Densità di probabilità, equazione di Schrodinger
Salve a tutti.
La densità di probabilità per una soluzione $\Psi(x,t)$ dell'equazione di Schrodinger si conserva nel tempo.
Ovvero che la norma di $\psi$ si conserva.
Situazione:
ho una funzione $Psi_o (x,0) = 1/sqrt(2) + cos ( 2 \pi x)$ con $x \in (0,1)$ al tempo $t = 0$ e ne faccio la norma $L^2(0,1)$.
se mi si chiede di trovare la soluzione $\Psi(x,t)$ dell'equazione con condizioni iniziale $Psi_o$
Verrà una funzione del tipo:
$\Psi(x,t) = w_o + sum_(n=1)^(oo) w_n e^i n^2 \pi^2 t cos ( n \pi x)$
dove $w_o$ è $w_n$ sono coefficienti della serie di Fourier.
La mia domanda è:
dato che la $||\Psi|| = cost$ nel tempo, posso dire che:
$||\rho (x)||^2 = ||Psi_o (x,0)||^2 = \sum |w_n|^2 $ ?
(l'ultima relazione $\sum |w_n|^2 $ mi pare sia dovuto a Parseval ma non ne sono tanto sicuro
)
cosa ne sapete al riguardo?
La densità di probabilità per una soluzione $\Psi(x,t)$ dell'equazione di Schrodinger si conserva nel tempo.
Ovvero che la norma di $\psi$ si conserva.
Situazione:
ho una funzione $Psi_o (x,0) = 1/sqrt(2) + cos ( 2 \pi x)$ con $x \in (0,1)$ al tempo $t = 0$ e ne faccio la norma $L^2(0,1)$.
se mi si chiede di trovare la soluzione $\Psi(x,t)$ dell'equazione con condizioni iniziale $Psi_o$
Verrà una funzione del tipo:
$\Psi(x,t) = w_o + sum_(n=1)^(oo) w_n e^i n^2 \pi^2 t cos ( n \pi x)$
dove $w_o$ è $w_n$ sono coefficienti della serie di Fourier.
La mia domanda è:
dato che la $||\Psi|| = cost$ nel tempo, posso dire che:
$||\rho (x)||^2 = ||Psi_o (x,0)||^2 = \sum |w_n|^2 $ ?
(l'ultima relazione $\sum |w_n|^2 $ mi pare sia dovuto a Parseval ma non ne sono tanto sicuro
) cosa ne sapete al riguardo?
Risposte
La prima affermazione che fai mi non la capisco. La $\psi$ cambia col tempo !
Inoltre, come faccio a studiare l'evoluzione se non conosco l'energia potenziale?
Inoltre, come faccio a studiare l'evoluzione se non conosco l'energia potenziale?
Io sto trattando l'eq. di Schrodinger libera, cioè non soggette a forze esterne:
$i d/dt \Psi(x,t) = - d^2/dx^2 \Psi(x,t)$
con dato iniziale:
$\Psi(x,0) = \Psi_o$
e condizioni al bardo $\Psi_x(0)=\Psi_x(1) = 0$ (derivate parziali rispetto a x)
Ciò che mi si chiede è di calcolarne la norma in $L^2(0,1)$, la calcolo e viene:
$(\int_0^1 \Psi_o(x,0) dx )^(1/2) = 1$
Poi mi si chiede di calcolare la soluzione generale:
$\psi(t,x) = w_o + \sum_(n=1)^(+oo) w_n e^(i(n^2 \pi^2 t)) cos ((n \pi) x)$
($w_o$ e $w_n$ sono coefficienti della serie di Fourier..)
L'ultima cosa da calcolare è la densità di probabilità per ogni tempo $t$: $|\psi|^2 (t,x)$
$\Psi(x,t)$ cambia nel tempo, ma la norma della densità di probabilità non dovrebbe essere costante? E allora chiedo, come si fa a calcolarla?
$i d/dt \Psi(x,t) = - d^2/dx^2 \Psi(x,t)$
con dato iniziale:
$\Psi(x,0) = \Psi_o$
e condizioni al bardo $\Psi_x(0)=\Psi_x(1) = 0$ (derivate parziali rispetto a x)
Ciò che mi si chiede è di calcolarne la norma in $L^2(0,1)$, la calcolo e viene:
$(\int_0^1 \Psi_o(x,0) dx )^(1/2) = 1$
Poi mi si chiede di calcolare la soluzione generale:
$\psi(t,x) = w_o + \sum_(n=1)^(+oo) w_n e^(i(n^2 \pi^2 t)) cos ((n \pi) x)$
($w_o$ e $w_n$ sono coefficienti della serie di Fourier..)
