Curva e legge oraria
Salve a tutti, ho una domanda sul concetto di curva e la sua relazione con la cinematica.
Supponiamo di avere una curva $varphi:[t_0,t_1]rarrRR^2$ tale che $varphi(t)=x(t)e_1+y(t)e_2$ dove $[t_0,t_1]$ è un intervallo di tempo. Lasciando scorrere il tempo, in $RR^2$ si viene a disegnare il sostegno della curva $S=varphi[t_0,t_1]$, che rappresenta nel piano la traiettoria del mio punto materiale. Ora fisso un sistema di riferimento in $RR^2$ e considero il vettore che unisce l'origine con la posizione del punto materiale. Dai corsi di Fisica 1 questo vettore viene chiamato raggio vettore e denotato $r(t)$.
La mia domanda è: qual è la differenza tra curva e raggio vettore? Quale rappresenta la legge oraria? La mia difficoltà sta nel fatto che i vettori hanno lo stesso modulo (anche $r=sqrt(x^2+y^2)$) ma da una parte vedo la curva come l'applicazione che manda ogni valore del parametro temporale nel corrispondente punto di $S$, e dall'altra vedo il raggio vettore come il segmento che congiunge l'origine e il punto. Insomma, mi sembrano cose diverse, ma entrambe sono state chiamate legge orarie, e ora ho un po' le idee confuse.
Forse basta il fatto che il punto di arrivo del sostegno è determinato a partire da un sistema di riferimento, e quindi l'applicazione $varphi$ determina in modo univoco (fissati gli assi) ogni valore del raggio vettore.
Un'altra cosa che mi crea dubbi: posso rappresentare il raggio vettore in funzione del tempo e ottenere il solito grafico spazio-tempo che rappresenta l'andamento del punto materiale, ma avrebbe senso pensarlo invece come grafico della curva?
So che è una cosa un po' stupida, ma grazie lo stesso a tutti.
Supponiamo di avere una curva $varphi:[t_0,t_1]rarrRR^2$ tale che $varphi(t)=x(t)e_1+y(t)e_2$ dove $[t_0,t_1]$ è un intervallo di tempo. Lasciando scorrere il tempo, in $RR^2$ si viene a disegnare il sostegno della curva $S=varphi[t_0,t_1]$, che rappresenta nel piano la traiettoria del mio punto materiale. Ora fisso un sistema di riferimento in $RR^2$ e considero il vettore che unisce l'origine con la posizione del punto materiale. Dai corsi di Fisica 1 questo vettore viene chiamato raggio vettore e denotato $r(t)$.
La mia domanda è: qual è la differenza tra curva e raggio vettore? Quale rappresenta la legge oraria? La mia difficoltà sta nel fatto che i vettori hanno lo stesso modulo (anche $r=sqrt(x^2+y^2)$) ma da una parte vedo la curva come l'applicazione che manda ogni valore del parametro temporale nel corrispondente punto di $S$, e dall'altra vedo il raggio vettore come il segmento che congiunge l'origine e il punto. Insomma, mi sembrano cose diverse, ma entrambe sono state chiamate legge orarie, e ora ho un po' le idee confuse.
Forse basta il fatto che il punto di arrivo del sostegno è determinato a partire da un sistema di riferimento, e quindi l'applicazione $varphi$ determina in modo univoco (fissati gli assi) ogni valore del raggio vettore.
Un'altra cosa che mi crea dubbi: posso rappresentare il raggio vettore in funzione del tempo e ottenere il solito grafico spazio-tempo che rappresenta l'andamento del punto materiale, ma avrebbe senso pensarlo invece come grafico della curva?
So che è una cosa un po' stupida, ma grazie lo stesso a tutti.
Risposte
Il raggio vettore altro non e' che la rappresentazione vettoriale della curva.
$vec(r)(t)=x(t)veci+y(t)vecj$ che e' la funzione vettoriale delle funzioni scalari $x(t)$ e $y(t)$ che altro non sono che la curva in forma parametrica (anche se il parametro e' in effetti un tempo).
La prima equazione non e' la legge oraria vera propria, ne lo sono le parametriche di x, y, e z anche se niente vieta, ovviamente, di considerarle le leggi orarie del corpo lungo l'asse
La legge oraria propriamente detta (almeno ai miei tempi, poi a volte vedo che si introducono concetti nuovi, quancuno parlava di rapidity in un post ieri, che io non ho mai sentito in meccanica classica), si ottiene se si introduce la funzione scalare ascissa curvilinea $s(t)$, che e' l'immagine della funzione $P(t)$ posizione del punto contato da un origine, punto occupato dal corpo durante la traiettoria.
Siccome, come dici tu, il vettore $vecr$ si appoggia al sostegno della curva, una volta noto $vecr(s)$ e la legge $s(t)$ si puo conoscere il moto a tutti gli effetti
A questo punto $x(s)$, $y(s)$ rappresentano l'equazione della parametrica propriamente detta.
