Derivata di un vettore di modulo costante
Allora dovrebbe essere una stupidaggine per voi, ma io mi ci sono bloccato, mi sfugge un particolare, vi scrivo la formula e poi vi dico dove ho problemi, le premesse sono che:
Sto derivando un vettore che ha modulo costante, precisamente è il vettore velocità v(t) del moto circolare uniforme. Il libro calcola:
$ \vec a(t)=((delvec v)/(delt))=lim_(t->0)((\Delta vec v)/(\Delta t))$ fin qui no problem, ho capito che è la derivata di v rispetto a t con t che tende a zero per trovare il modulo dell'accellerazione.
Il problema sorge dopo.
Fatte alcune considerazioni sul fatto che la direzione di $\Delta(vec v) $ è perpendicolare a $ vec v $ ,che il triangolo delle velocità è isoscele, che il modulo di $ vec v$ non cambia, che al tendere di $ \Delta t $ a 0 la somma degli angoli tende a $\pi$ scrive questo:
"Per quanto riguarda il modulo dell'accelerazione si ha:
$|\vec a|= lim_(t->0)((\Delta vec v)/(\Delta t))$ e poi sbuca questo $lim_(t->0)((2vsen((\Delta\theta)/2))/(\Delta t))$ Non riesco a capire come fa a tirare fuori $2vsen((\Delta\theta)/2)$
Vi prego di spiegarlo come ad una persona un po tarda con delle mancanze in matematica, non date nulla di scontato
. Sopratutto va bene anche se mi dite l'argomento di analisi che devo andarmi a riguardare per capire il tutto ....e per favore insultatemi poco
Sto derivando un vettore che ha modulo costante, precisamente è il vettore velocità v(t) del moto circolare uniforme. Il libro calcola:
$ \vec a(t)=((delvec v)/(delt))=lim_(t->0)((\Delta vec v)/(\Delta t))$ fin qui no problem, ho capito che è la derivata di v rispetto a t con t che tende a zero per trovare il modulo dell'accellerazione.
Il problema sorge dopo.
Fatte alcune considerazioni sul fatto che la direzione di $\Delta(vec v) $ è perpendicolare a $ vec v $ ,che il triangolo delle velocità è isoscele, che il modulo di $ vec v$ non cambia, che al tendere di $ \Delta t $ a 0 la somma degli angoli tende a $\pi$ scrive questo:
"Per quanto riguarda il modulo dell'accelerazione si ha:
$|\vec a|= lim_(t->0)((\Delta vec v)/(\Delta t))$ e poi sbuca questo $lim_(t->0)((2vsen((\Delta\theta)/2))/(\Delta t))$ Non riesco a capire come fa a tirare fuori $2vsen((\Delta\theta)/2)$
Vi prego di spiegarlo come ad una persona un po tarda con delle mancanze in matematica, non date nulla di scontato
. Sopratutto va bene anche se mi dite l'argomento di analisi che devo andarmi a riguardare per capire il tutto ....e per favore insultatemi poco
Risposte
supponiamo che nell'intervallo $Deltat$ il raggio vettore spazzi un angolo $Deltatheta$ e consideriamo i vettori velocità $vecv_1$ all'istante iniziale e $vecv_2$ all'istante finale
l'angolo formato dai due vettori è anch'esso $Deltatheta$
la differenza tra i due vettori è un vettore $Deltavecv$ che insieme ai primi 2 forma un triangolo isoscele di base $Deltav$ ,lati obliqui di lunghezza $v$ ed angolo al vertice di ampiezza $Deltatheta$
come sai,in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana e bisettrice
quindi,$(Deltav)/2=vsen(Deltatheta)/2$
abbiamo applicato un teorema di trigonometria sui triangoli rettangoli : la lunghezza di un cateto è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto
l'angolo formato dai due vettori è anch'esso $Deltatheta$
la differenza tra i due vettori è un vettore $Deltavecv$ che insieme ai primi 2 forma un triangolo isoscele di base $Deltav$ ,lati obliqui di lunghezza $v$ ed angolo al vertice di ampiezza $Deltatheta$
come sai,in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana e bisettrice
quindi,$(Deltav)/2=vsen(Deltatheta)/2$
abbiamo applicato un teorema di trigonometria sui triangoli rettangoli : la lunghezza di un cateto è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto
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