CSCO
Se due osservabili $A$ e $B$ commutano con $A$ 2-fold degenerate notando le formule con (!) concludiamo che:
$[A,B]=AB-BA=0$
$A(Bu)=B(Au)=a(Bu)$!
$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$\alpha Au_{a}^{1}=\alpha au_{a}^{1}$
$\beta Au_{a}^{2}= \beta au_{a}^{2}$
$\alpha Au_{a}^{1}+\beta Au_{a}^{2}=\alpha au_{a}^{1}+ \beta au_{a}^{2}$
$A(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=a(\alpha u_{a}^{1}+ \beta u_{a}^{2})$!
$Bu=\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2}$!
In particolare l'azione di $B$ sugli autovettori con autovalore $a$ si scrive:
$Bu_{a}^{1}=b_{11} u_{a}^{1}+b_{12} u_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{2}=b_{21} u_{a}^{1}+b_{22} u_{a}^{2}$
$\mbox{B}\vec{u}=\mbox{M}\vec{u}$
Voglio estendere l'azione di $B$ non solo agli autovettori di $A$ ma anche alle loro combinazioni lineari:
$\alpha Bu_{a}^{1}=\alpha b_{11} u_{a}^{1}+\alpha b_{12} u_{a}^{2}$
$\beta Bu_{a}^{2}=\beta b_{21} u_{a}^{1}+ \betab_{22} u_{a}^{2}$
$\alpha Bu_{a}^{1}+\beta Bu_{a}^{2}=\alpha b_{11} u_{a}^{1}+\alpha b_{12} u_{a}^{2}+\beta b_{21} u_{a}^{1}+ \betab_{22} u_{a}^{2}$
$B(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})= u_{a}^{1} (\alpha b_{11} + \beta b_{21})+u_{a}^{2} (\alpha b_{12} + \beta b_{22})$
$B(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=k(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=k \alpha u_{a}^{1}+k \beta u_{a}^{2}$
$u_{a}^{1} (\alpha b_{11} + \beta b_{21}-k\alpha)+u_{a}^{2} (\alpha b_{12} + \beta b_{22}-k\beta)=0$
$\frac{\alpha b_{11} + \beta b_{21}}{\alpha}=k_{1}$
$\frac{\alpha b_{12} + \beta b_{22}}{\beta}=k_{2}$
Dice il libro: Any linear combination of $u_{a}^{1}$ and $u_{a}^{2}$, wich we will call $v_{a}^{1}$ and $v_{a}^{2}$ è autovettore di $A$ (l'ho mostrato prima). We choose a linear combination such that:
$Bv_{a}^{1}=b_{1}v_{a}^{1}$
$Bv_{a}^{2}=b_{2}v_{a}^{2}$
Find the linear combinations of $u_{a}^{1}$ and $u_{a}^{2}$ that lead to that form and find the eigenvalues $b_{1}$ and $b_{2}$. E' corretta la mia risposta con i due $k$? Fissati i valori di $\mbox{M}$ trovo due $k$ corrispondenti a due combinazioni lineari.
C'è una parte di teoria, quella del titolo, che non capisco. Faccio riferimento a quanto ho scritto precedentemente: Taking in account that $v_{a}^{1}$ and $v_{a}^{2}$ are common eigenfunctions of $A$ and $B$, we write this out in the form
$Av_{ab}=av_{ab}$
$Bv_{ab}=bv_{ab}$
where $b$ can take on two different values. Note that the eigenfunctions for these two values of $b$ are orthogonal to each other, since they correspond to different eigenvalues $b$. Se ho capito cosa intende la precedente diventa:
$Av_{ab}=av_{ab}$
$Bv_{ab}^{1}=b_{1}v_{ab}^{1}$
$Bv_{ab}^{2}=b_{2}v_{ab}^{2}$
$A(Bu)=B(Au)=a(Bu)$
$A(Bv_{ab}^{1})=a(bv_{ab}^{1})$
$b_{1}A(v_{ab}^{1})=b_{1}a(v_{ab}^{1})$
$Av_{ab}^{1}=av_{ab}^{1}$
$Av_{ab}^{2}=av_{ab}^{2}$
Ma non capisco dove voglia arrivare. In practice, for two-fold degeneracy such as we found in the example cited above, just choosing the two degenerate eigenfunctions of $A$ that are orthogonal to each other will automatically be eigenfunctions of $B$. Scegliendo due autovettori di $A$ fra loro ortogonali, questi saranno automaticamente autovettori di $B$?
