Definizione di tempo proprio di un evento
Ciao a tutti. Ho un po di confusione sulla definizione di tempo proprio in meccanica relativistica. Io sono in un sistema di riferimento inerziale, e sto osservando un gessetto che è in moto con una certa accelerazione. Il tempo proprio è definito come il tempo che viene misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale istante per istante al gessetto (in modo tale da non essere influenzato da nessuna accelerazione). Fin qui ci sono?
Risposte
Ok.
Il tempo proprio è definito come il tempo che viene misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale istante per istante al gessetto
Ok, ma questo tempo, se non risente delle accelerazioni, coincide con il tempo del mio orologio o sbaglio?
Infatti, quella parentesi e' ambigua... il concetto di tempo proprio nasce all'interno della relativita' ristretta, dove non ci sono sistemi accelerati, ma solo inerziali.
I sistemi accelerati sono di competenza della relativita' generale.
I sistemi accelerati sono di competenza della relativita' generale.
Infatti, quella parentesi e' ambigua... il concetto di tempo proprio nasce all'interno della relativita' ristretta, dove non ci sono sistemi accelerati, ma solo inerziali.
Perchè allora in ogni testo di relatività ristretta, la cinematica e la dinamica vengono costruite prendendo in considerazione il tempo proprio di un corpo?
"anonymous_af8479":
Infatti, quella parentesi e' ambigua... il concetto di tempo proprio nasce all'interno della relativita' ristretta, dove non ci sono sistemi accelerati, ma solo inerziali.
I sistemi accelerati sono di competenza della relativita' generale.
Non sono d'accordo. Si può parlare di sistemi accelerati anche in Relatività Ristretta. Il "tempo proprio" è quello che segna l'orologio "al polso" di colui che "si muove" : naturalmente, "colui che si muove" si muove rispetto ad un osservatore inerziale, il cui tempo è il "tempo coordinato" . Rispetto all' osservatore inerziale di riferimento, quello che si muove di moto accelerato cambia istantaneamente un riferimento inerziale dopo l'altro, e ciascuno di questi istantanei riferimenti inerziali prende il nome, in Inglese, di "Momentarily Comoving Reference Frame" , ovvero MCRF.
Ogni MCRF è, quindi, il "riferimento inerziale di quiete momentanea" per colui che viaggia.
La relazione fondamentale che lega il tempo coordinato col tempo proprio è :
$dt = \gamma(v) d\tau$
dove $gamma(v)$ è il fattore di Lorentz, che solo se la velocità $v$ è costante rimane anch'esso costante. Altrimenti è variabile.
In RR si tratta, per esempio, il "moto iperbolico relativistico" che è quello di un "viaggiatore" con "accelerazione propria" costante. L'accelerazione propria è quella relativa al MCRF.
Ne abbiamo parlato qui ( ma non solo) a proposito del "razzo relativistico" :
viewtopic.php?f=19&t=114276&hilit=+accelerazione+propria#p749080
La relazione fondamentale che lega il tempo coordinato col tempo proprio è :
$ dt = \gamma(v) d\tau $
invece in che modo sono relazionati dt' (cioè il tempo del sistema di riferimento accelerato) con dt(tempo coordinato, ossia il tempo misurato dal mio orologio) e con $d \tau $ (tempo proprio)?
Infatti, si parla sempre di $d \tau$. Comunque, nei testi di meccanica relativistica che conosco io non ho mai visto parlare di sistemi accelerati che sono oggetto della RG.
In un sistema accelerato cambia la metrica per cui il discorso va impostato in modo diverso (vedi i classici esempi dei sistemi ruotanti ed uniformemente accelerati).
Per due sistemi inerziali, la formula è la famosa:
$dt = {d \tau} / sqrt{1 - v^2 / c^2}$.
Per due sistemi inerziali, la formula è la famosa:
$dt = {d \tau} / sqrt{1 - v^2 / c^2}$.
