Derivare le leggi di keplero da Newton

angus89
Bè il titolo dice tuttto, se qualcuno conosce una dimostrazione semplice, anche nel caso si faccia uso di derivate e integrali posti pure...
Ho trovato un paio di siti ma le dimostrazioni si dilungano parecchio...
Và bene anche un link...
Grazie

Risposte
strangolatoremancino
A scuola l'unica che abbiamo visto è la terza

Assumendo che i corpi ruotino attorno al Sole su orbite circolari, la forza centripeta a cui sono sottoposti è data da

$F_c= (m * V^2)/r$ dove $m$ massa del corpo e $r$ raggio dell'orbita

tale forza è quella gravitazionale agente tra il Sole e il corpo

$F=G*(m*M)/r^2$ dove $M$ massa del Sole e $r$ la distanza tra i corpi, ovvero il raggio dell'orbita

uguagliando

$G*(m*M)/r^2=(m * V^2)/r$ scriviamo $V$ come $(2*pi*r)/T$ ,dove $T$ è il periodo di rivoluzione, e sostituiamo

$G*(m*M)/r^2=(m * 4*pi^2*r^2)/(r*T^2)$

semplificando e isolando i termini che ci interessano otteniamo

$T^2/r^3=(4pi^2)/(GM)$

ovvero il rapporto $T^2/r^3$, per qualunque corpo orbiti attorno al Sole seguendo un'orbita supposta circolare, è costante, come vuole la terza legge di Keplero

poi ovviamente ci saranno dimostrazioni più rigorose, però ci si accontenta :D

strangolatoremancino
Poi la seconda credo si spieghi con la conservazione del momento angolare e la prima col fatto che il Sole e il pianeta ruotano attorno al loro centro di massa, però non saprei

Michele881
Potrei postarti la dimostrazione della prima legge, ovvero partendo dal fatto che la forza gravitazionale è $-k/r^2$ con $k=GMm$ si può dimostrare che l'orbita del corpo è una conica (ovvero un ellisse, una parabola o una circonferenza a seconda di alcuni parametri).
Qst dimostrazione però fa uso delle equazioni differenziali, le conosci? (Essendo dell'89 potresti non conoscerle)

EDIT: che poi praticamente è questa http://it.wikipedia.org/wiki/Keplero_da ... di_Keplero

angus89
"Michele88":
Potrei postarti la dimostrazione della prima legge, ovvero partendo dal fatto che la forza gravitazionale è $-k/r^2$ con $k=GMm$ si può dimostrare che l'orbita del corpo è una conica (ovvero un ellisse, una parabola o una circonferenza a seconda di alcuni parametri).
Qst dimostrazione però fa uso delle equazioni differenziali, le conosci? (Essendo dell'89 potresti non conoscerle)

EDIT: che poi praticamente è questa http://it.wikipedia.org/wiki/Keplero_da ... di_Keplero


E bè alla base io cercavo proprio quella...
Ma da wiki alcune cose sfuggono...nel senso che sembra che il discorso venga complicato...
Comunque conosco le equazioni differenziali e non credo siano un grosso problema...
Se ti và posta la tua dimostrazione...

Te ne sarei grato

angus89
"strangolatoremancino":

Assumendo che i corpi ruotino attorno al Sole su orbite circolari

ma questa è una semplificazione delle leggi di keplero...le orbite sono ellittiche

Michele881
Quella che ho io segue pressochè il ragionameto di wikipedia, solo semplificato un po:
$F = - K/r^2 = - Ku^2$ (poniamo $u = 1/r$)
Fissiamo un polo, ovvero il sole. Sappiamo che, in un moto qualsiasi, la forza agente su un corpo, in coordinate polari, vale:
$F = m*(d^2r)/(dt^2) - m\omega^2 r$
Con alcuni passaggi(nn te li scrivo per mancanza di tempo, poi quando torno te li posto) questa espressione è uguale a
$F = -L^2/m u^2 (u + (d^2u)/(d\vartheta^2))$
dove L è il momento angolare del corpo calcolato rispetto al sole.
eguagliando le due forze otteniamo
$(d^2u)/(dt\vartheta^2) + u = (Km)/L^2$

Poniamo
$w = u - (Km)/L^2$

Otteniamo
$(d^2w)/(d\vartheta^2) + w = 0$

che è l'equazione del moto armonico semplice

La soluzione è
$w = Acos(\vartheta + \phi)$
con A e $\phi$ condizioni iniziali

$u = w + (Km)/L^2 = Acos(\vartheta + \phi) + (Km)/L^2 = 1/r$

da cui otteniamo
$r = 1 / (Acos(\vartheta + \phi) + (Km)/L^2 ) = (L^2/(Km)) / (1 + (AL^2)/(Km) cos(\vartheta + \phi))$

con L, K e m costanti;

Ponendo $e = (AL^2)/(Km)$

si ottiene $r = (L^2/(Km)) / ( 1 + e*cos(\vartheta + \phi ))$

che è l'equazione di una conica in coordinate polari!
in particolare, se e > 1, si ha un iperbole, e=1 una parabola e e<1 un ellisse!

angus89
allora....
la dimostrazione mi sembra buona, nel senso che è semplificata al punto giusto, ma per capirla devo vedermi solo qualche argomento di fisica, credo che per la prossima settimana sarò in grado di capirla...
Grazie mille...spero di non avre blocchi e di capire tutto

franced
"angus89":
Bè il titolo dice tuttto, se qualcuno conosce una dimostrazione semplice, anche nel caso si faccia uso di derivate e integrali posti pure...
Ho trovato un paio di siti ma le dimostrazioni si dilungano parecchio...
Và bene anche un link...
Grazie


Si può fare con il vettore di Lenz;
in un campo di forza di tipo newtoniano (inversamente proporzionale al quadrato della distanza),
oltre all'energia e al momento angolare, è costante anche il vettore di Lenz.

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