Definizione dinamica tensore di spin-Teoria di Einstein Cartan
Buonasera,
questo è il mio primo messaggio nel forum, spero di non commettere nessun errore
Sto scrivendo la mia tesi triennale sulla teoria di Einstein-Cartan.
Come riferimento sto ""seguendo'' l'articolo di Hehl e collaboratori del 1976, dal titolo "General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects"
Non riesco proprio a capire come si ricavino le relazioni (3.7) a pagina 399:
$$\mu^{\lambda\nu\mu}=-\tau^{\lambda\nu\mu}+\tau^{\nu\mu\lambda}-\tau^{\mu\lambda\nu}\qquad \tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda} $$
Dove $\tau$ (tensore di spin) e $\mu$ (tensore di pseudo spin) sono definiti dalle seguenti:
$${\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {K_{\mu\nu}}^{\lambda}}\qquad
{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}} $$
Dove $\Theta$ e $K$ sono rispettivamente torsione e contorsione, legate dalle seguenti relazioni:
$${K_{\mu\lambda}}^\nu=-{\Theta_{\mu\lambda}}^\nu+{{\Theta_{\lambda}}^{\nu}}_\mu-{\Theta^{\nu}}_{\mu\lambda}\qquad {\Theta_{\lambda\mu}}^\nu={K_{[\mu\lambda]}}^\nu $$
Sono riuscite a ricavare le formule in questione solo in una maniera che non penso sia giusta, in quanto, per arrivare al risultato finale, dimostro anche l'antisimmetria del tensore di spin negli ultimi due indici, cosa che non dovrebbe essere giusta da quanto dice l'articolo stesso. Però non riesco proprio a capire dove si cela il mio errore; il ragionamento che ho svolto è il seguente e si basa sulle precedenti formule e sulla regola della catena:
\begin{equation*}
\begin{split}
{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\partial {K_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}\frac{\partial{K_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&={\tau_\epsilon}^{\sigma\rho}\left[-\frac{ \partial{\Theta_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}+\frac{\partial {\Theta_{\sigma}}^{\epsilon}\,_\rho}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}-\frac{\partial {\Theta^{\epsilon}}_{\rho\sigma}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\right]\\
&={\tau_\epsilon}^{\sigma\rho}\left[-\frac{\partial{\Theta_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}+g^{\epsilon\gamma}g_{\rho k}\frac{\partial {\Theta_{\sigma\gamma}}^{k}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}-g^{\epsilon\gamma}g_{\sigma k}\frac{\partial {\Theta_{\gamma\rho}}^{k}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\right]\\
\end{split}
\end{equation*}
Quindi:
\begin{equation}{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}=-{\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}+{\tau^{\nu\mu}}_\lambda-{\tau^\mu}_{\lambda}\,^\nu
\end{equation}
Ovvero: (1)
\begin{equation}
\mu^{\lambda\nu\mu}=-\tau^{\lambda\nu\mu}+\tau^{\nu\mu\lambda}-\tau^{\mu\lambda\nu}
\end{equation}
E fin qui tutto ok. Adesso ricordando invece la definizione di spin e seguendo un procedimento del tutto analogo:
\begin{equation*}
\begin{split}
{\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{\partial {\Theta_{\rho\sigma}}^\epsilon}{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\\
&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{\partial K_{[\sigma\rho]}\,^\epsilon }{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\\
&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\left[ {K_{\sigma\rho}}^\epsilon-{K_{\rho\sigma}}^\epsilon\right]
\end{split}
\end{equation*}
si trova il seguente risultato:
\begin{equation}
\tau^{\lambda\nu\mu}= \mu^{\lambda[\mu\nu]}
\end{equation}
Dove si cela l'errore?
