Curvatura scalare
Salve,
studiando l'equazione di campo di Einstein ho trovato online testi in cui era scritto che la curvatura scalare si ottiene contraendo il tensore energetico; ma non si ottiene contraendo il tensore di Ricci? Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee?
Fonti:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Einstein%27s_constant
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... XG-rnvuDDv
studiando l'equazione di campo di Einstein ho trovato online testi in cui era scritto che la curvatura scalare si ottiene contraendo il tensore energetico; ma non si ottiene contraendo il tensore di Ricci? Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee?
Fonti:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Einstein%27s_constant
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... XG-rnvuDDv
Risposte
Si, ma in pratica è la stessa cosa. Ti faccio innanzitutto notare questa frase, tratta dal secondo link che hai messo:
Einstein knew that the Ricci tensor Rμν has strong similarity to energy-momentum
tensor. And at one point, early in November1915, he conjectured that the two should be proportional: Rμν = κTμν. Though this equation is not quite correct, since Ricci does not generally satisfy the continuity equation, it’s a significant step closer to his ultimate field equation (which he eventually reached by the end of November).
Quando si scrive l'equazione di campo con $lambda = 0 $ , cioè :
$R_(munu) -1/2g_(munu)R = k T_(munu) $
si può innalzare il primo indice tensoriale di entrambi i membri col tensore metrico , quindi fare la contrazione:
$ R_\alpha^\alpha - 1/2 g_\alpha^\alphaR =k T_\alpha^\alpha$
adesso, nota che $g_\alpha^\alpha = 4 $ , perché non è altro che la traccia del $delta_\mu^\nu$ di Kronecker . Per cui :
$R-2R = kT rightarrow R = - kT $
Einstein knew that the Ricci tensor Rμν has strong similarity to energy-momentum
tensor. And at one point, early in November1915, he conjectured that the two should be proportional: Rμν = κTμν. Though this equation is not quite correct, since Ricci does not generally satisfy the continuity equation, it’s a significant step closer to his ultimate field equation (which he eventually reached by the end of November).
Quando si scrive l'equazione di campo con $lambda = 0 $ , cioè :
$R_(munu) -1/2g_(munu)R = k T_(munu) $
si può innalzare il primo indice tensoriale di entrambi i membri col tensore metrico , quindi fare la contrazione:
$ R_\alpha^\alpha - 1/2 g_\alpha^\alphaR =k T_\alpha^\alpha$
adesso, nota che $g_\alpha^\alpha = 4 $ , perché non è altro che la traccia del $delta_\mu^\nu$ di Kronecker . Per cui :
$R-2R = kT rightarrow R = - kT $
Quindi partendo a ritroso:
$R_(munu) = k (T_(munu)-1/2g_(munu)T) $
$ R_\alpha^\alpha =k (T_\alpha^\alpha -1 /2 g_\alpha^\alphaT) $
$R = k(T-2T) rightarrow R = - kT $
Grazie Shackle
$R_(munu) = k (T_(munu)-1/2g_(munu)T) $
$ R_\alpha^\alpha =k (T_\alpha^\alpha -1 /2 g_\alpha^\alphaT) $
$R = k(T-2T) rightarrow R = - kT $
Grazie Shackle
Però una cosa ancora non mi è chiara' come fa Einstein a passare da tale sistema:
$ { ( (partial g^(sigmabeta) Gamma _(mubeta)^alpha)/(partial x^alpha ) =-Omega[(t_(mu)^(sigma) +T_(mu) ^(sigma) ) - (1/2)delta_mu^(sigma)(t+T)] ) ,( (-g) ^(1/2)=1):} $
A questo:
$ { ( (partial Gamma_(munu ) ^alpha)/(partial x^alpha)+Gamma_(mubeta) ^alphaGamma_(nualpha) ^beta=-Omega (T_(munu)-(1/2)g_(munu)T) ),( (-g) ^(1/2)=1):} $
$ { ( (partial g^(sigmabeta) Gamma _(mubeta)^alpha)/(partial x^alpha ) =-Omega[(t_(mu)^(sigma) +T_(mu) ^(sigma) ) - (1/2)delta_mu^(sigma)(t+T)] ) ,( (-g) ^(1/2)=1):} $
A questo:
$ { ( (partial Gamma_(munu ) ^alpha)/(partial x^alpha)+Gamma_(mubeta) ^alphaGamma_(nualpha) ^beta=-Omega (T_(munu)-(1/2)g_(munu)T) ),( (-g) ^(1/2)=1):} $
Questo passaggi mi mancano, francamente. Se peró vuoi capire come si possa arrivare alle equazioni di campo prima scritte, esistono altri procedimenti, che si basano sulle identità di Bianchi. Ne possiamo parlare .
