Curva sopraelevata e forza centrifuga
Ciao a tutti! come molti avrei un problema.Dovrebbe essere facile ma non riesco a capirlo bene.
Il problema parla di un camion che affronta una curva sopraelevata con un angolo di 25°(io ho immaginato che si trattasse di quelle curve tipo circuito di indianapolis).La curva ha un raggio di 100 m e chiede di calcolare la velocità massima senza attrito e con un coefficente di attrito di 0,5.
Io l'avevo impostato nel seguente modo:
certo senza disegno non è facile da spiegare,ma immaginandosi questo veicolo inclinato lateralmente,ho considerato unicamente forza peso e forza centrifuga.Non potendo considerare la forza d'attrito immagino che la forza centrifuga debba bilanciare perfettamente quella di gravità. O meglio,io pensavo che fossero le rispettive componenti orizzontali (orizzontali rispetto al piano inclinato se guardiamo da dietro il camion) a doversi bilanciare. quindi Fcx=Fpx tramite qualche passaggio algebrico ero arrivato a dire che l'accelerazione centripeta doveva essere uguale a quella di gravità.Sapendo poi che l'accelerazione centripeta è uguale al quadrato della velocità divisa per il raggio avrei ottenuto quella che credevo essere la velocità. Ovviamente non è così,la cosa non mi sconfinfera molto,nel senso che la formula che ho ottenuto è strana,dovrebbe in qualche modo tenere conto dell'angolo e invece nulla.
Perciò se non sono le due componenti orizzontali a doversi bilanciare,sinceramente,rimango disorientato.
Grazie ciao
Il problema parla di un camion che affronta una curva sopraelevata con un angolo di 25°(io ho immaginato che si trattasse di quelle curve tipo circuito di indianapolis).La curva ha un raggio di 100 m e chiede di calcolare la velocità massima senza attrito e con un coefficente di attrito di 0,5.
Io l'avevo impostato nel seguente modo:
certo senza disegno non è facile da spiegare,ma immaginandosi questo veicolo inclinato lateralmente,ho considerato unicamente forza peso e forza centrifuga.Non potendo considerare la forza d'attrito immagino che la forza centrifuga debba bilanciare perfettamente quella di gravità. O meglio,io pensavo che fossero le rispettive componenti orizzontali (orizzontali rispetto al piano inclinato se guardiamo da dietro il camion) a doversi bilanciare. quindi Fcx=Fpx tramite qualche passaggio algebrico ero arrivato a dire che l'accelerazione centripeta doveva essere uguale a quella di gravità.Sapendo poi che l'accelerazione centripeta è uguale al quadrato della velocità divisa per il raggio avrei ottenuto quella che credevo essere la velocità. Ovviamente non è così,la cosa non mi sconfinfera molto,nel senso che la formula che ho ottenuto è strana,dovrebbe in qualche modo tenere conto dell'angolo e invece nulla.
Perciò se non sono le due componenti orizzontali a doversi bilanciare,sinceramente,rimango disorientato.
Grazie ciao
Risposte
La curva è proprio quella. Il raggio invece ovviamente dipende da quale punto intendi affrontare la curva (quindi se non ti muovi a velocità costante sarà sicuramente variabile).
La forza centrifuga che hai menzionato è una forza d'inerzia (o anche detta a mio avviso in modo infelice "apparente") che può essere introdotta solo se studi il moto da un sistema di riferimento non inerziale (ma tu non hai specificato da dove intendi studiare il moto).
Comincia perciò a vedere questo thread di ieri credo:
viewtopic.php?f=19&t=113903
e poi chiariamo i dubbi. Ciao
La forza centrifuga che hai menzionato è una forza d'inerzia (o anche detta a mio avviso in modo infelice "apparente") che può essere introdotta solo se studi il moto da un sistema di riferimento non inerziale (ma tu non hai specificato da dove intendi studiare il moto).
Comincia perciò a vedere questo thread di ieri credo:
viewtopic.php?f=19&t=113903
e poi chiariamo i dubbi. Ciao
Grazie, l'impostazione del problema è simile anche se non capisco cosa sia N,vedo che anche li c'è una problematica simile,alla fine noto che sulle x e penso sia quello che mi freghi,mette nell'equazione quella che credo sia la forza centripeta con la proiezione orizzontale di N.Forse sbaglio ad immaginare la forza centripeta,è diretta verso il centro della pista vero?N è forse è la forza normale? cioè la reazione della forza peso?
