Covarianza equazioni di maxwell

[baldo891]

ciao a tutti
mi potreste dimostrare che le equazioni di maxwell non sono covarianti per trasformazioni di galileo?

[Zkeggia]

Beh non è difficile dimostrarlo, semplicemente prendi una corrente costante nel tempo (o se preferisci anche un solo elettrone che si muovi con legge oraria $v(t)$ nota, c'è solo da fare qualche modifica). La corrente genera un campo magnetico (cariche in moto, quindi $rot(vecB) = mu_0 *vecJ$ ).
Ora applica una trasformazione di galileo portandoti in un riferimento in moto con velocità costante rispetto al primo. Per le proprietà delle trasformazioni di Galileo si dovrebbero riottenere esattamente le stesse equazioni (due sistemi inerziali...). Ma se sei nel riferimento in moto con velocità pari a quella dei portatori di carica il campo magnetico... è sparito!
Puoi anche vederlo così:
Hai un elettrone con velocità v in un campo magnetico B. La legge di Lorentz ti permette di dire che la forza esercitata sull'elettrone è pari a $vecF= q*vecv x vecB$, quindi l'elettrone comincia a girare intorno a un punto facendo delle orbite.
Prendi un sistema di riferimento in moto con velocità $v'$ costante rispetto al primo sistema. Allora in quel sistema la forza è $vecF' = q*(vecv-vec v')x B!=vec F$ e questo conclude, in quanto per Galileo si dovrebbe avere $vec F = vec F'$. Non solo ma se scegli $v'=v$ in modulo e in direzione, ottieni che il campo magnetico non esercita forze, quindi l'elettrone non gira più!
Da qui alle equazioni di Maxwell il passo è breve.

[VINX89]

Ciao!
Prendi l'equazione di Maxwell scritta per il potenziale scalare $phi$:

$nabla^2 phi - 1/c^2 (del^2 phi)/(del t^2) = - (rho)/(epsilon_0)$

Per semplicità, considera tutto il sistema in una dimensione (asse x);
si ha quindi la trasformazione di Galileo:

$t' = t$

$x' = x - Vt$

Il potenziale, in quanto scalare, varia in forma ma non muta numericamente:

$phi' (x',t') = phi (x,t)$

A questo punto basta trasformare le derivate che compaiono nell'equazione di Maxwell:

$(del phi)/(del t) = (del phi')/(del t')(del t')/(del t) + (del phi')/(del x')(del x')/(del t) = (del phi')/(del t') -V(del phi')/(del x')$

$(del^2 phi)/(del t^2) = (del)/(del t')(del phi')/(del t) - V(del)/(del x')(del phi')/(del t)$ (Ho invertito l'ordine delle derivate parziali miste)

$= (del)/(del t')((del phi')/(del t')(del t')/(del t) + (del phi')/(del x')(del x')/(del t)) - V(del)/(del x')((del phi')/(del t')(del t')/(del t) + (del phi')/(del x')(del x')/(del t))$

$=(del^2 phi')/(del t'^2) -2V(del^2 phi')/(del t' del x') + V^2(del^2 phi')/(del x'^2)$

$(del phi)/(del x) = (del phi')/(del x')(del x')/(del x) = (del phi')/(del x')$

$(del^2 phi')/(del x^2) = (del)/(del x')(del phi')/(del x) = (del^2 phi')/(del x'^2)$ (Le derivate rispetto a y e z sono nulle).

A questo punto, sostituendo tutto nell'equazione di Maxwell, si vede che questa non ha la forma:

$nabla^2 phi' - 1/c^2 (del^2 phi')/(del t'^2) = -(rho')/(epsilon_0)$

quindi l'osservatore inerziale in moto descrive il fenomeno elettromagnetico in maniera differente.

A rigore bisognerebbe dimostrare anche la non covarianza dell'equazione:

$nabla^2 vec(A) - 1/c^2 (del^2 vec(A))/(del t^2) = -mu_0 vec(j)$

ma è superfluo, in quanto se già la prima relazione non è covariante, allora abbiamo un controesempio sufficiente.

[baldo891]

grazie ad entrambi.
caro Vinx ....dovrei iniziare a prendere ogni tanto appunti.