Definizione di corrente elettrica

[Alberto881]

ciao a tutti...
leggendo alcuni libri di Fisica generale non riesco a trovare un motivo valido per definire "rigorosa" la definizione che viene data alla densità di corrente elettrica $ bar (J) $;
Allora, viene considerato una superficie infinitesima $ d Sigma $ con una normale $ bar (n) $ in generale orientata non parallelamente alla velocità delle cariche; il ragionamento che viene fatto è il seguente: considerando un periodo di tempo $Delta t$, la carica $ Delta q $ che passa attraverso $ d Sigma $ non è altro che la carica contenuta nel volume infinitesimo $d tau$ dato da:

$d tau= v * Delta t *d Sigma *cos Theta$

dove con $v Delta t$ si indica la lunghezza del volume e con $Theta$ l'angolo tra la normale alla superficie e la velocità;

la carica $Delta q $ che attraversa la sezione nel tempo $Delta t$ è:

$ Delta q = rho d tau$, con $ rho $ la densità di carica volumetrica;

quindi la corrente infinitesima che si genera è:

$d i= (Delta q) / (Delta t) = rho* v* d Sigma * cos Theta$

Abbiamo quindi considerato $Delta q$ e $Delta t$ non infinitesimi ovviamente, altrimenti si arriverebbe all'assurdo $d i = (dq) / dt$;

ma considerarli non infinitesimi vuol dire considerare v costante, perchè solo in questo modo i è effettivamente uguale al rapporto di $Delta q$ e $Delta t$; d'altra parte v è costante perchè altrimenti non potremmo definire il volume $d tau$ nel modo in cui l'abbiamo definito (ovvero lunghezza uguale a tempo per velocità); però in questo modo la lunghezza del volume infinitesimo non è infinitesima; allora non vedo perchè se questa lunghezza non è infinitesima dovrei avere una velocità costante!!!
quindi se assumo che la velocità non sia costante devo calcolare $di$ come $di = (dq) / dt$, il che è assurdo, ma d'altra parte assumere che la velocità sia costante nel tempo è restrittivo!!

[cyd1]

ti do la mia interpretazione
ma non è poi cosi assurdo fa un po diconfusione sulle notazioni.
la corrente è definita come $i = (dq)/(dt) |_S$ cioè è definita come la carica nell'unità di tempo che attraversa una superfice S dunque essa non è definita solo in termini di dq e dt ma anche di S! ergo considerando un superfice dS posso considerare una corrente infinitesima una corrente definita su una superficeinfinitesima cioè $di = (dq)/(dt)|_(dS)$ (il simbolo di mi sembra inadeguato, ma il concetto mi sembra solido.)

in ogni caso non capisco perchè non consideri infinitesime $Delta Q$ e $Delta t$. la corrente è definita in base a quantità inifinitesime non a quantità finite...boh (anche perchè $Delta q = rho Delta V$ e $dq = rho dV$ non si possono mescolare i termini..)

io farei cosi.

nell'intervallo di tempo elementare $dt$ attraverso una superficie $S$ passa una carica corrispondente a quella contenuta nel volume infinitesimo $dV = v*dt * S$ pari a $dQ = rho *S * v* dt$ con S generica (non si fa nessuna ipotesi può essere infinita o infinitesima)
quindi si ha $i = (dq)/(dt) = S rho * v dt$ con $J = rho * v$

[Alberto881]

In realtà però la tua definizione mi sebra vada bene solo se S è piana, o comunque se J è sempre parallelo alla normale alla superficie; secondo me la superficie infinitesima è necessaria in quanto poi la corrente i è definita proprio come il flusso di J attraverso S, proprio perchè j cambia punto per punto direzione e modulo ed S è una superficie qualsiasi.... per quanto riguarda $ Delta q $ e $ Delta t$ sono daccordo con te.... dovrebbero essere infinitesime, al contrario di quello che c'è scritto sul libro; il problema è che poi la notazione non mi convince, come ho già scritto prima.