Io comunque volevo considerare il punto di vista di un osservatore solidale con il veicolo
Cioè quello che non mi sconfinfera della pagina che mi hai linkato è il fatto che metta in relazione una proiezione con una risultante,che da come la vedo io,se le forze sono quelle che ho inteso non penso che siano parallele tra loro
Io comunque volevo considerare il punto di vista di un osservatore solidale con il veicolo
Cioè quello che non mi sconfinfera della pagina che mi hai linkato è il fatto che metta in relazione una proiezione con una risultante,che da come la vedo io,se le forze sono quelle che ho inteso non penso che siano parallele tra loro
Partiamo dal caso senza attrito.
Sul camion agiscono solo forza peso e reazione vincolare normale alla superficie di contatto. Ora se tu vuoi che il camion viaggi a velocità costante lungo l'arco di circonferenza (cioè dall'alto vedrai il camion muoversi di moto circolare uniforme) devi imporre che la risultante delle forze sia centripeta.
Quindi in un sistema di riferimento inerziale
\[\vec{F}_{p}+\vec{N}=m\vec{a}_{N}\]
\(\vec{F}_{p}\) e \(m\vec{a}_{N}\) sono ortogonali perciò la forza peso non è quella che ti da l'accelerazione centripeta. Invece
è il vettore componente perpendicolare alla forza peso di \(\vec{N}=\vec{N}_{\parallel}+\vec{N}_{\perp}\) che da l'accelerazione centripeta. Il modulo di questa componente è
\[N\sin{\theta}\]
Sul camion agiscono solo forza peso e reazione vincolare normale alla superficie di contatto. Ora se tu vuoi che il camion viaggi a velocità costante lungo l'arco di circonferenza (cioè dall'alto vedrai il camion muoversi di moto circolare uniforme) devi imporre che la risultante delle forze sia centripeta.
Quindi in un sistema di riferimento inerziale
\[\vec{F}_{p}+\vec{N}=m\vec{a}_{N}\]
\(\vec{F}_{p}\) e \(m\vec{a}_{N}\) sono ortogonali perciò la forza peso non è quella che ti da l'accelerazione centripeta. Invece
è il vettore componente perpendicolare alla forza peso di \(\vec{N}=\vec{N}_{\parallel}+\vec{N}_{\perp}\) che da l'accelerazione centripeta. Il modulo di questa componente è
\[N\sin{\theta}\]
Ma quella è la proiezione verticale della normale? Considerare normale e centripeta non è lo stesso che considerare peso e centrifuga? Mi sembrava più diretta da vedere graficamente. A dire il vero il testo stesso mi da qualche problema, cosa intende con "velocità massima"? Velocità oltre la quale la macchina inizia a cambiare traiettoria? Ah un'altra cosa, ma perché consideri il modulo per "intero" della forza centripeta? Non dovremmo considerare solo la sua proiezione parallela a quella della normale?
"Satiro":
Considerare normale e centripeta non è lo stesso che considerare peso e centrifuga? Mi sembrava più diretta da vedere graficamente. A dire il vero il testo stesso mi da qualche problema, cosa intende con "velocità massima"? Velocità oltre la quale la macchina inizia a cambiare traiettoria? Ah un'altra cosa, ma perché consideri il modulo per "intero" della forza centripeta? Non dovremmo considerare solo la sua proiezione parallela a quella della normale?
Cosa vuol dire tutto questo??? Non ti capisco.. comunque:
Nel nostro caso (attrito assente) sul corpo agiscono solo due forze \(\vec{P}, \vec{N}\) la cui risultante è una forza che deve essere centripeta ovvero diretta verso il centro di curvatura, perchè altrimenti il corpo non potrebbe percorrere la curva alla stessa altezza dal suolo a velocità costante (visto dall'alto sarebbe un moto circolare uniforme, e in un moto circolare uniforme la forza è puramente centripeta).
Ora considero il sistema di riferimento disegnato (osservo che questo non è un sistema di riferimento inerziale), e scrivo l'equazione delle forze
\[\vec{P}+\vec{N}=\vec{R}=m\vec{a}\]
Ora scompongo l'equazione lungo gli assi scelti e ottengo
\[y)\hspace{1 cm}-mg+N\cos{\theta}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}N=\frac{mg}{\cos{\theta}}\]
\[x)\hspace{1 cm}N\sin{\theta}=ma_{N}=m\frac{v^{2}}{r}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\tan{\theta}=\frac{v^{2}}{gr}\]
Cioè possiamo dire infine che, la componente \(N_{x}=N\sin{\theta}\) è quella che fornisce l'accelerazione centripeta. Inoltre abbiamo visto che la condizione (in questo caso ideale) a cui deve obbedire un mezzo per poter affrontare una curva sopraelevata a velocità costante senza sbandare è
\[\tan{\theta}=\frac{v^{2}}{gr}\]
Esempio, supponiamo che \(\theta=30°\ r=50\ m\)
\[v=\sqrt{gr\tan{\theta}}=16.8\ \frac{m}{s}=60.5\ \frac{km}{h}\]
Cioè se con queste caratteristiche geometriche della sopraelevata tu viaggi a velocità superiori o inferiori di questo valore ti sposterai verso l'esterno o verso l'interno della curva.
