Densità di un fluido e flusso
Sto leggendo un libro di Fisica 2: per introdurre il flusso di un campo elettrico si fa una analogia con i fluidi che presumo essere standard, ma c'è qualcosa che mi sfugge. Allora, intanto definiamo il flusso di un qualsiasi campo vettoriale [tex]\mathbf{A}[/tex] attraverso una superficie [tex]\Sigma[/tex] come [tex]\Phi= \int_{\Sigma} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n}\, dS[/tex], dove [tex]\mathbf{n}[/tex] è la normale uscente dalla superficie. A questo punto il libro dice: se [tex]\mathbf{A}[/tex] rappresenta la distribuzione delle velocità di un fluido incompressibile, allora [tex]\Phi[/tex] è uguale al volume di fluido passante per [tex]\Sigma[/tex] nell'unità di tempo.
Questo è pacifico, ma perché il fluido dovrebbe essere incompressibile? Se ho capito bene, incompressibile è quel fluido la cui densità ([tex]\rho= \frac{dm}{dV}[/tex]) è costante nel tempo. Quindi un fluido non incompressibile può presentare variazioni nel tempo di densità. Io direi che questo può modificare la massa, non il volume, di fluido passante attraverso [tex]\Sigma[/tex]. Quindi concluderei che [tex]\Phi[/tex] è il volume di fluido per unità di tempo anche se il fluido non è incompressibile. Mi sbaglio?
Questo è pacifico, ma perché il fluido dovrebbe essere incompressibile? Se ho capito bene, incompressibile è quel fluido la cui densità ([tex]\rho= \frac{dm}{dV}[/tex]) è costante nel tempo. Quindi un fluido non incompressibile può presentare variazioni nel tempo di densità. Io direi che questo può modificare la massa, non il volume, di fluido passante attraverso [tex]\Sigma[/tex]. Quindi concluderei che [tex]\Phi[/tex] è il volume di fluido per unità di tempo anche se il fluido non è incompressibile. Mi sbaglio?
Risposte
Ciao.
L'incompressibilità del fluido è importante per questa analogia, anche se il motivo non è ovvio.
Immagina di avere un tubo in cui scorre un fluido e di considerare la sua sezione [tex]\Sigma[/tex] costante.
Tu dici che è pacifico che [tex]\Phi[/tex] sia il volume di fluido passante attraverso [tex]\Sigma[/tex]; immagino tu sia anche d'accordo che nell'unità di tempo un ben preciso numero di molecole di fluido siano passate attraverso la superficie [tex]\Sigma[/tex].
Immagina adesso che il fluido si stia espandendo: quelle molecole avevano un volume prima di attraversare la superficie e ne hanno uno diverso dopo che l'anno attraversata. A quale volume ti riferivi? Inoltre mi metterebbe particolarmente in crisi definire il loro volume mentre passano attraverso la superficie. Definendo il fluido incompressibile il problema viene aggirato (quel volume è costante) e l'analogia funziona sufficientemente bene.
In realtà è importante capire che questa è solo una analogia. Il flusso è un'operazione di matematica che si fa quando un campo vettoriale si trova sopra una superficie; è qualcosa legato al campo ed alla superficie, e non al passaggio di qualcosa attraverso la superficie. E' un'analogia molto utile dal punto di vista didattico, ma penso che debba poi essere superata per una interpretazione più matematica.
Un saluto
L'incompressibilità del fluido è importante per questa analogia, anche se il motivo non è ovvio.
Immagina di avere un tubo in cui scorre un fluido e di considerare la sua sezione [tex]\Sigma[/tex] costante.
Tu dici che è pacifico che [tex]\Phi[/tex] sia il volume di fluido passante attraverso [tex]\Sigma[/tex]; immagino tu sia anche d'accordo che nell'unità di tempo un ben preciso numero di molecole di fluido siano passate attraverso la superficie [tex]\Sigma[/tex].
Immagina adesso che il fluido si stia espandendo: quelle molecole avevano un volume prima di attraversare la superficie e ne hanno uno diverso dopo che l'anno attraversata. A quale volume ti riferivi? Inoltre mi metterebbe particolarmente in crisi definire il loro volume mentre passano attraverso la superficie. Definendo il fluido incompressibile il problema viene aggirato (quel volume è costante) e l'analogia funziona sufficientemente bene.
In realtà è importante capire che questa è solo una analogia. Il flusso è un'operazione di matematica che si fa quando un campo vettoriale si trova sopra una superficie; è qualcosa legato al campo ed alla superficie, e non al passaggio di qualcosa attraverso la superficie. E' un'analogia molto utile dal punto di vista didattico, ma penso che debba poi essere superata per una interpretazione più matematica.
Un saluto
Sei chiarissimo, ti ringrazio.
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