$[A,B]=AB-BA=0$
$A(Bu)=B(Au)=a(Bu)$!
$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$\alpha Au_{a}^{1}=\alpha au_{a}^{1}$
$\beta Au_{a}^{2}= \beta au_{a}^{2}$
$\alpha Au_{a}^{1}+\beta Au_{a}^{2}=\alpha au_{a}^{1}+ \beta au_{a}^{2}$
$A(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=a(\alpha u_{a}^{1}+ \beta u_{a}^{2})$!
$Bu=\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2}$!
In particolare l'azione di $B$ sugli autovettori con autovalore $a$ si scrive:
$Bu_{a}^{1}=b_{11} u_{a}^{1}+b_{12} u_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{2}=b_{21} u_{a}^{1}+b_{22} u_{a}^{2}$
$\mbox{B}\vec{u}=\mbox{M}\vec{u}$
Voglio estendere l'azione di $B$ non solo agli autovettori di $A$ ma anche alle loro combinazioni lineari:
$\alpha Bu_{a}^{1}=\alpha b_{11} u_{a}^{1}+\alpha b_{12} u_{a}^{2}$
$\beta Bu_{a}^{2}=\beta b_{21} u_{a}^{1}+ \betab_{22} u_{a}^{2}$
$\alpha Bu_{a}^{1}+\beta Bu_{a}^{2}=\alpha b_{11} u_{a}^{1}+\alpha b_{12} u_{a}^{2}+\beta b_{21} u_{a}^{1}+ \betab_{22} u_{a}^{2}$
$B(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})= u_{a}^{1} (\alpha b_{11} + \beta b_{21})+u_{a}^{2} (\alpha b_{12} + \beta b_{22})$
$B(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=k(\alpha u_{a}^{1}+\beta u_{a}^{2})=k \alpha u_{a}^{1}+k \beta u_{a}^{2}$
$u_{a}^{1} (\alpha b_{11} + \beta b_{21}-k\alpha)+u_{a}^{2} (\alpha b_{12} + \beta b_{22}-k\beta)=0$
$\frac{\alpha b_{11} + \beta b_{21}}{\alpha}=k_{1}$
$\frac{\alpha b_{12} + \beta b_{22}}{\beta}=k_{2}$
Dice il libro: Any linear combination of $u_{a}^{1}$ and $u_{a}^{2}$, wich we will call $v_{a}^{1}$ and $v_{a}^{2}$ è autovettore di $A$ (l'ho mostrato prima). We choose a linear combination such that:
$Bv_{a}^{1}=b_{1}v_{a}^{1}$
$Bv_{a}^{2}=b_{2}v_{a}^{2}$
Find the linear combinations of $u_{a}^{1}$ and $u_{a}^{2}$ that lead to that form and find the eigenvalues $b_{1}$ and $b_{2}$. E' corretta la mia risposta con i due $k$? Fissati i valori di $\mbox{M}$ trovo due $k$ corrispondenti a due combinazioni lineari.
C'è una parte di teoria, quella del titolo, che non capisco. Faccio riferimento a quanto ho scritto precedentemente: Taking in account that $v_{a}^{1}$ and $v_{a}^{2}$ are common eigenfunctions of $A$ and $B$, we write this out in the form
$Av_{ab}=av_{ab}$
$Bv_{ab}=bv_{ab}$
where $b$ can take on two different values. Note that the eigenfunctions for these two values of $b$ are orthogonal to each other, since they correspond to different eigenvalues $b$. Se ho capito cosa intende la precedente diventa:
$Av_{ab}=av_{ab}$
$Bv_{ab}^{1}=b_{1}v_{ab}^{1}$
$Bv_{ab}^{2}=b_{2}v_{ab}^{2}$
$A(Bu)=B(Au)=a(Bu)$
$A(Bv_{ab}^{1})=a(bv_{ab}^{1})$
$b_{1}A(v_{ab}^{1})=b_{1}a(v_{ab}^{1})$
$Av_{ab}^{1}=av_{ab}^{1}$
$Av_{ab}^{2}=av_{ab}^{2}$
Ma non capisco dove voglia arrivare. In practice, for two-fold degeneracy such as we found in the example cited above, just choosing the two degenerate eigenfunctions of $A$ that are orthogonal to each other will automatically be eigenfunctions of $B$. Scegliendo due autovettori di $A$ fra loro ortogonali, questi saranno automaticamente autovettori di $B$?
