definizione di stabilità di un punto di equilibrio
Nella definizione di stabilità-instabilità di un punto di equilibrio non sono riuscito a capire su quale piano viene data Sull'asse x e y non ho due coordinate spaziali? E se si quali ? Faccio un esempio:
per i sistemi conservativi per l'energia ad un grado di libertà sicuramente non è il piano delle fasi x,v quello in cui viene data la definizione in termini di intorni delta-epsilon o no? aspetto chiarimenti
Grazie e saluti a tutti i membri del forum!!!
per i sistemi conservativi per l'energia ad un grado di libertà sicuramente non è il piano delle fasi x,v quello in cui viene data la definizione in termini di intorni delta-epsilon o no? aspetto chiarimenti
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Risposte
Non sono sicuro di aver capito appieno la domanda. Provo quindi a dare un contributo a carattere generale, facendo riferimento per semplicità al caso unidimensionale con variabile x.
In questo caso formalmente un punto di equilibrio è un punto su una retta e la regione di stabilità un intorno dello stesso. Ovviamente questa rappresentazione è poco suggestiva, per cui di solito si preferisce dare una rappresentazione grafica basata sull'Energia Potenziale oppure sul Piano delle Fasi.
1) Energia Potenziale (ascissa x, ordinata V(x))
Molto utilizzata per sistemi conservativi, sfrutta il fatto che il punto di equilibrio è un punto critico (max per equilibrio instabile, min per equilibrio stabile) dell'Energia Potenziale, per cui risulta immediato identificare i punti di equilibrio, e nel caso di oscillazioni attorno al punto di equilibrio, l'ampiezza delle suddette oscillazioni. L'intervallo di stabilità sarà quello entro il quale l'energia disponibile non è sufficiente a uscire dalla valle attorno al punto di equilibrio.
2) Piano delle Fasi (ascissa x, ordinata v)
Più complicato da tracciare, ma non limitato a sistemi conservativi. In questo caso i punti di equilibrio più comuni sono:
a) punti in cui si chiudono tutte le traiettorie spesso a forma di spirale (equilibrio asintoticamente stabile o fuoco stabile)
b) punti attorno al quale le tratiettorie formano delle linee chiuse di dimensioni via via maggiori all'aumentare dell'energia iniziale disponibile (punti semplicemente stabili o centri di sistemi oscillanti)
c) punti da cui partono tutte le traiettorie spesso a forma di spirale inversa (punto di equilibrio instabile o fuoco instabile)
Nei casi a) e b) la regione di stabilità ovviamente è quella in cui le traiettorie sono confinate e questa è anche una rappresentazione grafica della definizione di stabilità (ovvero il fatto che se il sistema all'inizio è prossimo al punto di equilibrio rimane tale anche nella sua evoluzione).
Per una casistica più completa sul Piano delle Fasi comunque è opportuno consultare dei testi specializzati disponibili anche in rete. Ad es.
http://www.mat.unimi.it/users/antonio/meccanica/Meccan_4.pdf
https://www.mat.uniroma2.it/~locatell/FM1/Note_BenGalGio_cap1.pdf
In questo caso formalmente un punto di equilibrio è un punto su una retta e la regione di stabilità un intorno dello stesso. Ovviamente questa rappresentazione è poco suggestiva, per cui di solito si preferisce dare una rappresentazione grafica basata sull'Energia Potenziale oppure sul Piano delle Fasi.
1) Energia Potenziale (ascissa x, ordinata V(x))
Molto utilizzata per sistemi conservativi, sfrutta il fatto che il punto di equilibrio è un punto critico (max per equilibrio instabile, min per equilibrio stabile) dell'Energia Potenziale, per cui risulta immediato identificare i punti di equilibrio, e nel caso di oscillazioni attorno al punto di equilibrio, l'ampiezza delle suddette oscillazioni. L'intervallo di stabilità sarà quello entro il quale l'energia disponibile non è sufficiente a uscire dalla valle attorno al punto di equilibrio.
2) Piano delle Fasi (ascissa x, ordinata v)
Più complicato da tracciare, ma non limitato a sistemi conservativi. In questo caso i punti di equilibrio più comuni sono:
a) punti in cui si chiudono tutte le traiettorie spesso a forma di spirale (equilibrio asintoticamente stabile o fuoco stabile)
b) punti attorno al quale le tratiettorie formano delle linee chiuse di dimensioni via via maggiori all'aumentare dell'energia iniziale disponibile (punti semplicemente stabili o centri di sistemi oscillanti)
c) punti da cui partono tutte le traiettorie spesso a forma di spirale inversa (punto di equilibrio instabile o fuoco instabile)
Nei casi a) e b) la regione di stabilità ovviamente è quella in cui le traiettorie sono confinate e questa è anche una rappresentazione grafica della definizione di stabilità (ovvero il fatto che se il sistema all'inizio è prossimo al punto di equilibrio rimane tale anche nella sua evoluzione).
Per una casistica più completa sul Piano delle Fasi comunque è opportuno consultare dei testi specializzati disponibili anche in rete. Ad es.
http://www.mat.unimi.it/users/antonio/meccanica/Meccan_4.pdf
https://www.mat.uniroma2.it/~locatell/FM1/Note_BenGalGio_cap1.pdf
Di testi e dispense ne ho molti compresi quelli che nomini tu, anche in inglese Smirnov,Khaikin...... e sono tutti poco chiari a tal proposito. comunque penso di aver risolto
l'arcano da solo.