La cosa da tener presente è che il tensore energia-impulso al secondo membro deve avere divergenza tensoriale identicamente nulla, per l' equazione di continuità (legge di conservazione). Perciò , al primo membro non ci può essere solo $R_(munu)$ , che ha divergenza tensoriale in genere non nulla (provare per credere) . Per poter arrivare alla giusta combinazione di tensori da mettere al primo membro, bisogna partire dal tensore di curvatura di Riemann , e fare delle opportune manipolazioni , utilizzando le sue simmetrie e le identità di Bianchi accennate.
Ma non è semplice, non è matematica che faccio tutti i giorni, quindi mi ci vuole un po' per fare mente locale, riassumere le idee e scrivere qualcosa di decente.
La cosa da tener presente è che il tensore energia-impulso al secondo membro deve avere divergenza tensoriale identicamente nulla, per l' equazione di continuità (legge di conservazione). Perciò , al primo membro non ci può essere solo $R_(munu)$ , che ha divergenza tensoriale in genere non nulla (provare per credere) . Per poter arrivare alla giusta combinazione di tensori da mettere al primo membro, bisogna partire dal tensore di curvatura di Riemann , e fare delle opportune manipolazioni , utilizzando le sue simmetrie e le identità di Bianchi accennate.
Ma non è semplice, non è matematica che faccio tutti i giorni, quindi mi ci vuole un po' per fare mente locale, riassumere le idee e scrivere qualcosa di decente.
Io ho trovato la soluzione: si fa uso dello pseudotensore di Einstein, anche se la sua origine mi è ignota.
Ho ripreso vecchi appunti e fatto mente locale; non voglio farla molto lunga , perciò mi limito a ciò che ritengo essenziale. Premetto che, per semplificare la scrittura con l'editor di testo, uso indici latini anziché greci , come sarebbe più giusto perché gli indici devono variare da 0 a 3 , e in letteratura questi indici si riportano con lettere greche. LA scrittura delle lettere greche è più lunga qui, rispetto alle lettere latine.
Tensore di Riemann
Il tensore di curvatura di Riemann [nota]che si ricava da considerazioni sul trasporto parallelo di un vettore in una varietà differenziabile comunque curva, lungo un loop al termine del quale il vettore finale è diverso da quello iniziale , e dipende dal percorso seguito ; oppure si può ricavare da considerazioni sulla deviazione geodetica : sorvolo su questo, penso che ti sia ben noto[/nota] , si può scrivere in forma completamente covariante abbassando l'indice superiore col tensore metrico :
$ g_(rl) R_(*jnk)^l = R_(rjnk)$
svolgendo i calcoli, che non riporto, con l'inserimento dei simboli di Christoffel in Riemann , si ha in definitiva :
$ R_(rjnk) = 1/2 ( (del^2g_(rk))/(delx^jdelx^n) + (del^2g_(jn))/(delx^rdelx^k) - (del^2g_(rn))/(delx^jdelx^k) - (del^2g_(jk))/(delx^rdelx^n) ) + g^(st) ( Gamma_(rkt)*Gamma_(jns) - Gamma_(rnt) *Gamma _(jks) ) $
si possono ricavare varie simmetrie e antisimmetrie del tensore di Riemann, nonché la prima identità di Bianchi:
$ R_(rjnk) + R_(rkjn) + R_(rnkj) = 0 $
le simmetrie e antisimmetrie non le riporto, altrimenti scrivo un romanzo. Si trovano dappertutto in letteratura. Esse consentono di ridurre le $4^4 = 256$ componenti di R. a 20 componenti soltanto, in uno spaziotempo che ha 4 dimensioni.