L'ultima cosa da calcolare è la densità di probabilità per ogni tempo $t$: $|\psi|^2 (t,x)$
$\Psi(x,t)$ cambia nel tempo, ma la norma della densità di probabilità non dovrebbe essere costante? E allora chiedo, come si fa a calcolarla?
La norma di $\psi$ è $int_0^1 |\psi|^2 dx$ e deve essere $1$ in ogni istante (si dice appunto che la funzione d'onda deve essere normalizzata, così la probabilità di trovare la particella in tutto lo spazio è $1$, ovvero la certezza).
La densità di probabilità per la posizione invece è $|\psi|^2$.
Sono due cose diverse e la seconda varia in generale col tempo per un dato $x$.
La densità di probabilità per la posizione invece è $|\psi|^2$.
Sono due cose diverse e la seconda varia in generale col tempo per un dato $x$.
Non dovrebbe esserci un fattore $2m$ nell'equazione di schrodinger?
Così inoltre l'esponenziale nella soluzione generale diventerebbe:
$e^((-i*n^2π^2t)/(2m))$
Così inoltre l'esponenziale nella soluzione generale diventerebbe:
$e^((-i*n^2π^2t)/(2m))$
"grimx":
Non dovrebbe esserci un fattore $2m$ nell'equazione di schrodinger?
Così inoltre l'esponenziale nella soluzione generale diventerebbe:
$e^((-i*n^2π^2t)/(2m))$
A riguardo cito GuGo82 al quale rispose proprio ad una mia domanda in proposito:
'' effettuare un riscalamento in una PDE della Fisica Matematica equivale a scegliere le unità di misura delle quantità in gioco in modo che i coefficienti dell'equazione diventino unitari. ''
La densità di probabilità si trova facendo:
$ ( w_o + \sum_(n=1)^(+oo) w_n e^(i n^2 \pi^2 t) cos (n \pi x))^2$ ?
viene qualcosa di stranissimo
Siamo in una buca di potenziale a pareti infinite? Allora c'è il trucco...
Trova gli autostati dell'energia in forma di coseno poi applica l'operatore di evoluzione temporale sulla psi0 ...
Trova gli autostati dell'energia in forma di coseno poi applica l'operatore di evoluzione temporale sulla psi0 ...
Il risultato finale dovrebbe essere questo:
$\psi = 1/sqrt(2) + e^(-i 4 \pi^2 t) cos 2 \pi x$
$|\psi|^2 = 1/2 + sqrt 2 cos 4 pi^2 t cos 2 pi x + cos^2 2 pi x $ .
Gli autostati dell'energia sono:
$\phi_0 = 1$ , n = 0
$\phi_n = sqrt{2} cos n \pi x$ , n = 1,2,3 ...,
gli autovalori sono:
$E_n = n^2 \pi^2$.
$\psi = 1/sqrt(2) + e^(-i 4 \pi^2 t) cos 2 \pi x$
$|\psi|^2 = 1/2 + sqrt 2 cos 4 pi^2 t cos 2 pi x + cos^2 2 pi x $ .
Gli autostati dell'energia sono:
$\phi_0 = 1$ , n = 0
$\phi_n = sqrt{2} cos n \pi x$ , n = 1,2,3 ...,
gli autovalori sono:
$E_n = n^2 \pi^2$.
Io farei così:
La soluzione dellìequazione di schrodinger non dipendente dal tempo è:
$\psi(x)=Acoskx+Bsinkx$ con $k=sqrt(E)$
Con le condizioni al contorno $\partial\psi(0)=\partial\psi(1)=0$
ottengo che:
$B=0$ e $k=nπ$
e quindi la soluzione si riduce a:
$\psi(x)=Acos(nπx)$
che normalizzando si ottiene che:
$int_(0)^(1) \|psi|^2 dx = A^2/2 => A=sqrt(2) $
quindi gli autostati dell'energia $E_n=n^2π^2$ sono:
$\psi_n(x)=sqrt(2)cosnπx$
La soluzione al tempo t si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale $e^(-i*n^2π^2t)$ con $n=2$
$\Psi(x,t)=1/sqrt(2)+^(-i4π^2t)cos2πx$
EDIT: scusa arrigo!! Non avevo visto la tua risposta!
