Decadimento di un orbita
Buongiorno ho un problema "fisico" con il seguente problema dettato dalla mia ignoranza. Scrivo in traduzione il testo del problema, premetto che è bello lungo ma si lascia leggere tranquillamente, vi prego di arrivare fino alla fine.
"Il Capitano Kirk e la sua squadra, a bordo della nave spaziale "Enterprise", sono bloccati in orbita in torno a un pianeta simile alla Terra chiamato Capella III, a un altitudine di 127km. L'attrazione atmosferica causa un decadimento dell'orbita, e se la nave raggiunge lo strato più denso di dell'atmosfera, l'eccessiva decelerazione e il calore d'attrito danneggeranno irreparabilmente il life-support system. L'ufficiale scientifico di bordo, Mr Spock, stima che le riparazioni temporanee ai motori ad impulsi impiegheranno 29 minuti affinché loro possano essere completate prima che la decelerazione aumenti fino a 5g (g=9.81 ms^-1)[ nel testo originale la frase è : "..., estimates that the temporary repairs to the impulse engines will take 29 minutes provided that they can be completed befor the deceleration raises to 5g].
Poichè Mr Spock è un genio matematico, decide di simulare il decadimento dell'orbita risolvendo il seguente sistema di equazioni differenziali con metodi numerici, le equazioni del movimento della nave, soggette alla resistenza atmosferica (amospheric drag), sono date da :
\[
\begin{cases}
\frac{dv}{dt}= \frac{GMsin(\gamma)}{r^2}-c \rho v^2 \\
\frac{d\gamma}{dt}=(\frac{GM}{rv}-v)\frac{ cos\gamma}{r}\\
\frac{dz}{dt}=-vsin(\gamma) \\
\frac{d\theta}{dt}= \frac{vcos(\gamma)}{r},
\end{cases}
\]
dove:
v è la velocità tangenziale(m\s),
$\gamma$ è l'angolo di rientro (tra il vettore velocità e l'orizzontale),
M è la massa planetaria (6*10^24kg),
G è la costante di gravitazione (6.67*10^-11 SI),
c è la costante di resistenza (c=0.004),
r è la distanza dal centro del pianeta (z+6.37*10^6 m),
$\rho$ è la densità atmosferica (1.3 exp( -z/7600)),
$\theta$ è la longitudine,
e t è il tempo in secondi.
Al tempo t=0, i valori iniziali sono $\gamma=0$, $\theta=0$ e $\v= \sqrt{GM/r}$.
Mr Spock risolve numericamente le equazioni e trova la "deceleration history", il tempo e il luogo dell'impatto nel caso in cui non si riesca a prevenire la caduta dell'orbita. Il capitano Kirk dovrebbe dare l'ordine di abbandonare la nave?".
Veniamo ora a noi, dato che non ho nessun problema con la numerica, la domanda è questa, date le soluzioni di quel sistema come posso tornare a coordinate cartesiane? Cioè se volessi plottare l'orbita descritta dalla nave, oppure avere in cartesiane il punto di impatto come dovrei fare? All'inizio avevo pensato che il tutto si svolgesse nello spazio, poi ho pensato che (magari) l'orbita è piana e quindi z e $\theta$ bastano ad individuarla, ma poi non ho nessun modo per individuare il piano in cui si svolge il moto? E ancora $\gamma$ mi da qualche informazione diciamo "spaziale" oppure mi serve solo per portare avanti le equazioni?
Avete mai visto questo sistema da qualche altra parte? mi sapreste dare qualche informazione in più?
Grazie della pazienza, e ringrazio in anticipo chiunque risponderà.
"Il Capitano Kirk e la sua squadra, a bordo della nave spaziale "Enterprise", sono bloccati in orbita in torno a un pianeta simile alla Terra chiamato Capella III, a un altitudine di 127km. L'attrazione atmosferica causa un decadimento dell'orbita, e se la nave raggiunge lo strato più denso di dell'atmosfera, l'eccessiva decelerazione e il calore d'attrito danneggeranno irreparabilmente il life-support system. L'ufficiale scientifico di bordo, Mr Spock, stima che le riparazioni temporanee ai motori ad impulsi impiegheranno 29 minuti affinché loro possano essere completate prima che la decelerazione aumenti fino a 5g (g=9.81 ms^-1)[ nel testo originale la frase è : "..., estimates that the temporary repairs to the impulse engines will take 29 minutes provided that they can be completed befor the deceleration raises to 5g].