Continuando il ragionamento e sfruttando quindi l'antisimmetria negli ultimi due indici, ripartendo dalla relazione (1) si arriva facilmente alla seguente:
\begin{equation}
\tau^{\lambda\nu\mu}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}
\end{equation}
Ripartendo sempre dalla (1) e sfruttando il fatto, appena dimostrato, che $\tau$ è antisimmetrico anche nei primi due indici possiamo infine riscrivere che:
\begin{equation}
\tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}
\end{equation}
Riassumendo, mi sarebbe molto utile riuscire a capire dove sbaglio ed eventualmente, sapere come poter dimostrare la formula $\tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}$ in altro modo visto che senza sfruttare l'antisimmetria (sbagliata) negli ultimi due indici non ci riesco prorpio
Spero di essere stato abbastanza chiaro e grazie a tutti per le risposte!
questo è il mio primo messaggio nel forum, spero di non commettere nessun errore
Sto scrivendo la mia tesi triennale sulla teoria di Einstein-Cartan.
Come riferimento sto ""seguendo'' l'articolo di Hehl e collaboratori del 1976, dal titolo "General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects"
Non riesco proprio a capire come si ricavino le relazioni (3.7) a pagina 399:
$$\mu^{\lambda\nu\mu}=-\tau^{\lambda\nu\mu}+\tau^{\nu\mu\lambda}-\tau^{\mu\lambda\nu}\qquad \tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda} $$
Dove $\tau$ (tensore di spin) e $\mu$ (tensore di pseudo spin) sono definiti dalle seguenti:
$${\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {K_{\mu\nu}}^{\lambda}}\qquad
{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}} $$
Dove $\Theta$ e $K$ sono rispettivamente torsione e contorsione, legate dalle seguenti relazioni:
$${K_{\mu\lambda}}^\nu=-{\Theta_{\mu\lambda}}^\nu+{{\Theta_{\lambda}}^{\nu}}_\mu-{\Theta^{\nu}}_{\mu\lambda}\qquad {\Theta_{\lambda\mu}}^\nu={K_{[\mu\lambda]}}^\nu $$
Sono riuscite a ricavare le formule in questione solo in una maniera che non penso sia giusta, in quanto, per arrivare al risultato finale, dimostro anche l'antisimmetria del tensore di spin negli ultimi due indici, cosa che non dovrebbe essere giusta da quanto dice l'articolo stesso. Però non riesco proprio a capire dove si cela il mio errore; il ragionamento che ho svolto è il seguente e si basa sulle precedenti formule e sulla regola della catena:
\begin{equation*}
\begin{split}
{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\delta {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\left(\sqrt{-g} \mathcal{L}\right)}{\partial {K_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}\frac{\partial{K_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\\
&={\tau_\epsilon}^{\sigma\rho}\left[-\frac{ \partial{\Theta_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}+\frac{\partial {\Theta_{\sigma}}^{\epsilon}\,_\rho}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}-\frac{\partial {\Theta^{\epsilon}}_{\rho\sigma}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\right]\\
&={\tau_\epsilon}^{\sigma\rho}\left[-\frac{\partial{\Theta_{\rho\sigma}}^{\epsilon}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}+g^{\epsilon\gamma}g_{\rho k}\frac{\partial {\Theta_{\sigma\gamma}}^{k}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}-g^{\epsilon\gamma}g_{\sigma k}\frac{\partial {\Theta_{\gamma\rho}}^{k}}{\partial {\Theta_{\mu\nu}}^{\lambda}}\right]\\
\end{split}
\end{equation*}
Quindi:
\begin{equation}{\mu_{\lambda}}^{\nu\mu}=-{\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}+{\tau^{\nu\mu}}_\lambda-{\tau^\mu}_{\lambda}\,^\nu
\end{equation}
Ovvero: (1)
\begin{equation}
\mu^{\lambda\nu\mu}=-\tau^{\lambda\nu\mu}+\tau^{\nu\mu\lambda}-\tau^{\mu\lambda\nu}
\end{equation}
E fin qui tutto ok. Adesso ricordando invece la definizione di spin e seguendo un procedimento del tutto analogo:
\begin{equation*}
\begin{split}
{\tau_{\lambda}}^{\nu\mu}&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{\partial {\Theta_{\rho\sigma}}^\epsilon}{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\\
&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{\partial K_{[\sigma\rho]}\,^\epsilon }{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\\
&={\mu_\epsilon}^{\sigma\rho}\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {K_{\mu\nu}}^\lambda}\left[ {K_{\sigma\rho}}^\epsilon-{K_{\rho\sigma}}^\epsilon\right]
\end{split}
\end{equation*}
si trova il seguente risultato:
\begin{equation}
\tau^{\lambda\nu\mu}= \mu^{\lambda[\mu\nu]}
\end{equation}
Dove si cela l'errore?