Nick, nella formuletta che ti ho scritto:
$dt = \gamma(v)*d\tau$
il primo membro rappresenta il differenziale di tempo coordinato : $dt$ .
Al secondo membro, la quantità $d\tau$ è il diff. del "tempo proprio" che, ripeto, è quello segnato dall'orologio del "viaggiatore, ed è legato al tempo proprio dal fattore $\gamma(v)$ di Lorentz , di espressione ben nota, che varia se varia la velocità. Basta, non c'è un altro tempo da considerare.
Il relativista Wolfgang Rindler ne parla abbastanza diffusamente nel suo libro : "Relativity-special, general, cosmological" Io ho la seconda edizione della Cambridge University Press.
Invece Misner, Thorne, Wheeler in "Gravitation" hanno dedicato un intero capitolo, se non ricordo male il 5º , agli "Accelerated observers" , molto prima di parlare di curvatura e argomenti di RG.
Dei "riferimenti inerziali di quiete momentanea" , o MCRF, ne parla anche Bernard Schutz in : " A first course in General Relativity" , ma non solo lui ovviamente.
Prendi il paradosso dei gemelli : molti pensano erroneamente che si debba far ricorso alla Relatività Generale per risolverlo, visto che ci sono delle fasi di accelerazione alla partenza e all'arrivo (positive o negative ovviamente) .
E invece non è così. Basta la Relatività Ristretta.
$dt = \gamma(v)*d\tau$
il primo membro rappresenta il differenziale di tempo coordinato : $dt$ .
Al secondo membro, la quantità $d\tau$ è il diff. del "tempo proprio" che, ripeto, è quello segnato dall'orologio del "viaggiatore, ed è legato al tempo proprio dal fattore $\gamma(v)$ di Lorentz , di espressione ben nota, che varia se varia la velocità. Basta, non c'è un altro tempo da considerare.
Il relativista Wolfgang Rindler ne parla abbastanza diffusamente nel suo libro : "Relativity-special, general, cosmological" Io ho la seconda edizione della Cambridge University Press.
Invece Misner, Thorne, Wheeler in "Gravitation" hanno dedicato un intero capitolo, se non ricordo male il 5º , agli "Accelerated observers" , molto prima di parlare di curvatura e argomenti di RG.
Dei "riferimenti inerziali di quiete momentanea" , o MCRF, ne parla anche Bernard Schutz in : " A first course in General Relativity" , ma non solo lui ovviamente.
Prendi il paradosso dei gemelli : molti pensano erroneamente che si debba far ricorso alla Relatività Generale per risolverlo, visto che ci sono delle fasi di accelerazione alla partenza e all'arrivo (positive o negative ovviamente) .
E invece non è così. Basta la Relatività Ristretta.
Ok credo di esserci 
un'ultima domanda anche se credo sia una domanda banale: senza introdurre il concetto di tempo proprio, si potrebbe ugualmente risolvere i problemi di cinematica e dinamica nell'ambito della relatività ristretta? Cioè ci sono altri modi di relazionare il tempo mio e quello del gessetto che si muove con velocità non costante?
un'ultima domanda anche se credo sia una domanda banale: senza introdurre il concetto di tempo proprio, si potrebbe ugualmente risolvere i problemi di cinematica e dinamica nell'ambito della relatività ristretta? Cioè ci sono altri modi di relazionare il tempo mio e quello del gessetto che si muove con velocità non costante?
No. La relazione differenziale, che si ricava dalla invarianza del quadri-intervallo in due riferimenti inerziali in moto relativo o dalle trasformazioni di Lorentz (è la stessa cosa), è sempre quella già detta.
Se la velocita è costante, sarà costante $\gamma$. Se non lo è, occorre fare un processo di integrazione.
Considera questo disegnino, che avevo gia messo tempo fa, per il "paradosso dei gemelli" , che paradosso non è.
Se la velocita è costante, sarà costante $\gamma$. Se non lo è, occorre fare un processo di integrazione.