Poichè Mr Spock è un genio matematico, decide di simulare il decadimento dell'orbita risolvendo il seguente sistema di equazioni differenziali con metodi numerici, le equazioni del movimento della nave, soggette alla resistenza atmosferica (amospheric drag), sono date da :
\[
\begin{cases}
\frac{dv}{dt}= \frac{GMsin(\gamma)}{r^2}-c \rho v^2 \\
\frac{d\gamma}{dt}=(\frac{GM}{rv}-v)\frac{ cos\gamma}{r}\\
\frac{dz}{dt}=-vsin(\gamma) \\
\frac{d\theta}{dt}= \frac{vcos(\gamma)}{r},
\end{cases}
\]
dove:
v è la velocità tangenziale(m\s),
$\gamma$ è l'angolo di rientro (tra il vettore velocità e l'orizzontale),
M è la massa planetaria (6*10^24kg),
G è la costante di gravitazione (6.67*10^-11 SI),
c è la costante di resistenza (c=0.004),
r è la distanza dal centro del pianeta (z+6.37*10^6 m),
$\rho$ è la densità atmosferica (1.3 exp( -z/7600)),
$\theta$ è la longitudine,
e t è il tempo in secondi.
Al tempo t=0, i valori iniziali sono $\gamma=0$, $\theta=0$ e $\v= \sqrt{GM/r}$.
Mr Spock risolve numericamente le equazioni e trova la "deceleration history", il tempo e il luogo dell'impatto nel caso in cui non si riesca a prevenire la caduta dell'orbita. Il capitano Kirk dovrebbe dare l'ordine di abbandonare la nave?".
Veniamo ora a noi, dato che non ho nessun problema con la numerica, la domanda è questa, date le soluzioni di quel sistema come posso tornare a coordinate cartesiane? Cioè se volessi plottare l'orbita descritta dalla nave, oppure avere in cartesiane il punto di impatto come dovrei fare? All'inizio avevo pensato che il tutto si svolgesse nello spazio, poi ho pensato che (magari) l'orbita è piana e quindi z e $\theta$ bastano ad individuarla, ma poi non ho nessun modo per individuare il piano in cui si svolge il moto? E ancora $\gamma$ mi da qualche informazione diciamo "spaziale" oppure mi serve solo per portare avanti le equazioni?
Avete mai visto questo sistema da qualche altra parte? mi sapreste dare qualche informazione in più?
Grazie della pazienza, e ringrazio in anticipo chiunque risponderà.
Risposte
E' tantissimo che non scrivo qui ormai, questo problema mi incuriosisce, ma vedo che nessuno ha ancora risposto.
Da parte mia non ho risposte, infatti il testo mi pare abbastanza confuso: non ho capito che significano quei 29 minuti prima che l'accelerazione raggiunga i $5g$ cosa vorrebbe dire...
Riesco (dopo averci riflettuto un po') a capire le equazioni di Spock da dove vengono e che da lì si ricava la traiettoria della nave, ma da lì mi pare tutto risolto in teoria...
Non capisco poi che utilità ci sarebbe a ricondursi a coordinate cartesiane, dato che si tratta di un moto attorno ad un pianeta, presumibilmente sferico, trovo molto più comodo lavorare in coordinate sferiche appunto....
L'orbita poi è certamente piana.
Insomma ho smosso le acque vediamo se qualcuno con più tempo da dedicarci trova qualcosa.
(Certo peccato si tratti di Capella III, Capella I lo conoscevo meglio
)
Da parte mia non ho risposte, infatti il testo mi pare abbastanza confuso: non ho capito che significano quei 29 minuti prima che l'accelerazione raggiunga i $5g$ cosa vorrebbe dire...
Riesco (dopo averci riflettuto un po') a capire le equazioni di Spock da dove vengono e che da lì si ricava la traiettoria della nave, ma da lì mi pare tutto risolto in teoria...
Non capisco poi che utilità ci sarebbe a ricondursi a coordinate cartesiane, dato che si tratta di un moto attorno ad un pianeta, presumibilmente sferico, trovo molto più comodo lavorare in coordinate sferiche appunto....
L'orbita poi è certamente piana.
Insomma ho smosso le acque vediamo se qualcuno con più tempo da dedicarci trova qualcosa.
(Certo peccato si tratti di Capella III, Capella I lo conoscevo meglio
)
Allora, seguendo l'idea che le equazioni siano state scritte con un sistema di riferimento nel piano in cui si svolge il moto, ho risolto il sistema con Dopri5(4) e plottando l'altitudine e la longitudine tornando in coordinate cartesiani il risultato è questo:
A me sembra coerente ( o meglio se immagino una navicella che si schianta su un pianeta... la immagino così
).
(Dall'anteprima non sembra si veda un granché, non ho mai caricato immagini e non sono pratico, in ogni caso la linea rossa è il pianeta, e la blu che gli sta attorno è l' orbita)
Il "problema" è che non riesco a rispondere alla domanda, quale è il luogo di impatto? Perché non conoscendo l'equazione del piano in cui avviene il moto, mi manca una coordinata. E' per questo che ho chiesto se ci fosse un modo per determinare il piano in cui si svolge il moto.
