Cuneo mobile con sopra una massa m su piano orizzontale
Ho bisogno di una mano con questo esercizio "Un cuneo di massa $ M $ può scivolare senza attrito lungo un piano inclinato con inclinazione $ theta $ . Sulla faccia orizzontale del cuneo si trova un blocco di massa $ m $ , assimilabile ad un corpo puntiforme , inizialmente fermo rispetto al cuneo . Abbandoniamo il cuneo con velocità iniziale nulla .
(a) Nell'ipotesi che ci sia attrito tra il cuneo e il blocco , calcolare per quali valori di $ mu_s $ i due corpi si muovono con la stessa accelerazione ;
(b) Trascurando l'attrito tra il blocco e il cuneo , calcolare le accelerazioni dei due corpi ." L'immagine del sistema è al problema 2.4 di questo file http://people.na.infn.it/~clarizia/eser ... _uni_B.pdf
Io ho difficoltà per il punto primo , o comunque ho bisogno di conferme .
Scrivo la seconda legge di Newton per $ M $ lungo il lato del piano inclinato :
$ (M+m)gsentheta-mu_sN'costheta=MA_c $ . Da notare come abbia orientato l'attrito , ovvero parallelamente al piano orizzontale , rivolto verso sinistra dato che sul corpo $ m $ essa agisce verso destra sempre in direzione parallela al p.or.
Scrivo la 2nda di Newton per $ m $ lungo il piano inclinato per un sistema di riferimento non inerziale solidale al cuneo mobile
$ mgsentheta+mu_sN'costheta-ma-N'sentheta=0 $ dato che la accelerazione relativa è nulla ( i corpi come da testo si muvono insieme ) e $ N' $ sarebbe la normale che agisce su $ m $ esercitata dalla superficie orizzontale del piano inclinato mobile . Inoltre , come si vede , ho inserito una forza di trascinamento orientata lungo la parallela al piano inclinato che agisce su $ m $ poiché esso si trova in un sistema di riferimento non inerziale .
Lungo l'ortogonale al piano inclinato , per $ m $ ho :
$ N'costheta-mgcostheta+mu_sN'sentheta=0 $
Come strategia ho quella di risolvere il seguente sistema nelle 3 incognite $ N' $ , $ A $ e $ mu_s $ ( dopo avere imposto l'uguaglianza $ A_c=a $ )
$ { ( (M+m)gsentheta-mu_sN'costheta=MA ),( mgsentheta-mA+mu_sN'costheta-N'sentheta=0 ),( N'costheta+mu_sN'sentheta-mgcostheta=0 ):} $
I calcoli però mi vengono abbastanza farraginosi ... E' giusto il procedimento ? Vorrei capire se c'è un modo più semplice e diretto di risolvere il problema perché mi sembra davvero improbabile che si risolva così , grazie
(a) Nell'ipotesi che ci sia attrito tra il cuneo e il blocco , calcolare per quali valori di $ mu_s $ i due corpi si muovono con la stessa accelerazione ;
(b) Trascurando l'attrito tra il blocco e il cuneo , calcolare le accelerazioni dei due corpi ." L'immagine del sistema è al problema 2.4 di questo file http://people.na.infn.it/~clarizia/eser ... _uni_B.pdf
Io ho difficoltà per il punto primo , o comunque ho bisogno di conferme .
Scrivo la seconda legge di Newton per $ M $ lungo il lato del piano inclinato :
$ (M+m)gsentheta-mu_sN'costheta=MA_c $ . Da notare come abbia orientato l'attrito , ovvero parallelamente al piano orizzontale , rivolto verso sinistra dato che sul corpo $ m $ essa agisce verso destra sempre in direzione parallela al p.or.
Scrivo la 2nda di Newton per $ m $ lungo il piano inclinato per un sistema di riferimento non inerziale solidale al cuneo mobile
$ mgsentheta+mu_sN'costheta-ma-N'sentheta=0 $ dato che la accelerazione relativa è nulla ( i corpi come da testo si muvono insieme ) e $ N' $ sarebbe la normale che agisce su $ m $ esercitata dalla superficie orizzontale del piano inclinato mobile . Inoltre , come si vede , ho inserito una forza di trascinamento orientata lungo la parallela al piano inclinato che agisce su $ m $ poiché esso si trova in un sistema di riferimento non inerziale .