Risposte
In modo più intuitivo, ammesso che l'autospazio di $[A]$ associato ad un suo autovalore abbia dimensione due e che $$ ristretto al medesimo autospazio abbia due autovalori diversi, è evidente che diagonalizzando la restrizione di $$ si ottengano due autovettori comuni aventi lo stesso autovalore di $[A]$ e i due diversi autovalori di $$. Inoltre, questi due autovettori sono ortogonali in quanto associati ai due autovalori diversi di $$.
Perché just choosing the two degenerate eigenfunctions of A that are orthogonal to each other will automatically be eigenfunctions of B? Come lo mostro tramite i calcoli precedenti? Come dici tu:
-aut($a$) ha dimensione due
-$forall $ $x \in $ aut($a$) B ha due autovalori
-questi sono ortogonali perché di autovalori diversi
Come si concretizza il discorso? Nella parte precedente a questa si mostrava che se due osservabili non degeneri commutano allora queste hanno gli stessi autovettori e viceversa, se hanno gli stessi autovettori allora commutano. Qui ho A 2-fold degenerate e B che commuta con A, solo che non capisco la conclusione.
-aut($a$) ha dimensione due
-$forall $ $x \in $ aut($a$) B ha due autovalori
-questi sono ortogonali perché di autovalori diversi
Come si concretizza il discorso? Nella parte precedente a questa si mostrava che se due osservabili non degeneri commutano allora queste hanno gli stessi autovettori e viceversa, se hanno gli stessi autovettori allora commutano. Qui ho A 2-fold degenerate e B che commuta con A, solo che non capisco la conclusione.
Non mi convince molto. Per esempio, se $[A=((a,0),(0,a))]$ e $[B=((b_(11),b_(12)),(b_(21),b_(22)))]$, dopo la diagonalizzazione di $$ si avrà $[A=((a,0),(0,a))]$ e $[B=((b_1,0),(0,b_2))]$, scegliendo la base costituita dagli autovettori comuni. Tuttavia, mentre gli autovettori ortogonali di $$ sono univocamente determinati, a meno di un fattore di proporzionalità, quelli di $[A]$ possono essere scelti arbitrariamente. Voglio dire, non basta prendere una qualsiasi coppia di autovettori ortogonali di $[A]$ per determinare gli autovettori di $$, per il semplice fatto che questa scelta non è univocamente determinata. Viceversa, diagonalizzando $$, si determina l'unica coppia di autovettori ortogonali che diagonalizza simultaneamente $[A]$ e $$. Tutto tornerebbe se esistesse una sola coppia di autovettori ortogonali anche per $[A]$, ma non riesco ad immaginarmi un caso del genere e, comunque, il semplice esempio che ti ho proposto non lo contempla.
Ciao,
di quale libro stiamo parlando? Puoi citare anche la pagina? Secondo me per colpa del formalismo non troppo snello ne esce che una cosa semplice come diagonalizzare una matrice $2\times2$ risulta complicata.
Quello che il tuo libro sta facendo è semplicemente usare una particolare base dell'autospazio di $A$, cioè quella formata da ${u_a^1,u_a^2}$, per scrivere esplicitamente la matrice rappresentativa di $B$ in quella base, cioè quella che tu chiami $M$. Siccome $B$ è un'osservabile allora $M$ è una matrice autoaggiunta, quindi i suoi elementi di matrice hanno una forma speciale. Diagonalizzala e troverai gli autovalori ${b_1,b_2}$ e gli autovettori ${v_a^1,v_a^2}$ (tutto in funzione degli elementi di $M$). A questo punto hai ottenuto due autovettori di $B$ relativi a due autovalori distinti e quindi, se vuoi, puoi confermare esplicitamente il fatto che sono ortogonali. Chiaramente questi sono anche autovettori di $A$ relativi all'autovalore $a$ in quanto combinazione lineare degli $u_a$.