Continuando il ragionamento e sfruttando quindi l'antisimmetria negli ultimi due indici, ripartendo dalla relazione (1) si arriva facilmente alla seguente:
\begin{equation}
\tau^{\lambda\nu\mu}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}
\end{equation}
Ripartendo sempre dalla (1) e sfruttando il fatto, appena dimostrato, che $\tau$ è antisimmetrico anche nei primi due indici possiamo infine riscrivere che:
\begin{equation}
\tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}
\end{equation}
Riassumendo, mi sarebbe molto utile riuscire a capire dove sbaglio ed eventualmente, sapere come poter dimostrare la formula $\tau^{\nu\mu\lambda}= \mu^{[\mu\nu]\lambda}$ in altro modo visto che senza sfruttare l'antisimmetria (sbagliata) negli ultimi due indici non ci riesco prorpio
Spero di essere stato abbastanza chiaro e grazie a tutti per le risposte!
Risposte
Guarda, magari dico una cavolata, ma se tu usi la metrica per alzare gli indici puoi moltiplicare a destra e trovi
$τ_λ^{μ ν}g^{λ σ}=μ_λ^{[ μ ν ]}g^{λ σ}$
$τ^{μ ν σ}=μ^{[ μ ν]σ}$
Nella convenzione che uso io i prodotti righe per colonne si fanno sugli indici saturi dal basso verso l'alto, così sei sicuro torni tutto, ma non sono sicuro che il conto sia giusto
$τ_λ^{μ ν}g^{λ σ}=μ_λ^{[ μ ν ]}g^{λ σ}$
$τ^{μ ν σ}=μ^{[ μ ν]σ}$
Nella convenzione che uso io i prodotti righe per colonne si fanno sugli indici saturi dal basso verso l'alto, così sei sicuro torni tutto, ma non sono sicuro che il conto sia giusto
Scusa ma se ho in partenza gli indici bassi a sinistra, quando li alzo rimangono a sinistra giusto?
$$\tau_\lambda\,^{\nu\mu}=\mu_\lambda\,^{[\mu\nu]}\to \tau^{\sigma\nu\mu}=\mu^{\sigma[\mu\nu]} $$
$$\tau_\lambda\,^{\nu\mu}=\mu_\lambda\,^{[\mu\nu]}\to \tau^{\sigma\nu\mu}=\mu^{\sigma[\mu\nu]} $$
Putroppo è di quello che non sono sicuro, io la convenzione di Einstein non la ho mai fatta con indici a destra o sinista, per me ci sono solo indici in alto e in basso e per alzarli o abbassarli uso la metrica rispettando il fatto che gli indici contratti vadano dal basso verso l'alto.
Però a questo punto se $\tau$ è antisimmetrico negli ultimi due indici allora automaticamete, abbassando l'indice "non antisimmetrico" a sinistra e rialzandolo poi a destra, $\tau$ sarebbe antisimmetrico anche nei primi due....
ma io so con certezza che in generale $\tau$ è antisimmetrico solo nei primi due indici!
ma io so con certezza che in generale $\tau$ è antisimmetrico solo nei primi due indici!
Appunto, visto che rispetto la convenzione di somme dal basso vero l'alto il primo indice può finire solo in alto in fondo a destra, non a sinistra sennò avresti prodotti che non sono righe per colonne, ma colonne per colonne o roba così
Sono però certo che ci si può parlare sia di antisimmetria del tensore di spin nei primi due indi (cosa che è sempre vera) distinguendola dall'antisimmetria negli ultimi due (che c'è solo in determinati casi, per esempio nel campo di Dirac, in cui il tesore di spin è addirittura totalmente antisimmetrico) .... continua a non tornarmi!
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