Mentre ritornando a $x(t)$ e $y(t)$ sopra, appare chairo il motivo per cui queste possono essere considerate leggi orarie: sono ascisse curvilinne che degenerano in rette.
Siccome la velocita' si definisce come $vecv=[dvec(r)]/[dt]$, per composizione di derivate, si avra:
$vecv=[dvec(r)]/[dt]=[dvec(r)]/[ds]*[ds]/[dt]$
Il vettore $[dvec(r)]/[ds]$ rappresenta (si dimostra facilmente) un vettore unitario tangente la traiettoria (normalmente indicato $vectau$). Per tanto, nota la legge oraria (e l'equazione in forma implicita o parametrica della curva per determinare $vectau$), si puo' avere la velocita' in forma intrinseca: $vecv=dotsvectau$.
Spero che sia chiaro, non mi spingo oltre con i formalismi di analisi perche sto ripescando concetti per me assodatissimi e automatici, e quindi l'impianto di base da cui partire per arrivare a tali concetti lo devo veramente ripescare dai meandri della memoria e dal ragionamento!
$vec(r)(t)=x(t)veci+y(t)vecj$ che e' la funzione vettoriale delle funzioni scalari $x(t)$ e $y(t)$ che altro non sono che la curva in forma parametrica (anche se il parametro e' in effetti un tempo).
La prima equazione non e' la legge oraria vera propria, ne lo sono le parametriche di x, y, e z anche se niente vieta, ovviamente, di considerarle le leggi orarie del corpo lungo l'asse
La legge oraria propriamente detta (almeno ai miei tempi, poi a volte vedo che si introducono concetti nuovi, quancuno parlava di rapidity in un post ieri, che io non ho mai sentito in meccanica classica), si ottiene se si introduce la funzione scalare ascissa curvilinea $s(t)$, che e' l'immagine della funzione $P(t)$ posizione del punto contato da un origine, punto occupato dal corpo durante la traiettoria.
Siccome, come dici tu, il vettore $vecr$ si appoggia al sostegno della curva, una volta noto $vecr(s)$ e la legge $s(t)$ si puo conoscere il moto a tutti gli effetti
A questo punto $x(s)$, $y(s)$ rappresentano l'equazione della parametrica propriamente detta.
Mentre ritornando a $x(t)$ e $y(t)$ sopra, appare chairo il motivo per cui queste possono essere considerate leggi orarie: sono ascisse curvilinne che degenerano in rette.
Siccome la velocita' si definisce come $vecv=[dvec(r)]/[dt]$, per composizione di derivate, si avra:
$vecv=[dvec(r)]/[dt]=[dvec(r)]/[ds]*[ds]/[dt]$
Il vettore $[dvec(r)]/[ds]$ rappresenta (si dimostra facilmente) un vettore unitario tangente la traiettoria (normalmente indicato $vectau$). Per tanto, nota la legge oraria (e l'equazione in forma implicita o parametrica della curva per determinare $vectau$), si puo' avere la velocita' in forma intrinseca: $vecv=dotsvectau$.
Spero che sia chiaro, non mi spingo oltre con i formalismi di analisi perche sto ripescando concetti per me assodatissimi e automatici, e quindi l'impianto di base da cui partire per arrivare a tali concetti lo devo veramente ripescare dai meandri della memoria e dal ragionamento!
Ciao, grazie della risposta!
Il punto è che mi sembra un modo assurdamente complicato di vedere la questione. Si passa per $varphi(t)$, $r(t)$, $s(t)$, $P(t)$, $r(s)$... quando uno può vedere semplicemente la curva $varphi(t)$ come definizione di legge oraria e considerare che la curva, fissato un riferimento, definisce implicitamente il raggio vettore $r(t)$ e quindi il grafico spazio-tempo. Da cui $dotvarphi$ come velocità, vettore tangente alla curva stessa, (a cui corrisponde il grafico di $r'(t)$), e l'accelerazione $ddotvarphi$ come vettore normale.
Mi sembra che formalmente la questione sia corretta anche così, ed è più intuitiva come visione. Forse mi sbaglio
Il punto è che mi sembra un modo assurdamente complicato di vedere la questione. Si passa per $varphi(t)$, $r(t)$, $s(t)$, $P(t)$, $r(s)$... quando uno può vedere semplicemente la curva $varphi(t)$ come definizione di legge oraria e considerare che la curva, fissato un riferimento, definisce implicitamente il raggio vettore $r(t)$ e quindi il grafico spazio-tempo. Da cui $dotvarphi$ come velocità, vettore tangente alla curva stessa, (a cui corrisponde il grafico di $r'(t)$), e l'accelerazione $ddotvarphi$ come vettore normale.
Mi sembra che formalmente la questione sia corretta anche così, ed è più intuitiva come visione. Forse mi sbaglio
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