Lungo l'ortogonale al piano inclinato , per $ m $ ho :
$ N'costheta-mgcostheta+mu_sN'sentheta=0 $
Come strategia ho quella di risolvere il seguente sistema nelle 3 incognite $ N' $ , $ A $ e $ mu_s $ ( dopo avere imposto l'uguaglianza $ A_c=a $ )
$ { ( (M+m)gsentheta-mu_sN'costheta=MA ),( mgsentheta-mA+mu_sN'costheta-N'sentheta=0 ),( N'costheta+mu_sN'sentheta-mgcostheta=0 ):} $
I calcoli però mi vengono abbastanza farraginosi ... E' giusto il procedimento ? Vorrei capire se c'è un modo più semplice e diretto di risolvere il problema perché mi sembra davvero improbabile che si risolva così , grazie
Risposte
In genere , quando ci sono questi moti relativi e riferimenti non inerziali , io seguo questa strada :
-scompongo l'insieme nei pezzi più elementari possibile
-applico a ciascun pezzo le forze agenti, incluso le forze interne ( di solito, attrito e forza normale) e le eventuali forze apparenti di trascinamento
-scrivo la 2º equazione della dinamica per ciascun pezzo, in forma vettoriale
- ipotizzo le accelerazioni, sia quella del riferimento di trascinamento , che quella "relativa" : nel tuo caso (vedi figura allegata) sono $vecA$ e $veca$ ; la seconda è l'accelerazione relativa del blocchetto $m$ rispetto ad $M$
- metto dei riferimenti cartesiani "ad hoc" , anche se sono diversi per i vari pezzi, in genere orientando l'asse delle ascisse come l''accelerazione .
- infine proietto le equazioni vettoriali prima dette sui riferimenti assunti .
- tengo conto di eventuali condizioni imposte, per casi particolari . Nel tuo caso, la condizione del caso a) significa semplicemente che il blocchetto rimane in quiete nel riferimento del cuneo $M$, scivolando con esso. Quindi $veca =0$ . Siccome inizialmente è il quiete (relativa) , tale rimane anche quando $M$ scivola in basso.
Ecco il risultato di quanto ti ho detto : si tratta, ripeto, del caso generale. (La condizione $ f = mu_sN$ si riferisce al caso a), in cui al limite la forza di attrito è quella max consentita per evitare strisciamento di $m$ su $M$ )
tieni presente che la reazione $N$ non è uguale semplicemente, in modulo, a $mg$ , perché è alleggerita dalla componente verticale della forza di trascinamento $F_t = mA sen\theta$ ( equazione 2 ) : il fatto che il cuneo scenda, alleggerisce la forza interna normale tra le due masse.
Alle 3 equazioni 1,2,3 , devi aggiungere, come detto, la condizione che la forza di attrito è uguale a $ f = mu_sN$ , nel caso a).
Nel caso b) , la forza di attrito è da porre nulla. Dalla eq. 1 vedi allora che l'accelerazione relativa vale, in modulo :
$a = (F_tcostheta)/m$ . In sostanza, rispetto al riferimento assoluto del piano inclinato, il cuneo scivola, ma $m$ si abbassa solo in verticale., sotto l'azione della forza $N = mg - F_tsentheta$ (modulo) .
Quindi sí, il sistema è un po' complicato, ma io non trovo un sistema più semplice, almeno in generale. I casi particolari portano a semplificazioni.
LA 4º equazione può servire per trovare la reazione $R$ del piano inclinato sul cuneo.
-scompongo l'insieme nei pezzi più elementari possibile
-applico a ciascun pezzo le forze agenti, incluso le forze interne ( di solito, attrito e forza normale) e le eventuali forze apparenti di trascinamento
-scrivo la 2º equazione della dinamica per ciascun pezzo, in forma vettoriale
- ipotizzo le accelerazioni, sia quella del riferimento di trascinamento , che quella "relativa" : nel tuo caso (vedi figura allegata) sono $vecA$ e $veca$ ; la seconda è l'accelerazione relativa del blocchetto $m$ rispetto ad $M$
- metto dei riferimenti cartesiani "ad hoc" , anche se sono diversi per i vari pezzi, in genere orientando l'asse delle ascisse come l''accelerazione .
- infine proietto le equazioni vettoriali prima dette sui riferimenti assunti .
- tengo conto di eventuali condizioni imposte, per casi particolari . Nel tuo caso, la condizione del caso a) significa semplicemente che il blocchetto rimane in quiete nel riferimento del cuneo $M$, scivolando con esso. Quindi $veca =0$ . Siccome inizialmente è il quiete (relativa) , tale rimane anche quando $M$ scivola in basso.
Ecco il risultato di quanto ti ho detto : si tratta, ripeto, del caso generale. (La condizione $ f = mu_sN$ si riferisce al caso a), in cui al limite la forza di attrito è quella max consentita per evitare strisciamento di $m$ su $M$ )
tieni presente che la reazione $N$ non è uguale semplicemente, in modulo, a $mg$ , perché è alleggerita dalla componente verticale della forza di trascinamento $F_t = mA sen\theta$ ( equazione 2 ) : il fatto che il cuneo scenda, alleggerisce la forza interna normale tra le due masse.
Alle 3 equazioni 1,2,3 , devi aggiungere, come detto, la condizione che la forza di attrito è uguale a $ f = mu_sN$ , nel caso a).
Nel caso b) , la forza di attrito è da porre nulla. Dalla eq. 1 vedi allora che l'accelerazione relativa vale, in modulo :
$a = (F_tcostheta)/m$ . In sostanza, rispetto al riferimento assoluto del piano inclinato, il cuneo scivola, ma $m$ si abbassa solo in verticale., sotto l'azione della forza $N = mg - F_tsentheta$ (modulo) .