Tensore di Ricci e invariante di curvatura
Il tensore : $R_(*jnk)^l $ si può contrarre solo rispetto al terzo o quarto indice, cioè la contrazione dell'indice $l$ controvariante col secondo indice $j$ è nulla : $ R_(*l\nk)^l = 0 $ . Non riporto i passaggi , è solo algebra tensoriale.
Quindi, si può calcolare il tensore di Ricci contraendo, in Riemann , il primo e quarto indice , e risulta un tensore simmetrico covariante del secondo ordine, con 16 componenti: $ R_(jn) = R_(nj) $ , che non riporto per esteso. SE avessi contratto $l$ con $n$ anziché con $k$ avrei trovato il valore opposto.
L'ulteriore contrazione con $g^(jn)$ dà l'invariante scalare : $ R = g^(jn)R_(jn) = g^(jn) g^(lk)R_(jl\nk) $
da notare, in particolare , l'ordine in cui si devono scrivere gli indici : è questione di simmetria , se si scambiano certe posizioni il tensore di Riemann cambia segno. Lo vedremo dopo.
LA seconda identità di Bianchi
L'espressione totalmente covariante di R. scritta per prima si può specializzare in un sistema di riferimento localmente inerziale (LIF), nel quale i simboli di Christoffel sono nulli [nota]certamente sai come sono fatti i simboli di Chr.[/nota], ma non le loro derivate. Cioè, in un LIF , si ha :
$ R_(rjnk) = 1/2 ( (del^2g_(rk))/(delx^jdelx^n) + (del^2g_(jn))/(delx^rdelx^k) - (del^2g_(rn))/(delx^jdelx^k) - (del^2g_(jk))/(delx^rdelx^n) ) $
che di solito si scrive in maniera più semplice adottando la "virgola" come segno di derivata parziale:
$R_(rjnk) = 1/2( g_(rk),_(jn) + g_(jn),_(rk) - g_(rn),_(jk) - g_(jk),_(rn) ) $
adesso, essendo sempre in un LIF , calcoliamo la derivata parziale rispetto a $x^l$ :
$R_(rjnk),_l = 1/2( g_(rk),_(jnl) + g_(jn),_(rkl) - g_(rn),_(jkl) - g_(jk),_(rnl) ) $
nella parentesi ci sono le derivate terze dei coefficienti della metrica rispetto alle coordinate spaziotemporali.
da qui, permutando circolarmente gli indici $nkl$ e sommando le tre espressioni , si ha che:
$R_(rjnk),_l +R_(rjl\n),_k +R_(rjkl),_n = 0 $
e questa è la seconda identità di Bianchi , scritta però in un LIF, dove i simboli di Christoffel sono nulli. Adesso però viene il trucco, che trucco non è, anzi si adotta spesso in RG in casi analoghi. Siccome l'equazione scritta è una eq. tensoriale , e le equazioni tensoriali valgono indipendentemente dal sistema di riferimento, si può scrivere anche in un riferimento di coordinate curvilinee, non solo in un LIF, ma si deve sostituire la derivata parziale con la derivata covariante , altro oggetto che spero non sia misterioso ; la derivata covariante si indica spesso col simbolo di " punto e virgola $; $ . Altri lo indicano col nabla $\nabla$ . In definitiva, la seconda identità di Bianchi in un riferimento qualsiasi è :
$R_(rjnk);_l +R_(rjl\n);_k +R_(rjkl);_n = 0 $
Tensore di Einstein
Applichiamo ora il doppio innalzamento con contrazione $g^(jk)g^(rn) $ a tutti i termini dell'identità ora scritta , calcolandoli uno per volta . Nel fare ciò , ricordiamo cha la derivata covariante del tensore metrico è nulla, perciò possiamo portarlo sotto il segno di derivata covariante, e ricordiamo che scambiando di posto due indici in R. il segno cambia . Si ha :
1º termine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjnk);_l = g^(jk) R_(jk);_l = R;_l$
2ºtermine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjl\n);_k = - g^(jk)g^(rn) R_(rjnl);_k = - g^(jk)R_(jl);_k $
come si vede,il segno cambia dal 1º al 2º membro perché nella componente di R. ho scambiato di posto $n$ con $l$
3º termine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjkl);_n = -g^(rn) R_(rl);_n$
qui ho contratto su $j$ e $k$ , ma per farlo ho dovuto fare scambi di posto nei pedici della componente.
