e dà componente per componente l'espressione che hai scritto tu, ma che come l'hai scritta è valida però solo se $B$ è uno scalare.
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