DdP ai capi del resistore in funzione del tempo
Ciao!
Non riesco a capire la soluzione che mostra questo esercizio:
mio svolgimento:
definendo: $ { ( ((R_2+(R_1R)/(R_1+R)))-= tau ),( i=i_1+i_2 ),( i_2= (dQ)/(dt) ):} $
Io sono giunto alla seguente E.D.O:
$(dQ)/(dt) = ((R_1epsilon)/(tau(R+R_1)) - Q/(tauC))*$
che andrebbe risolta per giungere a $Q(t)$, la quale andrebbe poi derivata per ottenere $i_2(t)$.
Grazie a tale funzione avrei la d.d.p. ai capi del resistore $R_2$ in funzione del tempo.
Tuttavia nella soluzione dell'esercizio non vi è scritto questo, ma tutt'altro. Riporto qui sotto la soluzione:
soluzione testo:
Domande che vi pongo:
1) Sareste in grado di mostrarmi dove ho sbagliato?
2) Come ottiene l'ultima E.D.O. ?
3) Come fa a conoscere $i_2(0)$?
Non riesco a capire la soluzione che mostra questo esercizio:
mio svolgimento:
definendo: $ { ( ((R_2+(R_1R)/(R_1+R)))-= tau ),( i=i_1+i_2 ),( i_2= (dQ)/(dt) ):} $
Io sono giunto alla seguente E.D.O:
$(dQ)/(dt) = ((R_1epsilon)/(tau(R+R_1)) - Q/(tauC))*$
che andrebbe risolta per giungere a $Q(t)$, la quale andrebbe poi derivata per ottenere $i_2(t)$.
Grazie a tale funzione avrei la d.d.p. ai capi del resistore $R_2$ in funzione del tempo.
Tuttavia nella soluzione dell'esercizio non vi è scritto questo, ma tutt'altro. Riporto qui sotto la soluzione:
soluzione testo:
Domande che vi pongo:
1) Sareste in grado di mostrarmi dove ho sbagliato?
2) Come ottiene l'ultima E.D.O. ?
3) Come fa a conoscere $i_2(0)$?
Risposte
1) Devi prima farci vedere come hai ricavato quella equazione differenziale e come fai a spiegare quella definizione della costante di tempo (occhio che manca qualcosa). 
2) Il testo, non conoscendo Thevenin [nota]E nemmeno Helmholtz, uno dei più grandi fisici dell'ottocento.[/nota], va a complicarsi la vita ricavando la i2 da quel sistema, ovvero trasformando la KVL all'anello destro (sua terza equazione iniziale) come
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
dalla quale segue la sua equazione differenziale in i2.
3) la può conoscere usando la relazione ricavabile in 2), noto che vC(0)=0.
2) Il testo, non conoscendo Thevenin [nota]E nemmeno Helmholtz, uno dei più grandi fisici dell'ottocento.[/nota], va a complicarsi la vita ricavando la i2 da quel sistema, ovvero trasformando la KVL all'anello destro (sua terza equazione iniziale) come
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
dalla quale segue la sua equazione differenziale in i2.
3) la può conoscere usando la relazione ricavabile in 2), noto che vC(0)=0.
"RenzoDF":
1) Devi prima farci vedere come hai ricavato quella equazione differenziale e come fai a spiegare quella definizione della costante di tempo (occhio che manca qualcosa).
da queste due equazioni:
$epsilon = R_1i_1 +Ri$
$R_1i_1= Q/C + R_2i_2$
sostituendo $i$ con $i_1+i_2$, ricavo $i_1$ e la sostituisco nella seconda equazione, sfruttando inoltre la relazione $i_2= (dQ)/(dt)$
"RenzoDF":
2) Il testo, non conoscendo Thevenin, va a complicarsi la vita ricavando la i2 da quel sistema, ovvero trasformando la KVL all'anello sinistro (sua terza equazione iniziale) come
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
Ti confermo che neanche io so chi sia tale Thevenin.
Chi è $v_c$?
"CLaudio Nine":
...
da queste due equazioni: ...
Ok, è lo stesso metodo che ha usato il testo, ma sai perché è evidente che la tua relazione è errata? ... Semplicemente per incoerenza dimensionale. ... e così anche per $\tau$.
Quindi ti consiglio di ricontrollarla.
"CLaudio Nine":
... Ti confermo che neanche io so chi sia tale Thevenin. ...
Non avevo dubbi, ma non dicevo a te, ma all' H-demia in generale.
"CLaudio Nine":
... Chi è $v_c$?
La tensione ai morsetti del condensatore.
l'analisi dimensionale ci salva sempre da errori come questo, è un'amica, non una seccatura
"RenzoDF":
[quote="CLaudio Nine"]...
da queste due equazioni: ...
Ok, è lo stesso metodo che ha usato il testo, ma sai perché è evidente che la tua relazione è errata? ... [/quote]
Giusto. Riprovo. Nel frattempo ti ringrazio.
"RenzoDF":
2) Il testo, non conoscendo Thevenin [nota]E nemmeno Helmholtz, uno dei più grandi fisici dell'ottocento.[/nota], va a complicarsi la vita ricavando la i2 da quel sistema, ovvero trasformando la KVL all'anello destro (sua terza equazione iniziale) come
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
Scusa RenzoDF ma l'equazione non dovrebbe esserre:
$v_C+R_2i_2= R_1i_1= E - Ri$
?
Da dove è venuta fuori la relazione:
$R_1i_1= R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
?
"anonymous_be0efb":
... Scusa RenzoDF ma l'equazione non dovrebbe esserre:
$v_C+R_2i_2= R_1i_1= E - Ri$ ?
...
Certo che sì.
"anonymous_be0efb":
... Da dove è venuta fuori la relazione:
$R_1i_1= R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
?
Dalla relazione che hai scritto.
Ho provato a manipolare un po' le equazioni algebricamente ma non giungo al tuo risultato, potresti mostrarmelo perfavore? Mi faresti un favroone
Basta sostituire
$i=i_1+i_2$
nella
$ R_1i_1= E - Ri$
per ottenere
$i_1= ( E-Ri_2)/(R_1+R_2) $
e di conseguenza
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
dalla quale, l'equazione differenziale in $i_2$ riportata dal testo.
$i=i_1+i_2$
nella
$ R_1i_1= E - Ri$
per ottenere
$i_1= ( E-Ri_2)/(R_1+R_2) $
e di conseguenza
$v_C+R_2i_2=R_1(( E-Ri_2)/(R_1+R_2))$
dalla quale, l'equazione differenziale in $i_2$ riportata dal testo.
"RenzoDF":
per ottenere
$i_1= ( E-Ri_2)/(R_1+R_2) $
Ho fatto anche io questo esercizio ed anche io non ottengo quel $tau$.
Pubblico un nuovo post dove pubblico le mie perplessità riguardo questo esercizio, giusto per porre i miei dubbi in maniera ordinata. Se scrivessi tutto qui verrebbe fuori un minestrone di dubbi di diverse persone.
P.S. Come viene chiamato solitamente $tau$?
"anonymous_58f0ac":
...
P.S. Come viene chiamato solitamente $tau$?
Costante di tempo.
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