Degenerazione quantistica
Durante il corso di fisica quantistica il professore ha parlato della degenerazione di un livello di energia, però non ho ben capito cosa si intenda precisamente. In particolare come si fa a capire se un livello presenta degenerazione e che significato vi si attribuisce fisicamente. Grazie per i chiarimenti.
Risposte
In poche parole due stati quantistici sono degeneri quando hanno la stessa energia, ma numeri quantici diversi. Ovvero si ottengono stati legati con la stessa energia che sono comunque diversi tra loro.
Un esempio inventato su due piedi: l'energia è data da $n^2$, avrai che lo stato con $E=0$ è non degenere mentre lo stato con $E=1,4,9...,m^2$ è due volte degenere. Infatti per $E=1$ puoi avere $n=+-1$ e uno stato con $n=1$ è diverso da uno stato con $n=-1$, in particolare se gli autostati dell'hamiltoniana formano una base ortonormale il loro prodotto scalare sarà nullo e quindi sono diversi.
Probabilmente ci sono definizioni più rigorose, ma credo che per capire il concetto sia meglio questa.
Un esempio inventato su due piedi: l'energia è data da $n^2$, avrai che lo stato con $E=0$ è non degenere mentre lo stato con $E=1,4,9...,m^2$ è due volte degenere. Infatti per $E=1$ puoi avere $n=+-1$ e uno stato con $n=1$ è diverso da uno stato con $n=-1$, in particolare se gli autostati dell'hamiltoniana formano una base ortonormale il loro prodotto scalare sarà nullo e quindi sono diversi.
Probabilmente ci sono definizioni più rigorose, ma credo che per capire il concetto sia meglio questa.
In generale da cosa si evince il grado di degenerazione di uno stato e come lo si risolve? Nel senso come si procede per distinguere i due stati con uguale energia?
Il "grado di degenerazione" è la dimensione dello spazio di autovettori relativi ad un autovalore $E_n$ dell'operatore $H$, ossia il numero di vettori indipendenti $\psi_n$ che soddisfano
\[H\psi_n=E_n\psi_n\]
Per rispondere alla tua domanda, due stati con uguale energia possono avere un diverso autovalore relativo all'operatore momento angolare $L^2$ (e questi autovalori sono $(\frac{h}{2 \pi}) ^2 l(l+1)$, con $l$ intero positivo, se ben ricordo minore o uguale a $n$) oppure alla terza componente del momento angolare, $L_z$ (e gli autovalori sono $\frac{h}{2 \pi}m$, con $|m|
Ciao
\[H\psi_n=E_n\psi_n\]
Per rispondere alla tua domanda, due stati con uguale energia possono avere un diverso autovalore relativo all'operatore momento angolare $L^2$ (e questi autovalori sono $(\frac{h}{2 \pi}) ^2 l(l+1)$, con $l$ intero positivo, se ben ricordo minore o uguale a $n$) oppure alla terza componente del momento angolare, $L_z$ (e gli autovalori sono $\frac{h}{2 \pi}m$, con $|m|
Ciao
Quello che dice esmiro è tutto giusto, mi permetto di sottolineare che quando parla di momento angolare parla di un esempio specifico (probabilmente lo ha dato per scontato). Abbiamo stati degeneri per esempio anche nell'oscillatore armonico bi e tri-dimensionale
Traduco questa definizione formale: calcoli $E_n$ che è l'energia associata ad un determinato stato, questo stato è quindi autofunzione di $H$ con autovalore appunto $E_n$. Se ci sono più autovettori con autovalore $E_n$ allora si ha una degenerazione.
Potrai chiederti in cosa si differenziano due autostati dello stesso valore dell'energia. Si differenziano in generale nei numeri quantici e perché hanno una espressione analitica (la $psi_n$ in se) diversa. Se calcoli il prodotto scalare tra autostati diversi relativi allo stesso autovalore dell'energia ottieni $0$, ovvero $int(bar(psi_1)psi_2)dx=0$.