In ogni caso grazie per la risposta, e chiedo anche conferma se la soluzione è coerente con il problema fisico, grazie di tutto!
PS il fatto dell'accelerazione l'ho inteso così: se il tempo di impatto è >=29 minuti allora non essendo riusciti a riparare in tempo i razzi c'è morte certa per tutto l'equipaggio, altrimenti i razzi si riattivano e si vola via ( sempre supponendo che 5g siano sufficienti(?)).
A me sembra coerente ( o meglio se immagino una navicella che si schianta su un pianeta... la immagino così
).(Dall'anteprima non sembra si veda un granché, non ho mai caricato immagini e non sono pratico, in ogni caso la linea rossa è il pianeta, e la blu che gli sta attorno è l' orbita)
Il "problema" è che non riesco a rispondere alla domanda, quale è il luogo di impatto? Perché non conoscendo l'equazione del piano in cui avviene il moto, mi manca una coordinata. E' per questo che ho chiesto se ci fosse un modo per determinare il piano in cui si svolge il moto.
In ogni caso grazie per la risposta, e chiedo anche conferma se la soluzione è coerente con il problema fisico, grazie di tutto!
PS il fatto dell'accelerazione l'ho inteso così: se il tempo di impatto è >=29 minuti allora non essendo riusciti a riparare in tempo i razzi c'è morte certa per tutto l'equipaggio, altrimenti i razzi si riattivano e si vola via ( sempre supponendo che 5g siano sufficienti(?)).
In Italia esiste il Laboratorio di Dinamica del Volo Spaziale, che fa parte del CNR, il quale tra l'altro si occupa anche di previsioni di rientro di satelliti artificiali dallo spazio. Facendo ricerche, incuriosito dal problema posto, ho trovato questo articolo sui rientri incontrollati, leggendo il quale mi sono reso conto che in realtà è pressoché insensato fare previsioni sul luogo e sull'istante dell'impatto di un satellite che "ritorna a terra" a fine vita. Riporto in particolare questo scritto, copiato da una delle ultime risposte inserite nell'articolo.
Tenendo conto di tutte queste sorgenti di incertezza, ed eventualmente di altre più o meno probabili, non è possibile e non ha senso calcolare “dove” e “quando” il satellite precipiterà sulla terra. Piuttosto ha molto più senso calcolare una finestra temporale, che corrisponderà a tante località diverse, all’interno della quale si prevede che il satellite rientrerà con una certa probabilità. Questa finestra temporale è appunto la finestra di incertezza associata alla previsione di rientro.
Non sono un esperto, ma un semplice curioso mai sazio. Probabilmente, anzi certamente , quando il rientro è invece controllato , come nel caso delle navicelle spaziali che riportano gli astronauti a terra dopo permanenza nella ISS, il luogo dell'impatto è ben definito e calcolato, altrimenti un povero astronauta che atterra nel Pacifico rimarrebbe a disagio , se non trovasse nessuno ad attenderlo nelle vicinanze, perchè lo aspettavano nell'Oceano Indiano...
Ho fatto altre ricerche su astrodinamica, voli spaziali, decadimento orbitale , sia in italiano che in inglese, ma non ho trovato traccia di quelle equazioni.
Tenendo conto di tutte queste sorgenti di incertezza, ed eventualmente di altre più o meno probabili, non è possibile e non ha senso calcolare “dove” e “quando” il satellite precipiterà sulla terra. Piuttosto ha molto più senso calcolare una finestra temporale, che corrisponderà a tante località diverse, all’interno della quale si prevede che il satellite rientrerà con una certa probabilità. Questa finestra temporale è appunto la finestra di incertezza associata alla previsione di rientro.
Non sono un esperto, ma un semplice curioso mai sazio. Probabilmente, anzi certamente , quando il rientro è invece controllato , come nel caso delle navicelle spaziali che riportano gli astronauti a terra dopo permanenza nella ISS, il luogo dell'impatto è ben definito e calcolato, altrimenti un povero astronauta che atterra nel Pacifico rimarrebbe a disagio , se non trovasse nessuno ad attenderlo nelle vicinanze, perchè lo aspettavano nell'Oceano Indiano...
Ho fatto altre ricerche su astrodinamica, voli spaziali, decadimento orbitale , sia in italiano che in inglese, ma non ho trovato traccia di quelle equazioni.
@Esorcismo
Continuo a non capire dove sia il problema, il piano del moto lo conosci è lo stesso piano in cui era l'orbita stabile della navetta.
Ripeto che non capisco il senso dei 29 minuti, né poi la domanda finale se abbandonare la nave...
