Densità spettrale coseno
Salve a tutti,
ho una domanda riguardo al risultato della densità spettrale del coseno che risulta data la funzione generica
$ f(t)=Acos(\omega_0 t) $
calcolo la sua densità spettrale sapendo che essendo una funzione periodica il limite per T --> infinito sparisce rimanendo così un integrale di questo tipo:
$ S(\omega)=frac{1}{T}|int_{-T/2}^{T/2} Acos(\omega_0 t)e^{-i\omegat}dt|^2 $
che risulta essere uguale a:
$ A^2 T/4|sinc[(\omega-\omega_0)T/2]+sinc[(\omega+\omega_0)T/2]|^2 $
Il mio problema è perchè viene un sinc, cioè, la densità spettrale dovrebbe rappresentare la quantità di energia trasportata per singola frequenza, mi chiedo come mai nuove frequenza comincino a trasportare energia in un segnale avente un'unica frequenza.. Pensavo potesse essere causato da dello spectral leakage ma 1° questa non è una aprossimazione di un segnale periodico infinito ma è un risultato esatto, e la finestra in cui è calcolato risulta comunque "continua" cioè se metto vicini due "finestre" di coseno definito tra -T/2 e T/2 con T=2pi la funzione risultate è continua e non dovrebbero aggiungersi componenti di fourier aggiuntive..
qual'è l'interpretazione fisica a tutto ciò?
ho una domanda riguardo al risultato della densità spettrale del coseno che risulta data la funzione generica
$ f(t)=Acos(\omega_0 t) $
calcolo la sua densità spettrale sapendo che essendo una funzione periodica il limite per T --> infinito sparisce rimanendo così un integrale di questo tipo:
$ S(\omega)=frac{1}{T}|int_{-T/2}^{T/2} Acos(\omega_0 t)e^{-i\omegat}dt|^2 $
che risulta essere uguale a:
$ A^2 T/4|sinc[(\omega-\omega_0)T/2]+sinc[(\omega+\omega_0)T/2]|^2 $
Il mio problema è perchè viene un sinc, cioè, la densità spettrale dovrebbe rappresentare la quantità di energia trasportata per singola frequenza, mi chiedo come mai nuove frequenza comincino a trasportare energia in un segnale avente un'unica frequenza.. Pensavo potesse essere causato da dello spectral leakage ma 1° questa non è una aprossimazione di un segnale periodico infinito ma è un risultato esatto, e la finestra in cui è calcolato risulta comunque "continua" cioè se metto vicini due "finestre" di coseno definito tra -T/2 e T/2 con T=2pi la funzione risultate è continua e non dovrebbero aggiungersi componenti di fourier aggiuntive..
qual'è l'interpretazione fisica a tutto ciò?
Risposte
Mi sta bene che togli il limite in T, però occhio perché stai facendo confusione. Purtroppo la notazione che si usa di solito in queste cose è un pò "infelice" in effetti. $T$ non è un numero generico, me è la lunghezza di un periodo del segnale. Quindi nel tuo caso $T = \frac{2 \pi}{\omega_0}$. Comunque ricontrolla i conti, il risultato non può che essere una delta centrata in $\omega_0$ (la potenza del segnale è distribuita su quell'unica frequenza).
ho ricontrollato, e il sinc sembra sia il risultato corretto, gli estremi di integrazione vanno da T/2 a -T/2 per questo motivo è corretto il sinc. Se fossero +inf e -inf sarebbero una delta. Il risultato proviene dagli appunti del mio professore.
Ho capito dov'è il problema. Tu stai calcolando la psd (power spectral density) applicando questa definizione:
$S_x(f) = \lim_{T -> \infty} \frac{1}{T}|X_T(f)|^2$
dove $X_T(f)$ è la trasformata di Fourier del segnale "troncato" in un intervallo di ampiezza $T$. E' giusto che ti vengano dei sinc, perché stai "finestrando" il tuo segnale di partenza (il coseno) con delle funzioni a rettangolo (che valgono 1 in un intervallo, 0 al di fuori) e che hanno come trasformata un sinc. Ora però se lo calcoli così NON PUOI togliere il limite, non c'è nessuna proprietà dell'integranda, ovvero $f(t)e^{i \omega t}$, che ti permetta di semplificarti il calcolo. Devi calcolare il risultato in funzione di $T$ e fare il limite, infatti nel tuo caso ti torna una delta come caso limite di funzioni sinc.
I casi in cui puoi togliere il limite sono il calcolo della potenza media del segnale e della sua autocorrelazione.
Guarda questa dispensa per chiarirti le idee.
$S_x(f) = \lim_{T -> \infty} \frac{1}{T}|X_T(f)|^2$
dove $X_T(f)$ è la trasformata di Fourier del segnale "troncato" in un intervallo di ampiezza $T$. E' giusto che ti vengano dei sinc, perché stai "finestrando" il tuo segnale di partenza (il coseno) con delle funzioni a rettangolo (che valgono 1 in un intervallo, 0 al di fuori) e che hanno come trasformata un sinc. Ora però se lo calcoli così NON PUOI togliere il limite, non c'è nessuna proprietà dell'integranda, ovvero $f(t)e^{i \omega t}$, che ti permetta di semplificarti il calcolo. Devi calcolare il risultato in funzione di $T$ e fare il limite, infatti nel tuo caso ti torna una delta come caso limite di funzioni sinc.
I casi in cui puoi togliere il limite sono il calcolo della potenza media del segnale e della sua autocorrelazione.
Guarda questa dispensa per chiarirti le idee.
ottimo, grazie mille è proprio quello che volevo capire =) di nuovo grazie per il tempo
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