Densità di carica lineare per avere forza nulla
Nuovo giorno, nuovo esercizio 
Su questo esercizio non so praticamente da dove iniziare.
Ho ragionato in questo modo:
So che la forza di Lorentz vale:
\(\displaystyle F = Qv_d \times B \)
Questa forza non cambia il modulo della velocità di una carica immersa nel campo magnetico, ma solo la sua direzione. Infatti si può vedere che se la carica non è in movimento, il prodotto vettoriale viene 0.
Quindi, affinché sull'elettrone vi sia applicata una forza nulla, si deve fverificare una di queste condizioni:
1) \(\displaystyle B \| v_d \)
In questo specifico esercizio,i campi magnetici generati dai fili sono ortogonali alla direzione della velocità, quindi è da escludere.
2) \(\displaystyle B = 0 \)
Abbiamo tre fili indefiniti percorsi da corrente, che generano 3 campi magnetici in accordo con la legge di Biot-Savart. Potrei pensare che usando il principio di sovrapposizione, la somma dei 3 campi magnetici sia nulla?
3) \(\displaystyle v_d = 0 \)
Il problema fornisce una velocità $v_d$ non nulla come dato, quindi assolutamente no.
4) \(\displaystyle Q = 0 \)
Potrebbe essere plausibile...
Procedendo sia dal punto 2 che dal punto 4 non ho cavato un ragno dal buco
Tre fili di lunghezza indefinita poggiano sullo stesso piano. I due fili esterni sono percorsi da una corrente $I$, mentre sul filo interno è presente una distribuzione di carica omogenea con densità lineare $\lambda$. La distanza tra il primo filo e il secondo è $a$, mentre la distanza dal secondo al terzo è $2a$.
Quale deve essere la densità lineare $\lambda$ affinché un elettrone posto in $x = 2a$, che si muove con velocità $v$ in direzione parallela ai fili, sia soggetto a forza nulla?
Su questo esercizio non so praticamente da dove iniziare.
Ho ragionato in questo modo:
So che la forza di Lorentz vale:
\(\displaystyle F = Qv_d \times B \)
Questa forza non cambia il modulo della velocità di una carica immersa nel campo magnetico, ma solo la sua direzione. Infatti si può vedere che se la carica non è in movimento, il prodotto vettoriale viene 0.
Quindi, affinché sull'elettrone vi sia applicata una forza nulla, si deve fverificare una di queste condizioni:
1) \(\displaystyle B \| v_d \)
In questo specifico esercizio,i campi magnetici generati dai fili sono ortogonali alla direzione della velocità, quindi è da escludere.
2) \(\displaystyle B = 0 \)
Abbiamo tre fili indefiniti percorsi da corrente, che generano 3 campi magnetici in accordo con la legge di Biot-Savart. Potrei pensare che usando il principio di sovrapposizione, la somma dei 3 campi magnetici sia nulla?
3) \(\displaystyle v_d = 0 \)
Il problema fornisce una velocità $v_d$ non nulla come dato, quindi assolutamente no.
4) \(\displaystyle Q = 0 \)
Potrebbe essere plausibile...
Procedendo sia dal punto 2 che dal punto 4 non ho cavato un ragno dal buco
Risposte
Su quella carica agiscono tre forze, due dovute ai campi magnetici dei due conduttori percorsi da corrente I e una dovuta al campo elettrico relativo al filo carico; prova a disegnarle, sia con $\lambda > 0$, sia con $\lambda <0$. 
La forza su quella carica è quella di Coulomb-Lorentz $\vecF=q(\vec E +\vec v\times \vecB)$
La forza su quella carica è quella di Coulomb-Lorentz $\vecF=q(\vec E +\vec v\times \vecB)$
"RenzoDF":
Su quella carica agiscono tre forze, due dovute ai campi magnetici dei due conduttori percorsi da corrente I e una dovuta al campo elettrico relativo al filo carico; prova a disegnarle, sia con $\lambda > 0$, sia con $\lambda <0$.
La forza su quella carica è quella di Coulomb-Lorentz $\vecF=q(\vec E +\vec v\times \vecB)$
Chiamo $B_1$ e $B_2$ rispettivamente il campo magnetico del primo filo e del secondo filo percorsi da corrente $I$:
\(\displaystyle \vec B_1 = \frac{\mu_0I}{4\pi a} \hat{u}_{\theta} \)
\(\displaystyle \vec B_2 = - \frac{\mu_0I}{2\pi a} \hat{u}_{\theta} \)
I segni li ho messi diversi perché il secondo campo ha direzione opposta al primo.
Ora calcolo il campo elettrico del filo carico:
\(\displaystyle \vec E = \frac{\lambda}{2\pi a \epsilon_0} \hat{u}_x \)
La forza di Coulomb-Lorentz vale:
\(\displaystyle \vec F=q(\vec E +\vec v\times \vec B) \)
Ora,quel $B$ sarà la somma dei due campi magnetici (principio di sovrapposizione)?
Se così fosse, allora:
\(\displaystyle \vec F=q(\vec E +\vec v\times \vec B) = q(\frac{\lambda}{2\pi a \epsilon_0} \hat{u}_x - v\frac{\mu_0I}{4\pi a} \hat{u}_{\theta}) \)
Se questo fosse giusto, non potrei dedurre $\lambda$ in nessun modo.
Neanche a dire che potrei trasformare q secondo $\lambda = q/h$ con $h$ = altezza del filo
"senter":
Chiamo $B_1$ e $B_2$ rispettivamente il campo magnetico del primo filo e del secondo filo percorsi da corrente $I$:
\(\displaystyle \vec B_1 = \frac{\mu_0I}{4\pi a} \hat{u}_{\theta} \)
\(\displaystyle \vec B_2 = - \frac{\mu_0I}{2\pi a} \hat{u}_{\theta} \)
I segni li ho messi diversi perché il secondo campo ha direzione opposta al primo.
Cosa rappresentano quei \(\displaystyle \hat{u}_{\theta} \) ?
I campi magnetici sono perpendicolari al foglio, e l'elettrone risente una forza che lo tira verso il filo più vicino (se le correnti sono concordi) o lo spinge (nel caso contrario)
La forza totale la puoi ricavare con i dati che hai.
Il campo elettrico ha la stessa direzione, lo puoi ricavare in funzione di $lambda$, quindi azzerando la somma delle due forze ricavi $lambda$, non capisco dove trovi la difficoltà
"mgrau":
Cosa rappresentano quei \(\displaystyle \hat{u}_{\theta} \) ?
Quei versori indicano la direzione del campo magnetico.
Le linee del campo magnetico generato da un filo indefinito sono concentriche al filo, da qui il versore $\hat{u}_{\theta}$
Perchè dovrebbero essere perpendicolari al foglio?
Dove le linee del campo attraversano il foglio, sono perpendicolari a questo. Secondo te, che direzione dovrebbero avere?
"mgrau":
Dove le linee del campo attraversano il foglio, sono perpendicolari a questo. Secondo te, che direzione dovrebbero avere?
Si è vero, quando le linee di campo attraversano il foglio, sono perpendicolari al foglio stesso.
Quindi, la direzione è la stessa di quella di $E$.
Giusto?
Giusto
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