La soluzione dellìequazione di schrodinger non dipendente dal tempo è:
$\psi(x)=Acoskx+Bsinkx$ con $k=sqrt(E)$
Con le condizioni al contorno $\partial\psi(0)=\partial\psi(1)=0$
ottengo che:
$B=0$ e $k=nπ$
e quindi la soluzione si riduce a:
$\psi(x)=Acos(nπx)$
che normalizzando si ottiene che:
$int_(0)^(1) \|psi|^2 dx = A^2/2 => A=sqrt(2) $
quindi gli autostati dell'energia $E_n=n^2π^2$ sono:
$\psi_n(x)=sqrt(2)cosnπx$
La soluzione al tempo t si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale $e^(-i*n^2π^2t)$ con $n=2$
$\Psi(x,t)=1/sqrt(2)+^(-i4π^2t)cos2πx$
EDIT: scusa arrigo!! Non avevo visto la tua risposta!
Tu l'hai spegata meglio di me che sono laureato e ho 63 anni, mentre i tuoi coetanei sono alle prese con le equazioni di secondo grado ..... (ciò mi lascia stupefatto e vorrei farlo notare a tutti)....
Ps. Una piccola precisazione. L'operatore di evoluzione temporale è precisamente $e^{-i H t}$ che va applicato alla $\psi_0$.
Ps. Una piccola precisazione. L'operatore di evoluzione temporale è precisamente $e^{-i H t}$ che va applicato alla $\psi_0$.
Si giusto 
, ma si può dire che ( ? ) : $e^(-iHt) = e^(-iE_nt) = e^(-i*n^2π^2t)$
, ma si può dire che ( ? ) : $e^(-iHt) = e^(-iE_nt) = e^(-i*n^2π^2t)$
La cosa generale è questa. Prendi un autostato dell'energia $\phi_n$, allora si ha:
$e^{-i H t} \phi_n = e^{-i E_n t} \phi_n$.
La dimostrazione di questo è facile, basta sviluppare in serie di Taylor l'operatore di evoluzione.
Per una $\psi$ qualunque, basta svilupparla rispetto agli autostati dell'energia:
$e^{-i H t} \psi = sum c_n e^{-i H t} \phi_n = sum c_n e^{-i E_n t} \phi_n$.
$e^{-i H t} \phi_n = e^{-i E_n t} \phi_n$.
La dimostrazione di questo è facile, basta sviluppare in serie di Taylor l'operatore di evoluzione.
Per una $\psi$ qualunque, basta svilupparla rispetto agli autostati dell'energia:
$e^{-i H t} \psi = sum c_n e^{-i H t} \phi_n = sum c_n e^{-i E_n t} \phi_n$.
Perfetto!
Grazie mille
Grazie mille
Ah, volevo aggiungere un'altra cosa, a differenza del classico problema della buca di potenziale infinita con condizione al contorno $\psi(0)=\psi(1)=0$ e in cui le funzioni d'onda avevano origine in 0 ed in 1,abbiamo nel nostro caso le condizioni $\partial_x\psi(0)=\partial_x\psi(1)=0$ , il risultato finale è una funzione d'onda all'incirca così:
CASO $n=1$ : $\psi(x)=sqrt(2)*cos(πx)$
CASO $n=2$ : $\psi(x)=sqrt(2)*cos(2πx)$
CASO $n=1$ : $\psi(x)=sqrt(2)*cos(πx)$
CASO $n=2$ : $\psi(x)=sqrt(2)*cos(2πx)$
Vale la pena anche vedere l'evoluzione della $|\psi|^2$
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6bXIxczFvYkd0WmM/edit?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6bXIxczFvYkd0WmM/edit?usp=sharing
Fantastico! 
"grimx":
Con le condizioni al contorno $\partial\psi(0)=\partial\psi(1)=0$
ottengo che:
$B=0$ e $k=nπ$
e quindi la soluzione si riduce a:
$\psi(x)=Acos(nπx)$
nel mio caso si trattava di derivate parziali rispetto alla x, quindi mi chiedo se quello che scrivi dopo valga ancora. (o forse volevi scrivere $\partial\_x$ ?
Inoltre:
"grimx":
Io farei così:
La soluzione dellìequazione di schrodinger non dipendente dal tempo è:
$ \psi(x)=Acoskx+Bsinkx $ con $ k=sqrt(E) $
ti sei calcolato la soluzione mediante separazione delle variabili, giusto?