Considera questo disegnino, che avevo gia messo tempo fa, per il "paradosso dei gemelli" , che paradosso non è.
Caro navigatore, ma cosa direbbe il "viaggiatore" ?
Resto dell'idea che la RR sia il regno dei soli sistemi di riferimento inerziali ...
Resto dell'idea che la RR sia il regno dei soli sistemi di riferimento inerziali ...
Ok, quindi se ho capito bene, i vantaggi di questa definizione di tempo proprio si riscontrano nel momento in cui si vuole definire la cinematica di un sistema, in quanto:
- Considerando la semplice composizione della velocità
$$v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma(dx-V \, dt)}{\gamma(dt-V \, \frac{dx}{c^2})}$$
espressione complicata perchè la velocità in questo caso è il rapporto tra un trivettore e la quarta componente di un quadrivettore. Considerando il tempo proprio invece, avremmo uno scalare al denominatore. Risulta essere proprio un vettore (un quadrivettore), in quanto derivata di un vettore rispetto a un parametro che è assoluto, ovvero non dipende
dal sistema di riferimento (sta in quest'ultima affermazione la differenza essenziale esatto?)
E aggiungendo la quarta componente otteniamo un quadrivettore, che dovrebbe portare ulteriori vantaggi nella formulazione dell'accelerazione, quantità di moto, ecc..
Comunque è complicato ma non impossibile definire la cinematica considerando semplicemente le trasformazioni di Lorentz e componendo le velocità per tratti infinitesimi o mi sbaglio?
- Considerando la semplice composizione della velocità
$$v'_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma(dx-V \, dt)}{\gamma(dt-V \, \frac{dx}{c^2})}$$
espressione complicata perchè la velocità in questo caso è il rapporto tra un trivettore e la quarta componente di un quadrivettore. Considerando il tempo proprio invece, avremmo uno scalare al denominatore. Risulta essere proprio un vettore (un quadrivettore), in quanto derivata di un vettore rispetto a un parametro che è assoluto, ovvero non dipende
dal sistema di riferimento (sta in quest'ultima affermazione la differenza essenziale esatto?)
E aggiungendo la quarta componente otteniamo un quadrivettore, che dovrebbe portare ulteriori vantaggi nella formulazione dell'accelerazione, quantità di moto, ecc..
Comunque è complicato ma non impossibile definire la cinematica considerando semplicemente le trasformazioni di Lorentz e componendo le velocità per tratti infinitesimi o mi sbaglio?
"anonymous_af8479":
Caro navigatore, ma cosa direbbe il "viaggiatore" ?
Resto dell'idea che la RR sia il regno dei soli sistemi di riferimento inerziali ...
Caro Arrigo,
certamente la Relatività Ristretta si occupa di trasformazioni tra riferimenti inerziali. Chi lo ha negato?
Certamente lo spazio tempo della RR è piatto, cioè tutte le 20 componenti del tensore di curvatura di Riemann sono nulle.
Certamente la metrica di questo spaziotempo è la metrica di Minkowski : $ \eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1)$
Ma è altrettanto vero che si possono trattare in RR problemi di cinematica relativistica in cui il punto mobile (o il viaggiatore, come tu dici) ha una accelerazione rispetto ad un osservatore inerziale di riferimento.
Il moto iperbolico relativistico ne è un esempio : qui la accelerazione propria è costante, cioè il "viaggiatore" si sente costantemente accelerato dal sedile che gli preme sulla schiena, mentre rispetto all'osservatore inerziale di riferimento, che potrebbe essere terrestre, l'accelerazione diminuisce. Scherzi della Relatività, ma solo quella Ristretta....
Ho già messo il link a questo argomento in un post precedente. Non vorrei mettermi a parlare di quadrivettori, di 4-velocità e 4-accelerazione....Metto un altro link :
http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_iperbolico
Un altro esempio è quello del famoso paradosso dei gemelli, che paradosso non è, di cui pure abbiamo discusso tante volte qui.
