Derivata di un versore

[valesyle92]

Buongiornooo !! :):) Non riesco a capire una cosa sulla derivata di un versore ;
allora Se io ho un versore $ u $
la derivata : $(d u) / dt $ e' un vettore perpendicolare ad u . Questo perchè $ Delta$ $u $ al limite assume direzione perpendicolare ad u e andra' a coincidere con il versore Un perpendicolare ad u .
Il problema nasce dopo vedo scritto : la corda è di uguale lunghezza rispetto all'arco quindi du = d$theta$ $ Un $ dove $theta$ e' l'angolo che vi mostro nella seguente figura che riassume un po la situazione :


non riesco a capire da dove hanno tirato fuori questa formula... du = d$theta$ $Un$ percheì si moltiplica per Un... grazie a tutti!!!

[Sk_Anonymous]

L'arco è uguale all'angolo al centro sotteso per il raggio: $[s=thetar]$. Infatti, $[theta=2pi] rarr [s=2pir]$, la lunghezza della circonferenza.

[valesyle92]

Ok grazie milleeee ma come mai viene moltiplicato per Un ? per indicare che e' un vettore nella stessa direzione di Un giusto?

[Sk_Anonymous]

Non si comprendono bene le notazioni, il tipo di approssimazione utilizzata e lo scopo del procedimento. In ogni modo, se sei interessato al modulo, puoi procedere anche senza approssimazioni:

$lim_(Deltat->0)(|vecu(t+Deltat)-vecu(t)|)/(Deltat)=lim_(Deltat->0)(2sen(Deltatheta)/2)/(Deltat)=lim_(Deltat->0)(sen(Deltatheta)/2)/((Deltatheta)/2)(Deltatheta)/(Deltat)=dottheta$

in quanto il seguente limite:

$[lim_(Deltat->0)(sen(Deltatheta)/2)/((Deltatheta)/2)=1]$

è un limite notevole e, quando $[Deltat->0]$, anche $[Deltatheta->0]$.

[valesyle92]

grazie intanto per avere risposto ...ma se d$ theta $ e' il modulo come gentilmente e in modo chiarissimo hai scritto tu allora si spiega d $theta$ nella formula ma quel Un allora a questo punto dovrebbe essere il versore che da la direzione a du ma quindi $Delta$ u non si approssima a Un ? ma e' Un ad essere il suo versore? IN definitiva Un e' il versore di $Delta$ u ???

[Sk_Anonymous]

"valesyle92":
...ma se $d\theta$ e' il modulo...

Veramente, il modulo è $[dottheta]$, a meno che tu non intendessi ancora dividere per $[Deltat]$ e passare al limite.

"valesyle92":
In definitiva $U_n$ e' il versore di $Deltau$?

Se vuoi ricavare il risultato corretto, considerando anche la direzione, facendo il seguente limite:

$lim_(Deltat->0)(Deltatheta)/(Deltat)vec(U_n)$

non c'è ombra di dubbio che debba essere come tu dici. Tuttavia, il formalismo utilizzato lascia un po' a desiderare.

[valesyle92]

Quindi

$lim_(Deltat->0)(|vecu(t+Deltat)-vecu(t)|)/(Deltat) $ è uguale al limite sempre per $Delta $ t che va a zero di : $Delta$$theta$ / $Delta$ t

di conseguenza hai scritto
$lim_(Deltat->0)(Deltatheta)/(Deltat)vec(U_n)$

e hai moltiplicato per questo versore
$ vec(U_n) $

in modo da dare la direzione ..... confermi??

[Sk_Anonymous]

Confermo. Anche perchè, per dimostrare che la derivata di un versore è un vettore perpendicolare al versore medesimo, basta derivare la seguente relazione:

$[vecu*vecu=1] rarr [(dvecu)/(dt)*vecu+vecu*(dvecu)/(dt)=0] rarr [2(dvecu)/(dt)*vecu=0] rarr [(dvecu)/(dt)*vecu=0]$

[valesyle92]

grandeee perfetto :):) graziee millee :):)