Quindi sí, il sistema è un po' complicato, ma io non trovo un sistema più semplice, almeno in generale. I casi particolari portano a semplificazioni.
LA 4º equazione può servire per trovare la reazione $R$ del piano inclinato sul cuneo.
Riferendoci al caso (a) , l'accelerazione relativa di $ m $ data dalla equazione $ F_tcostheta-mu_sN=ma' $ non dovrebbe essere 0 dato che c'è attrito statico tra i due corpi ed $ m $ rispetto al sistema di riferimento solidale al cuneo mobile rimane fermo ? Faccio riferimento alla legge $ vec(F)-vec(F_t)-vec(F_(co r))=mvec(a') $ per questo . Eventualmente sarebbe convenuto scegliere un sistema di assi cartesiani orientati come quelli scelti per il cuneo mobile e calcolare la accelerazione assoluta di $ m $ , sapendo che essa è uguale in modulo e direzione a quella del cuneo? D'altronde quest'ultimo e $ m $ scivolano sul piano inclinato come blocco unico ... Ancora , per il cuneo io avevo scritto la equazione $ Mgsentheta+mgsentheta-fcostheta=MA $ facendo conto che sul cuneo agisce anche la forza peso di $ m $ , ovvero la sua normale . Ciò però è sbagliato perché come dicevi tu su $ M $ agisce la $ N $ che è minore di $ mg $ poiché essa risulta alleggerita dalla componente verticale della forza di trascinamento . Quindi
$ N=mg-mAsentheta $ da cui , per il cuneo ( proiettando lungo il piano inclinato ) otteniamo
$ Mgsentheta+Nsentheta-mu_sNcostheta=MA $ che poi è proprio l'equazione da te riportata Shackle
Corretto?
$ N=mg-mAsentheta $ da cui , per il cuneo ( proiettando lungo il piano inclinato ) otteniamo
$ Mgsentheta+Nsentheta-mu_sNcostheta=MA $ che poi è proprio l'equazione da te riportata Shackle
Corretto?
"Mynameis":
Riferendoci al caso (a) , l'accelerazione relativa di $ m $ data dalla equazione $ F_tcostheta-mu_sN=ma' $ non dovrebbe essere 0 dato che c'è attrito statico tra i due corpi ed $ m $ rispetto al sistema di riferimento solidale al cuneo mobile rimane fermo ?
Si, certo, ma guarda che in pratica te l'ho detto, anche se non in chiaro : ti ho riportato il caso più generale possibile, ma è evidente , nel tuo caso a) , che l'accelerazione relativa tra $m$ e $M$ è nulla .
Eventualmente sarebbe convenuto scegliere un sistema di assi cartesiani orientati come quelli scelti per il cuneo mobile e calcolare la accelerazione assoluta di $ m $ , sapendo che essa è uguale in modulo e direzione a quella del cuneo? D'altronde quest'ultimo e $ m $ scivolano sul piano inclinato come blocco unico ...
LA scelta degli assi è arbitraria, ripeto che io preferisco, in generale, seguire la strada che ti ho detto.
Chiariamo : nel caso a) , prendiamo pure gli assi $X,Y$ come vuoi tu ( =parallelo e perpendicolare al piano inclinato) , anche per il moto del blocchetto . Siccome blocchetto e cuneo sono solidali ( fino a un certo punto, perché li tiene insieme la forza di attrito , che non può superare $mu_sN$ ) , il corpo di massa $(M+m)$ scivola sul p.i. , senza attrito , con accelerazione :
$A = gsentheta$
però , i due corpi non sono incollati , quindi è giocoforza considerare le forze agenti su $m$ soltanto, se vogliamo venire a capo della storia . E allora, in maniera forse più semplice, puoi ragionare cosi .
Questa accelerazione $A = gsentheta$ , dà luogo ad una forza di trascinamento,agente su $m$, di modulo $F_t = mA = mgsentheta$ , che agisce parallelamente al piano inclinato (diretta verso sinistra in alto) . La componente verticale $F_(tv) = mgsentheta *sentheta = mg sen^2theta$ va ad alleggerire il peso $mg$ gravante su $M$ , sicché :
$N = mg - mg sen^2theta = mg cos^2theta$
la componente orizzontale $F_"to" = mg sentheta*costheta$ deve essere equilibrata dalla forza di attrito , se vogliamo che $m$ sia in quiete rispetto ad $M$ . Quindi deve essere :
$f = mgsentheta*costheta$
il coefficiente di attrito statico minimo, tra blocchetto e cuneo, deve soddisfare la relazione : $mu_sN = f $
Pensaci un po', io ora devo uscire .
Questo ultimo ragionamento mi sembra abbastanza convincente e forse anche più sbrigativo del precedente . Credo sia meglio utilizzare questo . Grazie mille
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