Se stai parlando dell'atomo idrogenoide $l$ è strettamente minore di $n$
Il "grado di degenerazione" è la dimensione dello spazio di autovettori relativi ad un autovalore En dell'operatore H, ossia il numero di vettori indipendenti ψn che soddisfano
$Hpsi_n=E_npsi_n$
Traduco questa definizione formale: calcoli $E_n$ che è l'energia associata ad un determinato stato, questo stato è quindi autofunzione di $H$ con autovalore appunto $E_n$. Se ci sono più autovettori con autovalore $E_n$ allora si ha una degenerazione.
Potrai chiederti in cosa si differenziano due autostati dello stesso valore dell'energia. Si differenziano in generale nei numeri quantici e perché hanno una espressione analitica (la $psi_n$ in se) diversa. Se calcoli il prodotto scalare tra autostati diversi relativi allo stesso autovalore dell'energia ottieni $0$, ovvero $int(bar(psi_1)psi_2)dx=0$.
se ben ricordo minore o uguale a $n$
Se stai parlando dell'atomo idrogenoide $l$ è strettamente minore di $n$
Ricapitolando risolvere il problema agli autovalori per l'operatore hamiltoniano permette di conoscere i possibili valori dell'energia del sistema che stiamo studiando. Ma ad ogni valore di tale energia possiamo associare una degenerazione, nel senso che allo stesso autovalore possiamo associare più autostati distinti e ortogonali tra loro. Quindi mi verrebbe da dire che esiste una simmetria, nel senso che se scambio un autostato con l'altro il relativo problema agli autovalori è ancora valido. È sensato come ragionamento?
"amedeo_mate":
Quindi mi verrebbe da dire che esiste una simmetria, nel senso che se scambio un autostato con l'altro il relativo problema agli autovalori è ancora valido. È sensato come ragionamento?
Non so quanto sia corretto parlare di simmetria (rispetto a cosa?)... è comunque evidente che entrambi gli autovettori hanno lo stesso autovalore allora puoi "scambiarli" nell'equazione $Hpsi_n=Epsi_n$.
Bada che se l'autovalore è $E$ e gli autovettori sono $psi_n$ e $psi_m$ l'espressione
$Hpsi_n=Epsi_m$ è sbagliata naturalmente, dalla definizione stessa di autovettore.
Amedeo non capisco la tua domanda: cerco di farti un esempio più dettagliato. Immagina di avere due vettori $\psi_{n,l_1}$ e $\psi_{n,l_2}$. Immagina che questi due vettori siano entrambi autovettori di $H$, entrambi relativi all'autovalore $E_n$. Perciò vale
\[H \ \psi_{n,l_1} = E_n \ \psi_{n,l_1}\]
ma anche
\[H \ \psi_{n,l_2} = E_n \ \psi_{n,l_2}\]
Quindi se hai una particella che si trova in uno di quegli stati e misuri la sua energia, ottieni come risultato $E_n$.
Ma non c'è solo l'energia, esistono anche altre osservabili, come per esempio il momento angolare. Questi due vettori, che come ho detto sono autovettori di $H$ relativi a $E_n$, nel mio esempio sono autovettori anche di $L^2$ (ripeto, è un esempio!), ma questa volta relativi a due autovalori diversi ! Quindi, se applichi $L^2$, ottieni
\[L^2 \ \psi_{n,l_1} = (\frac{h}{2\pi})^2 \ l_1(l_1+1) \ \psi_{n,l_1}\]
per il primo e
\[L^2 \ \psi_{n,l_2} = (\frac{h}{2\pi})^2 \ l_2(l_2+1) \ \psi_{n,l_2}\]
per il secondo.
L'algebra lineare ci insegna che, se vale ciò che ho detto finora, i due vettori devono essere ortogonali tra di loro.
In questo senso l'energia è degenere: allo stesso autovalore corrispondono più autovettori indipendenti.
Ti è più chiaro così?
Spremiagrumi grazie per le precisazioni
Esmiro
\[H \ \psi_{n,l_1} = E_n \ \psi_{n,l_1}\]
ma anche
\[H \ \psi_{n,l_2} = E_n \ \psi_{n,l_2}\]
Quindi se hai una particella che si trova in uno di quegli stati e misuri la sua energia, ottieni come risultato $E_n$.