Penso proprio che è la definizione di stabilità data in funzione delle coordinate spaziali( su qualche libro edispensa c'è ma non vengono etichettati gli assi). Ad esempio per un pendolo non lineare si può adoperare il sistema di riferimento oxy con centro nel punto di sospensione ed asse y rivolto verso il basso. A questo punto si può dare una definizione di stablità in termini di coordinate x,y per il punto di equilibrio instabile sulla verticale sopra il perno e per il punto più basso sulla verticale sotto il perno. Certo si deve conoscere la traiettoria del punto materiale ma in questo semplice caso la si sa'. vorrei allegare un disegno ma purtroppo ho poca padronanza dell'editor del forum comunque per quel poco che ho scritto spero di essere stato abbastanza chiaro!!
l'arcano da solo.
Penso proprio che è la definizione di stabilità data in funzione delle coordinate spaziali( su qualche libro edispensa c'è ma non vengono etichettati gli assi). Ad esempio per un pendolo non lineare si può adoperare il sistema di riferimento oxy con centro nel punto di sospensione ed asse y rivolto verso il basso. A questo punto si può dare una definizione di stablità in termini di coordinate x,y per il punto di equilibrio instabile sulla verticale sopra il perno e per il punto più basso sulla verticale sotto il perno. Certo si deve conoscere la traiettoria del punto materiale ma in questo semplice caso la si sa'. vorrei allegare un disegno ma purtroppo ho poca padronanza dell'editor del forum comunque per quel poco che ho scritto spero di essere stato abbastanza chiaro!!
Ho un paio di commenti sull'interpretazione puramente spaziale.
1) Intanto l'uso di coordinate spaziali nel caso di una forza conservativa come la gravità è alla fin fine un altro modo di usare una rappresentazione dell'energia potenziale e del fatto che i punti di massimo (più alti) e di minimo (più bassi) sono di equilibrio instabile e stabile rispettivamente.
Ma appare difficile applicare il concetto spaziale ad un moto puramente rettilineo quale ad es. quello massa-molla oppure più in generale di una massa sottoposta ad una forza del tipo F(x). Infatti per tali sistemi valgono sempre le considerazioni simili a quelle di punto più basso e più alto ma applicate all'energia potenziale e non a una coordinata y che è sempre costante.
2) L'uso solo di coordinate spaziali (e per esteso di una rappresentazione in termini di potenziale) va bene per sistemi conservativi, ma non per sistemi non conservativi. A questo riguardo riporto la definizione di equilibro stabile (Edoardo Storchi "Nozioni di Meccanica Razionale"): "C* è per il sistema S una configurazione di equilibrio stabile se, portando il sistema S in una configurazione C0 prossima a C* il sistema si muove mantenendosi sempre prossimo alla configurazione C* e conservando una piccola energia cinetica".
In altre parole per la stabilità si deve considerare anche la velocità e la "traiettoria" limitata è da intendersi quindi come movimento nel piano delle fasi. A titolo di esempio basta considerare il sistema formato da una massa m=1 kg e una forza elastica tempovariante $F(x,t) = - e^t * x$. Si può dimostrare che, data una qualsiasi condizione iniziale diversa da x=0 , x(t) tende a zero ma v(t) è affetta da oscillazioni persistenti e di ampiezza crescente esponenzialmente con il tempo per cui il sistema è da ritenersi instabile ai sensi della definizione di cui sopra. E tale instabilità non appare se si considera solo la coordinata spaziale x.
1) Intanto l'uso di coordinate spaziali nel caso di una forza conservativa come la gravità è alla fin fine un altro modo di usare una rappresentazione dell'energia potenziale e del fatto che i punti di massimo (più alti) e di minimo (più bassi) sono di equilibrio instabile e stabile rispettivamente.
Ma appare difficile applicare il concetto spaziale ad un moto puramente rettilineo quale ad es. quello massa-molla oppure più in generale di una massa sottoposta ad una forza del tipo F(x). Infatti per tali sistemi valgono sempre le considerazioni simili a quelle di punto più basso e più alto ma applicate all'energia potenziale e non a una coordinata y che è sempre costante.
2) L'uso solo di coordinate spaziali (e per esteso di una rappresentazione in termini di potenziale) va bene per sistemi conservativi, ma non per sistemi non conservativi. A questo riguardo riporto la definizione di equilibro stabile (Edoardo Storchi "Nozioni di Meccanica Razionale"): "C* è per il sistema S una configurazione di equilibrio stabile se, portando il sistema S in una configurazione C0 prossima a C* il sistema si muove mantenendosi sempre prossimo alla configurazione C* e conservando una piccola energia cinetica".
In altre parole per la stabilità si deve considerare anche la velocità e la "traiettoria" limitata è da intendersi quindi come movimento nel piano delle fasi. A titolo di esempio basta considerare il sistema formato da una massa m=1 kg e una forza elastica tempovariante $F(x,t) = - e^t * x$. Si può dimostrare che, data una qualsiasi condizione iniziale diversa da x=0 , x(t) tende a zero ma v(t) è affetta da oscillazioni persistenti e di ampiezza crescente esponenzialmente con il tempo per cui il sistema è da ritenersi instabile ai sensi della definizione di cui sopra. E tale instabilità non appare se si considera solo la coordinata spaziale x.
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