@Shackle
Ovvio che il sistema di equazioni scritto usa assunzioni semplici non rigorosamente vere (per esempio che l'attrito sia sempre linearmente proporzionale alla velocità tangenziale), un calcolo vero è molto più complesso e non mi stupisce che il sistema "reale" si comporti in moto caotico quindi determinare il punto di impatto con assoluta precisione è praticamente impossibile (quasi come determinare il numero che esce su una roulette nota la velocità e posizione iniziale della pallina che lanci.
Continuo a non capire dove sia il problema, il piano del moto lo conosci è lo stesso piano in cui era l'orbita stabile della navetta.
Ripeto che non capisco il senso dei 29 minuti, né poi la domanda finale se abbandonare la nave...
@Shackle
Ovvio che il sistema di equazioni scritto usa assunzioni semplici non rigorosamente vere (per esempio che l'attrito sia sempre linearmente proporzionale alla velocità tangenziale), un calcolo vero è molto più complesso e non mi stupisce che il sistema "reale" si comporti in moto caotico quindi determinare il punto di impatto con assoluta precisione è praticamente impossibile (quasi come determinare il numero che esce su una roulette nota la velocità e posizione iniziale della pallina che lanci.
Mmm il problema è che "il piano è quello che contiene l'orbita stabile all'inizio" è una, come dire, non risposta (almeno per me).
Cerco di spiegarmi meglio, quando ho letto il testo per la prima volta è come se mi fosse stato messo di fronte un mappamondo, in mano un pennarello e mi fosse stato chiesto "tié disegnami il punto dove cadrà la nave".
AL mio stato attuale questo mitico punto, io non lo posso mettere, perché l'equazione del piano NON la conosco!
"Il piano è quello che contiene l'orbita stabile all'inizio" è un informazione teoricamente forte, ma praticamente troppo debole
(numericamente non mi da nessuna informazione).
Infatti la curiosità iniziale era: dato a disposizione questo testo, con il set di equazioni e il dato iniziale, è possibile risalire all'equazione del piano e mettere finalmente questo punto?( Le equazioni potrebbero anche essere scritte dando per scontato che si conosca l'equazione del piano e quindi la risposta sarebbe no!)
Per quanto riguarda la domanda se abbandonare o meno la nave, se i razzi non si riattivano in tempo, ovvero la nave si schianta prima dei 29 minuti, la gente a bordo muore, e almeno io ... non vorrei trovarmi lì quando questo avverrà
Cerco di spiegarmi meglio, quando ho letto il testo per la prima volta è come se mi fosse stato messo di fronte un mappamondo, in mano un pennarello e mi fosse stato chiesto "tié disegnami il punto dove cadrà la nave".
AL mio stato attuale questo mitico punto, io non lo posso mettere, perché l'equazione del piano NON la conosco!
"Il piano è quello che contiene l'orbita stabile all'inizio" è un informazione teoricamente forte, ma praticamente troppo debole
(numericamente non mi da nessuna informazione).
Infatti la curiosità iniziale era: dato a disposizione questo testo, con il set di equazioni e il dato iniziale, è possibile risalire all'equazione del piano e mettere finalmente questo punto?( Le equazioni potrebbero anche essere scritte dando per scontato che si conosca l'equazione del piano e quindi la risposta sarebbe no!)
Per quanto riguarda la domanda se abbandonare o meno la nave, se i razzi non si riattivano in tempo, ovvero la nave si schianta prima dei 29 minuti, la gente a bordo muore, e almeno io ... non vorrei trovarmi lì quando questo avverrà
"Esorcismo":
Cerco di spiegarmi meglio, quando ho letto il testo per la prima volta è come se mi fosse stato messo di fronte un mappamondo, in mano un pennarello e mi fosse stato chiesto "tié disegnami il punto dove cadrà la nave".
Esatto, ma ovviamente per fare quello devi sapere la velocità iniziale, velocità in senso vettoriale, quindi anche la direzione della velocità rispetto al piano equatoriale per esempio, altrimenti ovvio che il problema è indeterminato.
"Esorcismo":
Infatti la curiosità iniziale era: dato a disposizione questo testo, con il set di equazioni e il dato iniziale, è possibile risalire all'equazione del piano e mettere finalmente questo punto?( Le equazioni potrebbero anche essere scritte dando per scontato che si conosca l'equazione del piano e quindi la risposta sarebbe no!)
Per me infatti la risposta è no, con i presupposti che dici.
"Esorcismo":
Per quanto riguarda la domanda se abbandonare o meno la nave, se i razzi non si riattivano in tempo, ovvero la nave si schianta prima dei 29 minuti, la gente a bordo muore, e almeno io ... non vorrei trovarmi lì quando questo avverrà
Questo lo avevo capito, non capisco però se quei $5g$ siano da verificare in qualche modo o se siano un dato di fatto, cioè si sa che dopo 29 minuti la decelerazione (tangenziale?) è $5g$?
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