Allora, cerco di farti capire meglio e schiarirti le idee:
Punto 1
L'equazione di schrodinger è:
$i(\partial\psi)/(\partialt)=-(\partial^2\psi)/(\partial x^2)$
ed hai le condizioni al contorno $\partial_x\psi(0)=\partial_x\psi(1)=0$ (prima intendevo quello che ho scritto ora.)
E sai che $\Psi(x,0)=1/sqrt(2)+cos(2πx)$
Ora, quello che devi fare è risolvere l'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo che è questa:
$(d^2\psi)/(dx^2)=-E\psi$
che è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.
Perchè risolvere questa equazione e non quella temporale? Perchè nell'equazione di schrodinger temporale, separando le variabili ($\Psi(x,t)=\psi(x)*\f(t)$) , si ottiene una soluzione per la funzione temporale $f(t) =e^(-iHt)$ (operatore di evoluzione temporale) mentre per la soluzione dipendente da x si ottiene una soluzione che dipende da V(x).
Così, per diversi V(x) otterremo diverse soluzioni.
In questo caso abbiamo che $V(x)=0$ e quindi dobbiamo risolvere l'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo.
Quella equazione si risolve scrivendo l'equazione caratteristica di secondo grado:
$z^2+E=0 => z^2=-E => z=+-isqrt(E)$
Allora, dato che le soluzioni di questa equazione caratteristica sono tutte e due complesse avremo che la soluzione della equazione differenziale è:
$\psi(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)$ con $k=sqrt(E)$
Punto 2
Ora dobbiamo fare i conti con le condizioni al contorno date dal problema:
prima di tutto facciamo la derivata della funzione d'onda rispetto a x:
$\partial_x\psi= -Aksin(kx)+Bkcos(kx)$
Ora dobbiamo porre la derivata di $\psi(0)=0$ e quindi otteniamo che $B=0$
Ora la nostra funzione si è ridotta così:
$\psi=Acos(kx)$
Però abbiamo un'altra condizione, che la derivata rispetto a x della funzione in x=1 è 0.
Otteniamo allora che $k=nπ$ poichè sappiamo che il seno si annulla per interi di $π$ (n=0,1,2,3,4,5,6,7....)
Adesso, le nostre autofunzioni dell'energia sono date da:
$\psi_n(x)=Acos(nπx)$
Normalizzando si ottiene:
$\psi_n(x)=sqrt(2)cos(nπx)$
E possiamo anche trovare gli autovalori di E
$k=sqrt(E) =>k=nπ => E=n^2π^2$
Punto 3
fatto questo non ci resta altro che applicare l'operatore di evoluzione temporale $e^(-iHt)$ alle autofunzioni per ottenere la $\Psi(x,t)$
$\Psi(x,t)=sqrt(2)*e^(-iHt)cos(nπx)=sqrt(2)*e^(-iE_nt)cos(nπx)=sqrt(2)*e^(-i*4π^2t)cos(2πx)$
L'esercizio è finito, se si vuole la densità di probabilità basta elevare al quadrato la $\Psi$
Sinceramente non saprei come risolverlo in altri modi, perchè non ho conoscenze matematiche così elevate, ma penso che qualche volta in fisica bisogna "abbandonare" la matematica "formale".... Comunque aspetta la risposta di arrigo che sicuramente capirà il tuo problema, io posso solo dirti come lo avrei risolto io.
Spero ti sia di aiuto!
ciao
Punto 1
L'equazione di schrodinger è:
$i(\partial\psi)/(\partialt)=-(\partial^2\psi)/(\partial x^2)$
ed hai le condizioni al contorno $\partial_x\psi(0)=\partial_x\psi(1)=0$ (prima intendevo quello che ho scritto ora.)
E sai che $\Psi(x,0)=1/sqrt(2)+cos(2πx)$
Ora, quello che devi fare è risolvere l'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo che è questa:
$(d^2\psi)/(dx^2)=-E\psi$
che è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.
Perchè risolvere questa equazione e non quella temporale? Perchè nell'equazione di schrodinger temporale, separando le variabili ($\Psi(x,t)=\psi(x)*\f(t)$) , si ottiene una soluzione per la funzione temporale $f(t) =e^(-iHt)$ (operatore di evoluzione temporale) mentre per la soluzione dipendente da x si ottiene una soluzione che dipende da V(x).
Così, per diversi V(x) otterremo diverse soluzioni.
In questo caso abbiamo che $V(x)=0$ e quindi dobbiamo risolvere l'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo.
Quella equazione si risolve scrivendo l'equazione caratteristica di secondo grado:
$z^2+E=0 => z^2=-E => z=+-isqrt(E)$
Allora, dato che le soluzioni di questa equazione caratteristica sono tutte e due complesse avremo che la soluzione della equazione differenziale è:
$\psi(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)$ con $k=sqrt(E)$
Punto 2
Ora dobbiamo fare i conti con le condizioni al contorno date dal problema:
prima di tutto facciamo la derivata della funzione d'onda rispetto a x:
$\partial_x\psi= -Aksin(kx)+Bkcos(kx)$
Ora dobbiamo porre la derivata di $\psi(0)=0$ e quindi otteniamo che $B=0$
Ora la nostra funzione si è ridotta così:
$\psi=Acos(kx)$
Però abbiamo un'altra condizione, che la derivata rispetto a x della funzione in x=1 è 0.
Otteniamo allora che $k=nπ$ poichè sappiamo che il seno si annulla per interi di $π$ (n=0,1,2,3,4,5,6,7....)
Adesso, le nostre autofunzioni dell'energia sono date da:
$\psi_n(x)=Acos(nπx)$
Normalizzando si ottiene:
$\psi_n(x)=sqrt(2)cos(nπx)$
E possiamo anche trovare gli autovalori di E
$k=sqrt(E) =>k=nπ => E=n^2π^2$
Punto 3
fatto questo non ci resta altro che applicare l'operatore di evoluzione temporale $e^(-iHt)$ alle autofunzioni per ottenere la $\Psi(x,t)$
$\Psi(x,t)=sqrt(2)*e^(-iHt)cos(nπx)=sqrt(2)*e^(-iE_nt)cos(nπx)=sqrt(2)*e^(-i*4π^2t)cos(2πx)$
L'esercizio è finito, se si vuole la densità di probabilità basta elevare al quadrato la $\Psi$
Sinceramente non saprei come risolverlo in altri modi, perchè non ho conoscenze matematiche così elevate, ma penso che qualche volta in fisica bisogna "abbandonare" la matematica "formale".... Comunque aspetta la risposta di arrigo che sicuramente capirà il tuo problema, io posso solo dirti come lo avrei risolto io.
Spero ti sia di aiuto!
ciao
Io credo che vada bene, ma questo è un esercizio da ''metodi matematici'' ecco perchè vuol vedere se so calcolare in una base trigonometrica la serie di Fourier.
Le condizioni di derivata parziale ai bordi si chiama 'condizioni di Neumann'. Detto questo, come hai risolto tu credo che sia un modo 'sintetizzato' (come dice il mio libro....) e cioè stai scrivendo tutto in termini di schiera spettrale degli
operatori Laplaciano di Neumann $\Delta_N$
dove:
$\Psi_t = e^-(i \Delta_N t) \Psi_o = \sum_(n=0)^(+oo) e^((i n^2 \pi^2)/L) (P_n)^N \Psi_o$
dove $ (P_n)^N $ sono i proiettori sugli autovettori dell'operatore laplaciano di Neumann.
(nella relazione a destra pare scomparire il tempo $t$, almeno sul libro non c'è! )
(ma queste cose...le so di teoria, nel senso che è la prima volta che vedo la risoluzione sotto questa ''luce'' e me l'hai scritta tu in modo molto chiaro...)
Le condizioni di derivata parziale ai bordi si chiama 'condizioni di Neumann'. Detto questo, come hai risolto tu credo che sia un modo 'sintetizzato' (come dice il mio libro....) e cioè stai scrivendo tutto in termini di schiera spettrale degli
operatori Laplaciano di Neumann $\Delta_N$
dove:
$\Psi_t = e^-(i \Delta_N t) \Psi_o = \sum_(n=0)^(+oo) e^((i n^2 \pi^2)/L) (P_n)^N \Psi_o$
dove $ (P_n)^N $ sono i proiettori sugli autovettori dell'operatore laplaciano di Neumann.
(nella relazione a destra pare scomparire il tempo $t$, almeno sul libro non c'è! )
(ma queste cose...le so di teoria, nel senso che è la prima volta che vedo la risoluzione sotto questa ''luce'' e me l'hai scritta tu in modo molto chiaro...)
Sisi capisco, io non posso aiutarti allora 
, sicuramente qualcuno più bravo di me riuscirà ad aiutarti e a risolvere il tuo problema!
, sicuramente qualcuno più bravo di me riuscirà ad aiutarti e a risolvere il tuo problema!
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