La cosa importante che viene riassunta nella notazione $v_{ab}$ è che per individuare un vettore che sia autovettore di entrambi gli operatori e al tempo stesso anche elemento di una base ortogonale devi fornire due numeri, cioè i due autovalori $a$ e $b$. Questo si traduce fisicamente nel fatto che se cerchi una base di autovettori per un certo operatore (pensa ad $A$) non è detto (a causa della degenerazione) che tu possa usare solo gli autovalori dell'operatore come etichetta per la base (infatti introduciamo le $u_a^{1,2}$ come base dell'autospazio). L'esempio in questione ti mostra come nel caso di doppia degenerazione ti serve almeno un altro operatore (pensa a $B$), commutante, i cui ulteriori autovalori ti permettono di etichettare univocamente gli elementi della base (pensa a $v_{ab}$).
Ti torna?
Questa affermazione è falsa e speculor (che saluto!) ti ha fornito il controesempio.
di quale libro stiamo parlando? Puoi citare anche la pagina? Secondo me per colpa del formalismo non troppo snello ne esce che una cosa semplice come diagonalizzare una matrice $2\times2$ risulta complicata.
Quello che il tuo libro sta facendo è semplicemente usare una particolare base dell'autospazio di $A$, cioè quella formata da ${u_a^1,u_a^2}$, per scrivere esplicitamente la matrice rappresentativa di $B$ in quella base, cioè quella che tu chiami $M$. Siccome $B$ è un'osservabile allora $M$ è una matrice autoaggiunta, quindi i suoi elementi di matrice hanno una forma speciale. Diagonalizzala e troverai gli autovalori ${b_1,b_2}$ e gli autovettori ${v_a^1,v_a^2}$ (tutto in funzione degli elementi di $M$). A questo punto hai ottenuto due autovettori di $B$ relativi a due autovalori distinti e quindi, se vuoi, puoi confermare esplicitamente il fatto che sono ortogonali. Chiaramente questi sono anche autovettori di $A$ relativi all'autovalore $a$ in quanto combinazione lineare degli $u_a$.
La cosa importante che viene riassunta nella notazione $v_{ab}$ è che per individuare un vettore che sia autovettore di entrambi gli operatori e al tempo stesso anche elemento di una base ortogonale devi fornire due numeri, cioè i due autovalori $a$ e $b$. Questo si traduce fisicamente nel fatto che se cerchi una base di autovettori per un certo operatore (pensa ad $A$) non è detto (a causa della degenerazione) che tu possa usare solo gli autovalori dell'operatore come etichetta per la base (infatti introduciamo le $u_a^{1,2}$ come base dell'autospazio). L'esempio in questione ti mostra come nel caso di doppia degenerazione ti serve almeno un altro operatore (pensa a $B$), commutante, i cui ulteriori autovalori ti permettono di etichettare univocamente gli elementi della base (pensa a $v_{ab}$).
Ti torna?
"5mrkv":
In practice, for two-fold degeneracy such as we found in the example cited above, just choosing the two degenerate eigenfunctions of $A$ that are orthogonal to each other will automatically be eigenfunctions of $B$. Scegliendo due autovettori di $A$ fra loro ortogonali, questi saranno automaticamente autovettori di $B$?
Questa affermazione è falsa e speculor (che saluto!) ti ha fornito il controesempio.
Ciao alle.fabbri. Concordo su tutto. Anche sull'eufemismo "formalismo non troppo snello".
Quantum Physics , Stephen Gasiorowicz, pagina 102 3°edizione. Magari ho riportato male le parole del libro. Boh.
$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{1}=b_{1}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{1}=b_{2}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{2}=b_{3}u_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{2}=b_{4}u_{a}^{2}$
$(a,b_{1})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{1}}^{1}$
$(a,b_{2})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{2}}^{1}$
$(a,b_{3})\rightarrow u_{a}^{2}=u_{a,b_{3}}^{1}$
$(a,b_{4})\rightarrow u_{a}^{2}=u_{a,b_{4}}^{1}$
E c'è anche sovrabbondanza di indici.