Per questi problemi non c'è bisogno di invocare la Relativita Generale. Tutta qui la mia osservazione.
"nick 93":
Comunque è complicato ma non impossibile definire la cinematica considerando semplicemente le trasformazioni di Lorentz e componendo le velocità per tratti infinitesimi o mi sbaglio?
Certo Nick, si può fare. Basta che nel diagramma di Minkowski consideri la "linea di universo" del "viaggiatore" come una "spezzata" fatta di tanti segmentini, anziché una "linea curva" , e calcoli i vari fattori $\gamma$ per ciascun trattino, e poi fai la somma dei tempi propri anziché l'integrale....
Nick, nel tuo post hai fatto una confusione tremenda tra trivettori e quadrivettori. Guarda che in RR devi parlare di quadrivettori soltanto, se vuoi usare questo formalismo: 4-velocita, 4-accelerazioni....
Io francamente non ho capito che cosa hai fatto.
Nick, nel tuo post hai fatto una confusione tremenda tra trivettori e quadrivettori. Guarda che in RR devi parlare di quadrivettori soltanto, se vuoi usare questo formalismo: 4-velocita, 4-accelerazioni....
Io francamente non ho capito che cosa hai fatto.
Ricordavo di aver letto una spiegazione nel testo "Meccanica Classica" di John Taylor, solo che mi sono spiegato male. Riporto fedelmente il testo:
Abbiamo visto che la velocità tridimensionale v di un corpo si trasforma secondo le formule della composizione della velocità, che sono piuttosto complicate. E' facile capire il motivo della complicazione: la trivelocità $\vec{v}=\frac{d \vec{x}}{dt}$ è il rapporto trai il trivettore $d \vec{x}$ e la quarta componente dt di un quadrivettore. Ora che abbiamo riconosciuto il problema, possiamo costruire facilmente un vettore ad esso correllato che si trasforma più semplicemente. Se consideriamo $\vec{u}=\frac{d \vec{x}}{dt_0}$ invece di $\frac{d \vec{x}}{dt}$ avremmo almeno uno scalare al denominatore. E, già che ci siamo possiamo considerare il quadrivettore
$$\vec{u}=\frac{d \vec{x}}{dt_0}=(\frac{d \vec{x}}{dt_0},c\frac{d t}{dt_0})$$
"Nick_93":Infatti, quella parentesi e' ambigua... il concetto di tempo proprio nasce all'interno della relativita' ristretta, dove non ci sono sistemi accelerati, ma solo inerziali.
Perchè allora in ogni testo di relatività ristretta, la cinematica e la dinamica vengono costruite prendendo in considerazione il tempo proprio di un corpo?
Perché il tempo proprio è l'intervallo più breve misurato tra due eventi.
Tutto è relativo, ma bisognerà pur aggrapparsi a qualche certezza, no?
In questo link ad un messaggio dello scorso anno :
viewtopic.php?f=19&t=96286&hilit=albireo#p642551
trovi la definizione di "Tempo proprio" , il quale non è altro, a parte il segno $"-"$ , che il quadri-intervallo invariante diviso $c$ , ovvero considerando i quadrati :
$ds^2 = - (cd\tau)^2 $
da cui : $ d\tau^2 = - (ds^2)/c^2$
viewtopic.php?f=19&t=96286&hilit=albireo#p642551
trovi la definizione di "Tempo proprio" , il quale non è altro, a parte il segno $"-"$ , che il quadri-intervallo invariante diviso $c$ , ovvero considerando i quadrati :
$ds^2 = - (cd\tau)^2 $
da cui : $ d\tau^2 = - (ds^2)/c^2$
Questa è la mia "visione del tempo"
https://docs.google.com/document/d/10OGd-8PlgoDOtnxW0sIt6DR0v6N4BFmWd5Vr92rW3Dg/pub
https://docs.google.com/document/d/10OGd-8PlgoDOtnxW0sIt6DR0v6N4BFmWd5Vr92rW3Dg/pub
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo