Densità di massa lineare su sbarra e momento d'inerzia
I dati sono i seguenti:
Barra di lunghezza L, massa M distribuita linearmente secondo la legge $ lambda =ax^3+b $ con x l'ascissa del punto generico P sulla retta con origine in A e secondo estremo in B.
Trovare i valori di a e b in modo tale che il suo momento di inerzia valga $ (ML^2)/10 $ .
Io lo inizierei a risolverlo così, è corretto?
$ dI=l^2dm $
con $ dm=(ax^3+b)dx $ e $ l=L-x $ .
Integro su tutta la lunghezza:
$ I=int_(0)^(L) (L-x)^2(ax^3+b) dx $ che mi porta al risultato $ I=(aL^6)/60+(bL^3)/3 $
Barra di lunghezza L, massa M distribuita linearmente secondo la legge $ lambda =ax^3+b $ con x l'ascissa del punto generico P sulla retta con origine in A e secondo estremo in B.
Trovare i valori di a e b in modo tale che il suo momento di inerzia valga $ (ML^2)/10 $ .
Io lo inizierei a risolverlo così, è corretto?
$ dI=l^2dm $
con $ dm=(ax^3+b)dx $ e $ l=L-x $ .
Integro su tutta la lunghezza:
$ I=int_(0)^(L) (L-x)^2(ax^3+b) dx $ che mi porta al risultato $ I=(aL^6)/60+(bL^3)/3 $
Risposte
"Frappi":
I dati sono i seguenti:
Barra di lunghezza L, massa M distribuita linearmente secondo la legge $ lambda =ax^3+b $ con x l'ascissa del punto generico P sulla retta con origine in A e secondo estremo in B.
Trovare i valori di a e b in modo tale che il suo momento di inerzia valga $ (ML^2)/10 $ .
Momento di inerzia per quale rotazione? Intorno ad A? o B? O il centro?
"Frappi":
Io lo inizierei a risolverlo così, è corretto?
$ dI=l^2dm $
con $ dm=(ax^3+b)dx $ e $ l=L-x $ .
Perchè $l = L - x$ e non semplicemente $x$? Hai deciso che la rotazione è intorno al punto con $x = L$?
Effettivamente, ho mancato di specificarli.
l è la distanza dall'asse di rotazione.
Il momento è rispetto all'asse perpendicolare alla sbarra passante per l'estremo B
l è la distanza dall'asse di rotazione.
Il momento è rispetto all'asse perpendicolare alla sbarra passante per l'estremo B
Posto che L=2 e M=15 continuando i calcoli dell'integrale raggiungo tale risultato:
$ I=(aL^6+20bL^2)/60 $ che devo porre uguale all'altra sua forma $ I=(ML^2)/10 $ .
La relazione che ottengo è 8a+20b=45.
La seconda equazione ho pensato di ricavarla integrando la massa:
$ M=int dm= int_(0)^(L) (ax^3+b) dx $ da cui ricavo 4a+2b=15
Mettendo a sistema le due equazioni trovo i risulti:
$ a=105/32, b=15/16 $
Lo svolgimento generale è corretto?
$ I=(aL^6+20bL^2)/60 $ che devo porre uguale all'altra sua forma $ I=(ML^2)/10 $ .
La relazione che ottengo è 8a+20b=45.
La seconda equazione ho pensato di ricavarla integrando la massa:
$ M=int dm= int_(0)^(L) (ax^3+b) dx $ da cui ricavo 4a+2b=15
Mettendo a sistema le due equazioni trovo i risulti:
$ a=105/32, b=15/16 $
Lo svolgimento generale è corretto?
Il procedimento mi pare giusto (non ho fatto i conti)
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