Sommando i tre termini si ha :
$R;_l - g^(jk)R_(jl);_k - g^(rn) R_(rl);_n = 0 $
nel terzo termine , si possono sostituire gli indici saturi $r$ ed $n$ con $j$ e $k$, onde avere :
$ R;_l -g^(jk)R_(jl);_k - g^(jk)R_(jl);_k =0 $
cioè : $ R;_l -2g^(jk)R_(jl);_k =0 $
questa è sempre la seconda identità di Bianchi , scritta in altra maniera, ed è quella che ci serve ora.
Einstein cercava un tensore, che riproducesse la curvatura dello ST , da mettere in relazione col tensore energia-impulso ( la materia- energia curva lo ST) , il quale doveva avere divergenza tensoriale identicamente nulla , cosi come ce l'ha il tensore $T_ (ij) $ per la conservazione della massa-energia .
Il tensore di Ricci non andava bene. Allora Einstein provò ( meglio dire : trovò , con gran fatica) il seguente tensore simmetrico :
$ G_j^i = g^(il)R_(jl) -1/2\delta_j^i R $
dimostriamo che la divergenza è identicamente nulla, scrivendo la derivata covariante rispetto a $x^i$ :
$ G_j^i ; _i= g^(il)R_(jl);_i -1/2\delta_j^i R;_i $
qui interviene la relazione ultima scritta per Bianchi, sostituendo l'ultimo $R;_i$ :
$ G_j^i ; _i= g^(il)R_(jl);_i -1/2\delta_j^i * 2 g^(jk)R_(ji);_k =g^(il)R_(jl);_i -g^(ik)R_(ji);_k =g^(il)R_(jl);_i - g^(li)R_(jl);_i = 0 $.
Siamo arrivati alla fine . Il tensore di Einstein , scritto in forma covariante , è :
esso ha divergenza identicamente nulla , e si può mettere in relazione col tensore energia-impulso scrivendo :
il tensore di Ricci, l ' invariate scalare e il tensore id Einstein sono gli unici tensori che si possono costruire a partire dal tensore di curvatura di Riemann .
Il divertimento continua , per determinare la costante $k$ , ma è un'altra storia . Adesso capite perchè Einstein ci mise 9 o 10 anni per arrivare a scrivere la RG ? Ma il divertimento continua anche in altra direzione : che succede nello spazio vuoto di materia- energia , per esempio attorno a un corpo celeste? Lí il tensore energia-impulso deve essere nullo : $T_(munu) = 0$ , quindi deve essere nullo Ricci :
$ R_(munu) = 0 $ ( ho rimesso indici greci ) . E vengono fuori i buchi neri...
Tensore di Riemann
Il tensore di curvatura di Riemann [nota]che si ricava da considerazioni sul trasporto parallelo di un vettore in una varietà differenziabile comunque curva, lungo un loop al termine del quale il vettore finale è diverso da quello iniziale , e dipende dal percorso seguito ; oppure si può ricavare da considerazioni sulla deviazione geodetica : sorvolo su questo, penso che ti sia ben noto[/nota] , si può scrivere in forma completamente covariante abbassando l'indice superiore col tensore metrico :
$ g_(rl) R_(*jnk)^l = R_(rjnk)$
svolgendo i calcoli, che non riporto, con l'inserimento dei simboli di Christoffel in Riemann , si ha in definitiva :
$ R_(rjnk) = 1/2 ( (del^2g_(rk))/(delx^jdelx^n) + (del^2g_(jn))/(delx^rdelx^k) - (del^2g_(rn))/(delx^jdelx^k) - (del^2g_(jk))/(delx^rdelx^n) ) + g^(st) ( Gamma_(rkt)*Gamma_(jns) - Gamma_(rnt) *Gamma _(jks) ) $
si possono ricavare varie simmetrie e antisimmetrie del tensore di Riemann, nonché la prima identità di Bianchi:
$ R_(rjnk) + R_(rkjn) + R_(rnkj) = 0 $
le simmetrie e antisimmetrie non le riporto, altrimenti scrivo un romanzo. Si trovano dappertutto in letteratura. Esse consentono di ridurre le $4^4 = 256$ componenti di R. a 20 componenti soltanto, in uno spaziotempo che ha 4 dimensioni.
Tensore di Ricci e invariante di curvatura
Il tensore : $R_(*jnk)^l $ si può contrarre solo rispetto al terzo o quarto indice, cioè la contrazione dell'indice $l$ controvariante col secondo indice $j$ è nulla : $ R_(*l\nk)^l = 0 $ . Non riporto i passaggi , è solo algebra tensoriale.
Quindi, si può calcolare il tensore di Ricci contraendo, in Riemann , il primo e quarto indice , e risulta un tensore simmetrico covariante del secondo ordine, con 16 componenti: $ R_(jn) = R_(nj) $ , che non riporto per esteso. SE avessi contratto $l$ con $n$ anziché con $k$ avrei trovato il valore opposto.
L'ulteriore contrazione con $g^(jn)$ dà l'invariante scalare : $ R = g^(jn)R_(jn) = g^(jn) g^(lk)R_(jl\nk) $
da notare, in particolare , l'ordine in cui si devono scrivere gli indici : è questione di simmetria , se si scambiano certe posizioni il tensore di Riemann cambia segno. Lo vedremo dopo.
LA seconda identità di Bianchi
L'espressione totalmente covariante di R. scritta per prima si può specializzare in un sistema di riferimento localmente inerziale (LIF), nel quale i simboli di Christoffel sono nulli [nota]certamente sai come sono fatti i simboli di Chr.[/nota], ma non le loro derivate. Cioè, in un LIF , si ha :
$ R_(rjnk) = 1/2 ( (del^2g_(rk))/(delx^jdelx^n) + (del^2g_(jn))/(delx^rdelx^k) - (del^2g_(rn))/(delx^jdelx^k) - (del^2g_(jk))/(delx^rdelx^n) ) $
che di solito si scrive in maniera più semplice adottando la "virgola" come segno di derivata parziale:
$R_(rjnk) = 1/2( g_(rk),_(jn) + g_(jn),_(rk) - g_(rn),_(jk) - g_(jk),_(rn) ) $
adesso, essendo sempre in un LIF , calcoliamo la derivata parziale rispetto a $x^l$ :
$R_(rjnk),_l = 1/2( g_(rk),_(jnl) + g_(jn),_(rkl) - g_(rn),_(jkl) - g_(jk),_(rnl) ) $
nella parentesi ci sono le derivate terze dei coefficienti della metrica rispetto alle coordinate spaziotemporali.
da qui, permutando circolarmente gli indici $nkl$ e sommando le tre espressioni , si ha che:
$R_(rjnk),_l +R_(rjl\n),_k +R_(rjkl),_n = 0 $
e questa è la seconda identità di Bianchi , scritta però in un LIF, dove i simboli di Christoffel sono nulli. Adesso però viene il trucco, che trucco non è, anzi si adotta spesso in RG in casi analoghi. Siccome l'equazione scritta è una eq. tensoriale , e le equazioni tensoriali valgono indipendentemente dal sistema di riferimento, si può scrivere anche in un riferimento di coordinate curvilinee, non solo in un LIF, ma si deve sostituire la derivata parziale con la derivata covariante , altro oggetto che spero non sia misterioso ; la derivata covariante si indica spesso col simbolo di " punto e virgola $; $ . Altri lo indicano col nabla $\nabla$ . In definitiva, la seconda identità di Bianchi in un riferimento qualsiasi è :
$R_(rjnk);_l +R_(rjl\n);_k +R_(rjkl);_n = 0 $
Tensore di Einstein
Applichiamo ora il doppio innalzamento con contrazione $g^(jk)g^(rn) $ a tutti i termini dell'identità ora scritta , calcolandoli uno per volta . Nel fare ciò , ricordiamo cha la derivata covariante del tensore metrico è nulla, perciò possiamo portarlo sotto il segno di derivata covariante, e ricordiamo che scambiando di posto due indici in R. il segno cambia . Si ha :
1º termine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjnk);_l = g^(jk) R_(jk);_l = R;_l$
2ºtermine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjl\n);_k = - g^(jk)g^(rn) R_(rjnl);_k = - g^(jk)R_(jl);_k $
come si vede,il segno cambia dal 1º al 2º membro perché nella componente di R. ho scambiato di posto $n$ con $l$
3º termine: $g^(jk)g^(rn) R_(rjkl);_n = -g^(rn) R_(rl);_n$
qui ho contratto su $j$ e $k$ , ma per farlo ho dovuto fare scambi di posto nei pedici della componente.
Sommando i tre termini si ha :
$R;_l - g^(jk)R_(jl);_k - g^(rn) R_(rl);_n = 0 $
nel terzo termine , si possono sostituire gli indici saturi $r$ ed $n$ con $j$ e $k$, onde avere :
$ R;_l -g^(jk)R_(jl);_k - g^(jk)R_(jl);_k =0 $
cioè : $ R;_l -2g^(jk)R_(jl);_k =0 $
questa è sempre la seconda identità di Bianchi , scritta in altra maniera, ed è quella che ci serve ora.
Einstein cercava un tensore, che riproducesse la curvatura dello ST , da mettere in relazione col tensore energia-impulso ( la materia- energia curva lo ST) , il quale doveva avere divergenza tensoriale identicamente nulla , cosi come ce l'ha il tensore $T_ (ij) $ per la conservazione della massa-energia .
Il tensore di Ricci non andava bene. Allora Einstein provò ( meglio dire : trovò , con gran fatica) il seguente tensore simmetrico :
$ G_j^i = g^(il)R_(jl) -1/2\delta_j^i R $
dimostriamo che la divergenza è identicamente nulla, scrivendo la derivata covariante rispetto a $x^i$ :
$ G_j^i ; _i= g^(il)R_(jl);_i -1/2\delta_j^i R;_i $
qui interviene la relazione ultima scritta per Bianchi, sostituendo l'ultimo $R;_i$ :
$ G_j^i ; _i= g^(il)R_(jl);_i -1/2\delta_j^i * 2 g^(jk)R_(ji);_k =g^(il)R_(jl);_i -g^(ik)R_(ji);_k =g^(il)R_(jl);_i - g^(li)R_(jl);_i = 0 $.
Siamo arrivati alla fine . Il tensore di Einstein , scritto in forma covariante , è :
$ G_(ij) = R_(ij) -1/2 g_(ij)R $
esso ha divergenza identicamente nulla , e si può mettere in relazione col tensore energia-impulso scrivendo :
$ G_(ij) = k T_(ij) $
il tensore di Ricci, l ' invariate scalare e il tensore id Einstein sono gli unici tensori che si possono costruire a partire dal tensore di curvatura di Riemann .
Il divertimento continua , per determinare la costante $k$ , ma è un'altra storia . Adesso capite perchè Einstein ci mise 9 o 10 anni per arrivare a scrivere la RG ? Ma il divertimento continua anche in altra direzione : che succede nello spazio vuoto di materia- energia , per esempio attorno a un corpo celeste? Lí il tensore energia-impulso deve essere nullo : $T_(munu) = 0$ , quindi deve essere nullo Ricci :
$ R_(munu) = 0 $ ( ho rimesso indici greci ) . E vengono fuori i buchi neri...
Io posseggo questo libro da cui ho studiato:
https://en.m.wikisource.org/wiki/The_Fo ... elativity#§_15._Hamiltonian_Function_for_the_Gravitation-field._Laws_of_Impulse_and_Energy.
qui ricava il tensore in un altra maniera, ma mi sa che in origine Einstein abbia usato il metodo da te esposto
https://en.m.wikisource.org/wiki/The_Fo ... elativity#§_15._Hamiltonian_Function_for_the_Gravitation-field._Laws_of_Impulse_and_Energy.
qui ricava il tensore in un altra maniera, ma mi sa che in origine Einstein abbia usato il metodo da te esposto
Sono tantissimi i libri che spiegano la RG . Io ho iniziato con la prima edizione del libro di Bernard Schutz , degli anni '80 . Questa che vedi qui è la seconda edizione.
MA ci sono molti corsi anche sul web , per esempio le dispense di Sean Carroll :
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
la dimostrazione che ho riportato è sostanzialmente quella di Schutz . Non so che cosa avesse fatto Einstein , in verità.
MA ci sono molti corsi anche sul web , per esempio le dispense di Sean Carroll :
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
la dimostrazione che ho riportato è sostanzialmente quella di Schutz . Non so che cosa avesse fatto Einstein , in verità.
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