L'esempio in questione ti mostra come nel caso di doppia degenerazione ti serve almeno un altro operatore (pensa a $B$), commutante, i cui ulteriori autovalori ti permettono di etichettare univocamente gli elementi della base (pensa a $v_{ab}$).Deve essere questa la conclusione! In che senso etichettare univocamente gli elementi della base? In $A$ ad $a$ corrispondono due autovettori. In $B$ che commuta con $A$ ad ognuno di questi autovettori corrispondono due autovalori. Segue che
$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{1}=b_{1}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{1}=b_{2}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{2}=b_{3}u_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{2}=b_{4}u_{a}^{2}$
$(a,b_{1})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{1}}^{1}$
$(a,b_{2})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{2}}^{1}$
$(a,b_{3})\rightarrow u_{a}^{2}=u_{a,b_{3}}^{1}$
$(a,b_{4})\rightarrow u_{a}^{2}=u_{a,b_{4}}^{1}$
E c'è anche sovrabbondanza di indici.
Ehm...no.
Ricorda che le $u$ sono dei vettori che introduci solo per dare una base all'autospazio (relativo all'autovalore $a$ di $A$). In questo senso ti servono solo per poter scrivere l'azione di $B$ in questo sottospazio sottoforma di una matrice $2\times2$ e per questo li devi considerare come degli oggetti che ti servono solo per ricavare i veri autostati, cioè le $v$.
Con il formalismo a due pedici non hai più bisogno dell'apice con il numero. Dopo aver diagonalizzato $B$ nel sottospazio in questione trovi i due autovettori che avevi chiamato $v_a^1$ e $v_a^2$ tali che
$B v_a^1 = b_1 v_a^1$
$B v_a^2 = b_2 v_a^2$
Ora possiamo cambiare formalismo e introdurre dei vettori a due indici $v_{ab}$ come segue
$v_{ab_1} = v_a^1$
$v_{ab_2} = v_a^2$
che soddisfano per definizione
\( Av_{ab} = a v_{ab} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} Av_{ab_1} = a v_{ab_1} \\ Av_{ab_2} = a v_{ab_2} \end{cases}\)
e
\(Bv_{ab} = b v_{ab} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} Bv_{ab_1} = b_1 v_{ab_1} \\ Bv_{ab_2} = b_2 v_{ab_2} \end{cases}\)
Ricorda che le $u$ sono dei vettori che introduci solo per dare una base all'autospazio (relativo all'autovalore $a$ di $A$). In questo senso ti servono solo per poter scrivere l'azione di $B$ in questo sottospazio sottoforma di una matrice $2\times2$ e per questo li devi considerare come degli oggetti che ti servono solo per ricavare i veri autostati, cioè le $v$.
Con il formalismo a due pedici non hai più bisogno dell'apice con il numero. Dopo aver diagonalizzato $B$ nel sottospazio in questione trovi i due autovettori che avevi chiamato $v_a^1$ e $v_a^2$ tali che
$B v_a^1 = b_1 v_a^1$
$B v_a^2 = b_2 v_a^2$
Ora possiamo cambiare formalismo e introdurre dei vettori a due indici $v_{ab}$ come segue
$v_{ab_1} = v_a^1$
$v_{ab_2} = v_a^2$
che soddisfano per definizione
\( Av_{ab} = a v_{ab} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} Av_{ab_1} = a v_{ab_1} \\ Av_{ab_2} = a v_{ab_2} \end{cases}\)
e
\(Bv_{ab} = b v_{ab} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} Bv_{ab_1} = b_1 v_{ab_1} \\ Bv_{ab_2} = b_2 v_{ab_2} \end{cases}\)
Ritorniamo alle ultime formule del primo post, quindi c'è qualcosa che non torna. Anzi adesso torna. $B$ ammette due autovalori per i due elementi della base di aut($a$), non due autovalori per ogni elemento 
Correggendo le precedenti (diciamo casi particolari)
$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{1}=b_{1}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{2}=b_{2}u_{a}^{2}$
$(a,b_{1})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{1}}^{1}$
$(a,b_{2})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{2}}^{1}$
La corrispondenza diventa univoca.
Correggendo le precedenti (diciamo casi particolari)$Au_{a}^{1}=au_{a}^{1}$
$Au_{a}^{2}=au_{a}^{2}$
$Bu_{a}^{1}=b_{1}u_{a}^{1}$
$Bu_{a}^{2}=b_{2}u_{a}^{2}$
$(a,b_{1})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{1}}^{1}$
$(a,b_{2})\rightarrow u_{a}^{1}=u_{a,b_{2}}^{1}$
La corrispondenza diventa univoca.
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