Grazie! Anche se non capisco come ottenere la tangente, sembra quasi che tu abbia preso la N dall'equazione in y e l'abbia messa tra le x,inoltre non capisco quell'Nsentheta la proiezione rispetto a quell'angolo non dovrebbe essere sul piano inclinato?in tal caso non sarebbero paralleli
Certo che ho fatto cosi. I sistemi di equazioni possono essere risolti in tal modo, ricavi un incognita in una equazione e poi la sostituisci nella seconda e cosi via.. Cmq dalla domanda appena fatta credo che tu abbia alcune lacune matematiche, perciò ti consiglio oltre a fare molti esercizi che sicuramente aiutano a capire, anche a darti una ripassata ai sistemi di equazioni.
Sicuramente ma queste proiezioni mi stanno incasinando,continuo a non capire, non ho mai orientato le x diversamente dal piano inclinato, quindi indipendentemente da come scegli l'asse x se fai n sen di un certo angolo avrai sempre la proiezione di quella forza sull'asse x da te scelto?deve essere così per forza, tra l'altro sto avendo un super dejavuu, ho sognato questa conversazione :v perché a ripensarci se oriento sempre l'asse x col piano inclinato la FP non coincide mai con la y,che pirla
Allora la scelta del sistema di riferimento è arbitraria, quando studi fisica prima visualizzi le forze agenti, e poi per poter "fare i calcoli" dovrai scegliere un sistema di riferimento, è ovvio che per poter fare meno fatica scegli un sistema di riferimento "comodo", nel nostro caso siccome la risultante è centripeta a noi conviene scegliere un sistema con uno degli assi diretto come la risultante centripeta, cosi questa non deve essere scomposta su tutte le direzioni ma solo lungo le \(x\).
Per quando riguarda la proiezione non studiare a memoria. Ripassa quello fatto in goniometria: considera un triangolo rettangolo con ipotenusa \(i\), cateto adiacente all'angolo \(\theta\) (non retto) \(ca\), e cateto opposto allo stesso angolo \(co\).
Si definiscono quindi \(\sin\) e \(\cos\) dell'angolo le seguenti relazioni
\[\sin{\theta}=\frac{co}{i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=\frac{ca}{i}\]
dalle quali ricavi
\[co=i\sin{\theta}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}ca=i\cos{\theta}\]
Per quando riguarda la proiezione non studiare a memoria. Ripassa quello fatto in goniometria: considera un triangolo rettangolo con ipotenusa \(i\), cateto adiacente all'angolo \(\theta\) (non retto) \(ca\), e cateto opposto allo stesso angolo \(co\).
Si definiscono quindi \(\sin\) e \(\cos\) dell'angolo le seguenti relazioni
\[\sin{\theta}=\frac{co}{i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\cos{\theta}=\frac{ca}{i}\]
dalle quali ricavi
\[co=i\sin{\theta}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}ca=i\cos{\theta}\]
Grazie!
Prego, comunque fidati sono cose semplici dai una ripassata e fai giusto qualche esercizio sulle proiezioni e vedrai che i dubbi spariranno in fretta.
Si ora ho capito la cosa delle proiezioni ma temo di avere sbagliato ancora a livello algebrico 
stavo facendo il caso in cui avessimo anche dell'attrito sul piano inclinato, ciò nonostante abbiamo bisogno di una risultante centripeta perché possa considerarsi moto circolare (uniforme possibilmente). Quindi ho ripreso il sistema di prima e ho semplicemente inserito la proiezione orizzontale della forza d'attrito (avendo gli assi orientati in quel modo era necessario) ,la quale è come la N calcolata in y ma con l'aggiunta del coefficiente d'attrito.
Quindi in x avrò
Nx-Fattx=Fc giusto?
stavo facendo il caso in cui avessimo anche dell'attrito sul piano inclinato, ciò nonostante abbiamo bisogno di una risultante centripeta perché possa considerarsi moto circolare (uniforme possibilmente). Quindi ho ripreso il sistema di prima e ho semplicemente inserito la proiezione orizzontale della forza d'attrito (avendo gli assi orientati in quel modo era necessario) ,la quale è come la N calcolata in y ma con l'aggiunta del coefficiente d'attrito.Quindi in x avrò
Nx-Fattx=Fc giusto?
In questo caso hai devi aggiungere \(F_{a}\sin{\theta}\) all'equazione sulle \(y\) e \(-F_{a}\cos{\theta}\) all'equazione sulle \(x\).
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