Ma non c'è solo l'energia, esistono anche altre osservabili, come per esempio il momento angolare. Questi due vettori, che come ho detto sono autovettori di $H$ relativi a $E_n$, nel mio esempio sono autovettori anche di $L^2$ (ripeto, è un esempio!), ma questa volta relativi a due autovalori diversi ! Quindi, se applichi $L^2$, ottieni
\[L^2 \ \psi_{n,l_1} = (\frac{h}{2\pi})^2 \ l_1(l_1+1) \ \psi_{n,l_1}\]
per il primo e
\[L^2 \ \psi_{n,l_2} = (\frac{h}{2\pi})^2 \ l_2(l_2+1) \ \psi_{n,l_2}\]
per il secondo.
L'algebra lineare ci insegna che, se vale ciò che ho detto finora, i due vettori devono essere ortogonali tra di loro.
In questo senso l'energia è degenere: allo stesso autovalore corrispondono più autovettori indipendenti.
Ti è più chiaro così?
Spremiagrumi grazie per le precisazioni
Esmiro
Certo questo mi è chiaro, il mio dubbio è come faccio a capire che posso utilizzare proprio il momento angolare per poter distinguere i due stati e non un'altra osservabile.
Risolvi l'equazione agli autovalori per l'operatore momento angolare. L'autovalore è $l(l+1)$ e l'autofunzione è un armonica sferica ($LY_(lm)=l(l+1)Y_(lm)$). Anche il momento angolare però presenta degli stati degeneri, esattamente $2l+1$ e avrai $2l+1$ armoniche sferiche che soddisfano l'equazione agli autovalori, quindi dovrai usare il momento angolare lungo l'asse $z$ per arrivare all'armonica sferica esatta per il tuo stato con autovalore $L_zY_(lm)=mY_(lm)$.
Amedeo,
il motivo per cui il momento angolare è una buona scelta è che l'operatore momento angolare commuta con l'hamiltoniana.
Infatti, è facile notare che
\[[H,L^2] \ \equiv HL^2 \ - \ L^2 H\ =\ 0\]
Come ha appena detto Spremiagrumi, questo discorso vale anche per la terza componente del momento angolare. Infatti vale
\[[H,L_z] \ =\ 0\]
e anche
\[[L_z,L^2] \ =\ 0\]
A questo punto potrei essere tentato di usare, per esempio, $L_x$, ma non posso farlo. Il motivo è che $L_x$ non commuta con $L_z$:
\[[L_z,L_x]\neq 0\]
In generale, ogni volta che due operatori commutano, è possibile costruire una base di vettori che sono autovettori allo stesso tempo di entrambi gli operatori.
Il significato fisico di tutto ciò è che si possono misurare contemporaneamente con precisione arbitraria solo le osservabili relative ad operatori che commutano. Questo è il motivo per cui non è possibile stabilire con arbitraria precisione la posizione e l'impulso di una particella. Si ha infatti:
\[[x,p]=ih/2\pi\]
Ok?
il motivo per cui il momento angolare è una buona scelta è che l'operatore momento angolare commuta con l'hamiltoniana.
Infatti, è facile notare che
\[[H,L^2] \ \equiv HL^2 \ - \ L^2 H\ =\ 0\]
Come ha appena detto Spremiagrumi, questo discorso vale anche per la terza componente del momento angolare. Infatti vale
\[[H,L_z] \ =\ 0\]
e anche
\[[L_z,L^2] \ =\ 0\]
A questo punto potrei essere tentato di usare, per esempio, $L_x$, ma non posso farlo. Il motivo è che $L_x$ non commuta con $L_z$:
\[[L_z,L_x]\neq 0\]
In generale, ogni volta che due operatori commutano, è possibile costruire una base di vettori che sono autovettori allo stesso tempo di entrambi gli operatori.
Il significato fisico di tutto ciò è che si possono misurare contemporaneamente con precisione arbitraria solo le osservabili relative ad operatori che commutano. Questo è il motivo per cui non è possibile stabilire con arbitraria precisione la posizione e l'impulso di una particella. Si ha infatti:
\[[x,p]=ih/2\pi\]
Ok?
Grazie ad entrambi per i chiarimenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo