Covariante e controvariante in relatività ristretta
Salve ragazzi =) ho iniziato a studiare relatività ristretta e mi sono trovato davanti ai concetti di covariante e controvariante che non riesco proprio a digerire. Perchè devo definire vettori covarianti e controvarianti se considero le trasformazioni di Lorentz?
Risposte
"Nick_93":
Salve ragazzi =) ho iniziato a studiare relatività ristretta e mi sono trovato davanti ai concetti di covariante e controvariante che non riesco proprio a digerire. Perchè devo definire vettori covarianti e controvarianti se considero le trasformazioni di Lorentz?
Dipende un po' da quanta matematica sai. Ora faccio un po' di tentativi.
Proviamo a metterla cosi' (se e' troppo semplice/semplificato per le tue conoscenze, my apologies): diciamo che conosci un solo tipo di componenti di una certa quantita' vettoriale (disturbo la digestione se dico "tensoriale"?
), diciamo che queste sono componenti covarianti. Insomma, sai con che tipo di legge si trasformano, e sei felice.Poi ti sorge un problema: ma se io per caso avessi un funzionale lineare che agisce su queste componenti? Come trasformo le componenti di questo funzionale, che agisce su componenti che so in che modo trasformano? La risposta e' "nell'altro modo"
Per esempio: se ho l'espressione del modulo quadro di un quadrivettore, posso riscriverla in modo che formalmente sia l'applicazione di un funzionale ad un vettore? E in quella forma, come scrivo la trasformazione del funzionale sapendo quella del vettore?
Ma cosi' e' ancora piuttosto astratta. Per renderla piu' concreta bisogna pero' armarsi di un po' di "matematica pratica".
Immagina di avere le coordinate $x_\alpha$ delle posizioni nel tuo spazio di Minkowski. Diciamo che sono coordinate che si trasformano in maniera covariante. Prova a fare questo calcolo, usando le leggi della derivazione (derivazione a catena, linearita'): come trasformano le derivate $\frac{\partial}{\partial x_\alpha}$ rispetto a queste coordinate sotto una trasformazione di Lorentz?
Attendo reazioni.
Tranquillo, più sono risposte semplici/semplificate, più sono apprezzate in questo caso 
Il funzionale lineare a cui fai riferimento in questo caso dovrebbe essere il prodotto scalare?
In pratica se non ho capito male, avendo le coordinate $x_alpha$ e le coordinate trasformate $x'_alpha$ le trasformazioni di Lorentz mi portano a scrivere
$$x'_{\alpha}=\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}x_{\nu}$$
dove
$$\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}$$
dovrebbe rappresentare la matrice di Lorentz.
Il funzionale lineare a cui fai riferimento in questo caso dovrebbe essere il prodotto scalare?
In pratica se non ho capito male, avendo le coordinate $x_alpha$ e le coordinate trasformate $x'_alpha$ le trasformazioni di Lorentz mi portano a scrivere
$$x'_{\alpha}=\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}x_{\nu}$$
dove
$$\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}$$
dovrebbe rappresentare la matrice di Lorentz.
"Nick_93":
Il funzionale lineare a cui fai riferimento in questo caso dovrebbe essere il prodotto scalare?
Si'. La domanda e' come trasforma questo funzionale.
In pratica se non ho capito male, avendo le coordinate $x_alpha$ e le coordinate trasformate $x'_alpha$ le trasformazioni di Lorentz mi portano a scrivere
$$x'_{\alpha}=\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}x_{\nu}$$
dove
$$\frac{\partial x'_{\alpha}}{\partial x_{\nu}}$$
dovrebbe rappresentare la matrice di Lorentz.
Fin qui ok. Riesci a concludere? Si tratta di scrivere in termini della trasformazione delle $x_\mu$ la trasformazione degli operatori derivata $\frac{\partial}{\partial x_\mu}$, vale a dire la legge che li collega ai trasformati $\frac{\partial}{\partial x'_\mu}$.
Non so se è corretto
$$\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x'_{\nu}}\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}$$
$$\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x'_{\nu}}\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}$$
"Nick_93":
Non so se è corretto
[tex]\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x'_{\nu}}\frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_{\mu}}[/tex]
Corretto e' corretto, pero' credo di non essermi spiegato, provo con le formule: abbiamo le coordinate che si trasformano in questo modo
[tex]x_\mu \rightarrow x'_\mu (x) = \Lambda_\mu\,^\nu x_\nu[/tex]
La domanda e': come si trasforma l'operatore derivata?
[tex]\frac{\partial}{\partial x_\mu} \rightarrow \frac{\partial}{\partial x'_\mu} = ?[/tex]
Si usa la "derivazione a catena", tenendo conto del fatto che $x'$ e' funzione di $x$. Probabilmente ti mette un po' fuoristrada il trattare con derivate applicate "al nulla": in tal caso tu pensa che ci sia una funzione scalare alla quale le derivate vengono applicate. La formula che hai scritto tu e' corretta, ed in effetti in un certo senso la applichi al caso, pero' nota che
[tex]\frac{\partial x_\mu}{\partial x_\nu} = \delta_\mu\,^\nu[/tex]
cioe' e' la definizione di matrice inversa.
Il bello di questo tipo di conti e' che puoi applicarli alla relativita' ristretta, ma si estendono in maniera immediata o quasi al caso generale, laddove prendi in considerazione gli spazi tangenti (ma questo discorso ci porta molto lontano).
Faccio solo una piccola osservazione: nelle derivate parziali, le "lettere" andrebbero messe sempre in alto, non in basso, per uniformarsi subito al caso generale :
$(partialx^\alpha)/(partialx^\mu) = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*(partialx'^nu)/(partialx^\mu)$
L'indice della variabile che sta sopra si considera indice di controvarianza, quello della variabile che sta sotto si considera indic di covarianza. Altrimenti non si può applicare la convenzione di E. sugli indici ripetuti.
Invece i tensori controvarianti si scrivono con lettere in alto, e la legge di trasformazione per essi è :
$V^\alpha = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*V'^\nu$
mentre per i tensori covarianti la lettera si scrive come pedice, e la legge di trasformazione è :
$U_\nu = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*U'_\alpha$
Ovviamente in coordinate cartesiane ortogonali non c'è differenza tra componenti covarianti e controvarianti di un vettore, ma questo in un certo spaziotempo (cioè in una certa metrica….).
Dico bene yoshiharu?
In pratica, stai chiedendo a Nick "come si trasformano le $(partial)/(partialx^\nu)$ passando da un sistema di coordinate senza apice al sistema di coordinate con apice"...…..
Forza Nick, ci sei quasi! Queste derivate parziali così scritte assumono un significato preciso...
$(partialx^\alpha)/(partialx^\mu) = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*(partialx'^nu)/(partialx^\mu)$
L'indice della variabile che sta sopra si considera indice di controvarianza, quello della variabile che sta sotto si considera indic di covarianza. Altrimenti non si può applicare la convenzione di E. sugli indici ripetuti.
Invece i tensori controvarianti si scrivono con lettere in alto, e la legge di trasformazione per essi è :
$V^\alpha = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*V'^\nu$
mentre per i tensori covarianti la lettera si scrive come pedice, e la legge di trasformazione è :
$U_\nu = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*U'_\alpha$
Ovviamente in coordinate cartesiane ortogonali non c'è differenza tra componenti covarianti e controvarianti di un vettore, ma questo in un certo spaziotempo (cioè in una certa metrica….).
Dico bene yoshiharu?
In pratica, stai chiedendo a Nick "come si trasformano le $(partial)/(partialx^\nu)$ passando da un sistema di coordinate senza apice al sistema di coordinate con apice"...…..
Forza Nick, ci sei quasi! Queste derivate parziali così scritte assumono un significato preciso...
"navigatore":
Invece i tensori controvarianti si scrivono con lettere in alto, e la legge di trasformazione per essi è :
$V^\alpha = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*V'^\nu$
mentre per i tensori covarianti la lettera si scrive come pedice, e la legge di trasformazione è :
$U_\nu = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*U'_\alpha$
In uno dei due casi un apice mi sembra nel posto sbagliato (direi il caso covariante, se non leggo male), perche' il rapporto tra le matrici di trasformazione dei due tipi di componenti e' che una e' il trasposto dell'inverso dell'altra (la trasposizione e' per via degli indici).
Ovviamente in coordinate cartesiane ortogonali non c'è differenza tra componenti covarianti e controvarianti di un vettore, ma questo in un certo spaziotempo (cioè in una certa metrica….).
Dico bene yoshiharu?
Riprendendo il discorso di sopra, per precisare meglio: non c'e' differenza quando si parla di trasformazioni per cui l'inverso corrisponde al trasposto (insomma, trasformazioni ortogonali). Nel caso che ci interessa non stiamo parlando di trasformazioni qualsiasi, ma di trasformazioni che rispettino la metrica (in modo che il modulo quadro di un quadrivettore sia un invariante), per cui se prendi uno spazio euclideo parliamo delle rotazioni, e tutto torna. Se parli dello spazio di Minkowski hai una piccola complicazione, e infatti tra componenti covarianti e controvarianti ci sono dei segni di differenza.
"yoshiharu":
[quote="navigatore"]
Invece i tensori controvarianti si scrivono con lettere in alto, e la legge di trasformazione per essi è :
$V^\alpha = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*V'^\nu$
mentre per i tensori covarianti la lettera si scrive come pedice, e la legge di trasformazione è :
$U_\nu = (partialx^\alpha)/(partialx'^\nu)*U'_\alpha$
In uno dei due casi un apice mi sembra nel posto sbagliato (direi il caso covariante, se non leggo male), perche' il rapporto tra le matrici di trasformazione dei due tipi di componenti e' che una e' il trasposto dell'inverso dell'altra (la trasposizione e' per via degli indici).[/quote]
Hai perfettamente ragione, a fare "copia e incolla" non ho spostato l'apice in alto ! LA legge corretta per la trasf. di un tensore covariante è :
$U_\nu = (partialx'^\alpha)/(partialx^\nu)*U'_\alpha$
altrimenti come si faceva a fare la somma….!
Riprendendo il discorso di sopra, per precisare meglio: non c'e' differenza quando si parla di trasformazioni per cui l'inverso corrisponde al trasposto (insomma, trasformazioni ortogonali). Nel caso che ci interessa non stiamo parlando di trasformazioni qualsiasi, ma di trasformazioni che rispettino la metrica (in modo che il modulo quadro di un quadrivettore sia un invariante), per cui se prendi uno spazio euclideo parliamo delle rotazioni, e tutto torna. Se parli dello spazio di Minkowski hai una piccola complicazione, e infatti tra componenti covarianti e controvarianti ci sono dei segni di differenza.
Si certo, c'è il cambio dei segni nello ST di Minkowski, ma per questo interviene automaticamente la metrica $\eta_(\mu\nu) $ con cui posso abbassare o innalzare l' indice del tensore, passando da contro- a co- variante, o viceversa, e questo cambio di segno può interessare una sola componente o tre componenti, secondo la convenzione adottata per la segnatura.
Invece nello spazio euclideo parliamo di rotazioni "ordinarie" , non iperboliche, quindi trasformazioni ortogonali senza cambi di segni.
Grazie yoshiharu!
"navigatore":
Si certo, c'è il cambio di segno, ma per questo interviene automaticamente la metrica $\eta_(\mu\nu) $ con cui posso abbassare o innalzare gli indici del tensore (stiamo parlando ovviamente di tensori del primo ordine soltanto) .
Ma la contrazione con la metrica ti fa ottenere un nuovo tensore con indici con la covarianza "modificata" a piacere nel caso generale, non solo nello spazio euclideo. Pero' volevo sottolineare che le trasformazioni che ci interessano hanno un vincolo da rispettare, dato dalla metrica. So che sembra ovvio, ma delle volte passa quasi inosservato...
"yoshiharu":
[quote="navigatore"]
Si certo, c'è il cambio di segno, ma per questo interviene automaticamente la metrica $\eta_(\mu\nu) $ con cui posso abbassare o innalzare gli indici del tensore (stiamo parlando ovviamente di tensori del primo ordine soltanto) .
Ma la contrazione con la metrica ti fa ottenere un nuovo tensore con indici con la covarianza "modificata" a piacere nel caso generale, non solo nello spazio euclideo. Pero' volevo sottolineare che le trasformazioni che ci interessano hanno un vincolo da rispettare, dato dalla metrica. So che sembra ovvio, ma delle volte passa quasi inosservato...[/quote]
Ora però questo varrebbe la pena di spiegarlo un po' di più, penso…
"navigatore":
[quote="yoshiharu"]
Pero' volevo sottolineare che le trasformazioni che ci interessano hanno un vincolo da rispettare, dato dalla metrica. So che sembra ovvio, ma delle volte passa quasi inosservato...
Ora però questo varrebbe la pena di spiegarlo un po' di più, penso…[/quote]
Intendo dire che ci interessano le trasformazioni che lasciano invariata la metrica, quindi
[tex]\Lambda^\mu\,_\sigma\Lambda^\nu\,_\rho \ \eta_{\mu\nu} = \eta_{\sigma\rho}[/tex]
Il fatto e' che spesso (per la mia esperienza) uno parla di "trasformazioni lineari" e si dimentica che non ci interessano (nel caso specifico) tutte-tutte queste...
Ho la testa più dura di un mulo 
prima di formalizzare per bene tutta la questione potreste dirmi se intuitivamente ciò che scrivo qui di seguito ha un senso?
Considerando che siamo in uno spazio descritto dalla metrica di Minkowski, e quindi il prodotto scalare non è definito positivo, affinché il prodotto scalare risulti invariante, devo distinguere tra vettori covarianti e vettori controvarianti. In altre parole il prodotto scalare è invariante solo se prodotto di un vettore covariante e uno controvariante.
Comunque a questo punto, perchè la definizione di matrice inversa nel trasformare l'operatore di derivata mi porta a dover considerare necessariamente vettori covarianti e controvarianti?
prima di formalizzare per bene tutta la questione potreste dirmi se intuitivamente ciò che scrivo qui di seguito ha un senso?Considerando che siamo in uno spazio descritto dalla metrica di Minkowski, e quindi il prodotto scalare non è definito positivo, affinché il prodotto scalare risulti invariante, devo distinguere tra vettori covarianti e vettori controvarianti. In altre parole il prodotto scalare è invariante solo se prodotto di un vettore covariante e uno controvariante.
Comunque a questo punto, perchè la definizione di matrice inversa nel trasformare l'operatore di derivata mi porta a dover considerare necessariamente vettori covarianti e controvarianti?
Dico la mia versione sperando sia utile
La metrica dello spazio-tempo è $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ (sommare sempre sugli indici ripetuti). Ponendo $dx_k = g_{kl} dx^l$, la metrica diventa semplicemente $ds^2 = dx_i dx^i$.
Orbene, per definizione gli indici in alto sono detti controvarianti e quelli in basso covarianti.
Il tensore metrico $g_{ij}$ dello spazio euclideo fa sì che le componenti covarianti e controvarianti dei vettori siano uguali- Non così per la metrica di Minkowsky nella quale le tre componenti spaziali cambiano segno, fra controvarianti e covarianti.
La metrica dello spazio-tempo è $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ (sommare sempre sugli indici ripetuti). Ponendo $dx_k = g_{kl} dx^l$, la metrica diventa semplicemente $ds^2 = dx_i dx^i$.
Orbene, per definizione gli indici in alto sono detti controvarianti e quelli in basso covarianti.
Il tensore metrico $g_{ij}$ dello spazio euclideo fa sì che le componenti covarianti e controvarianti dei vettori siano uguali- Non così per la metrica di Minkowsky nella quale le tre componenti spaziali cambiano segno, fra controvarianti e covarianti.
Provo a risponderti io, salvo conferma degli espertissimi!
ok, non è definito positivo, può essere positivo, nullo, negativo.
Un prodotto scalare è invariante perché si può dire, dal punto di vista del calcolo tensoriale, che saturi tutti gli indici: moltiplicando e sommando secondo le note regole le componenti covarianti di uno con le componenti controvarianti dell'altro ottieni uno scalare, quindi invariante. Quella implicazione "affinché" che tu fai non sussiste.
Comunque non c'entra con il tipo di spazio.
Solo che quando lo spazio è, supponiamo, euclideo, e il rif. cartesiano ortogonale, non distinguiamo le componenti covarianti dalle controvarianti, per cui scriviamo il prodotto scalare di due vettori nella forma che ci hanno insegnato in Meccanica Razionale. In questo caso (coord. cartesiane ortogonali) i coefficienti della metrica sono tutti uguali a 1. Ma se riferiamo lo spazio euclideo a coordinate per esempio polari, i coefficienti della metrica non sono più tutti uguali a 1 . Tuttavia, lo spazio è sempre euclideo, e il prodotto scalare di 2 vettori è sempre lo stesso di quello più semplicemente calcolato con le coord. cartesiane ortogonali.
È il prodotto scalare, che è invariante….quel "solo se" non c'entra.
In uno spazio euclideo, componenti covarianti e componenti controvarianti non si distinguono, se il riferimento è cartesiano ortogonale. Ma se non lo è, anche essendo lo spazio euclideo le componenti covarianti si distnguono dalle controvarianti.
Mi spiego meglio con un esempio pratico:
Se su un foglio di carta disegni un vettore $\vecV$ , e dalla sua origine tracci due assi, che formano un angolo "minore" di 90º, ( sistema di coordinate oblique), puoi avere le componenti controvarianti tracciando dall'estremo del vettore le parallele agli assi.
Se invece proietti perpendicolarmente l'estremo del vettore sui due assi, ottieni le componenti covarianti!
Eppure si tratta di uno spazio euclideo a due dimensioni. Se allarghi l'angolo fino a 90º , le co- e le contro- componenti diventano uguali. Chiaramente in coordinate oblique i coefficienti della metrica non sono entrambi ugual a 1.
Se hai due vettori sul foglio, di cui calcoli componenti co- e contro-varianti in queste coordinate oblique, e ne fai il prodotto scalare, ti accorgi che è uguale a quello calcolato in coord. cartesiane ortogonali. Ovviamente anche il modulo quadro di un vettore rimane invariante, essendo dato dal prodotto scalare del vettore per se stesso.
Qui c'è un po' di confusione, francamente non afferro che cosa vuoi dire…fai qualche implicazione che non c'è.
Ritorna alla domanda originale di yoshiharu : come si trasforma l'operatore derivata nella trasformazione di coordinate? Lascia stare lo spazio e le sue caratteristiche, se euclideo o pseudo-euclideo.
LA spiegazione di Arrigo è semplice e precisa: in uno spazio generico, con coefficienti della metrica $g_(ij)$, puoi fare il prodotto scalare di due vettori $A^i$ e $B^j$ in due modi :
1) moltiplichi le componenti controvarianti di entrambi e poi moltiplichi i prodotti per i coefficienti della metrica, e poi sommi (il tutto secondo note regole)
2) prima abbassi le componenti controvarianti di uno dei due con i coefficienti della metrica, ottenendo le covarianti, poi moltiplichi ordinatamente le cov. ottenute per le contro. dell'altro, e poi sommi.
In ogni caso, tutti gli indici sono saturati, il che significa che hai ottenuto uno scalare, un invariante appunto.
"Nick_93":
Considerando che siamo in uno spazio descritto dalla metrica di Minkowski, e quindi il prodotto scalare non è definito positivo…
ok, non è definito positivo, può essere positivo, nullo, negativo.
…..affinché il prodotto scalare risulti invariante, devo distinguere tra vettori covarianti e vettori contrarianti….
Un prodotto scalare è invariante perché si può dire, dal punto di vista del calcolo tensoriale, che saturi tutti gli indici: moltiplicando e sommando secondo le note regole le componenti covarianti di uno con le componenti controvarianti dell'altro ottieni uno scalare, quindi invariante. Quella implicazione "affinché" che tu fai non sussiste.
Comunque non c'entra con il tipo di spazio.
Solo che quando lo spazio è, supponiamo, euclideo, e il rif. cartesiano ortogonale, non distinguiamo le componenti covarianti dalle controvarianti, per cui scriviamo il prodotto scalare di due vettori nella forma che ci hanno insegnato in Meccanica Razionale. In questo caso (coord. cartesiane ortogonali) i coefficienti della metrica sono tutti uguali a 1. Ma se riferiamo lo spazio euclideo a coordinate per esempio polari, i coefficienti della metrica non sono più tutti uguali a 1 . Tuttavia, lo spazio è sempre euclideo, e il prodotto scalare di 2 vettori è sempre lo stesso di quello più semplicemente calcolato con le coord. cartesiane ortogonali.
…..In altre parole il prodotto scalare è invariante solo se prodotto di un vettore covariante e uno controvariante.
È il prodotto scalare, che è invariante….quel "solo se" non c'entra.
In uno spazio euclideo, componenti covarianti e componenti controvarianti non si distinguono, se il riferimento è cartesiano ortogonale. Ma se non lo è, anche essendo lo spazio euclideo le componenti covarianti si distnguono dalle controvarianti.
Mi spiego meglio con un esempio pratico:
Se su un foglio di carta disegni un vettore $\vecV$ , e dalla sua origine tracci due assi, che formano un angolo "minore" di 90º, ( sistema di coordinate oblique), puoi avere le componenti controvarianti tracciando dall'estremo del vettore le parallele agli assi.
Se invece proietti perpendicolarmente l'estremo del vettore sui due assi, ottieni le componenti covarianti!
Eppure si tratta di uno spazio euclideo a due dimensioni. Se allarghi l'angolo fino a 90º , le co- e le contro- componenti diventano uguali. Chiaramente in coordinate oblique i coefficienti della metrica non sono entrambi ugual a 1.
Se hai due vettori sul foglio, di cui calcoli componenti co- e contro-varianti in queste coordinate oblique, e ne fai il prodotto scalare, ti accorgi che è uguale a quello calcolato in coord. cartesiane ortogonali. Ovviamente anche il modulo quadro di un vettore rimane invariante, essendo dato dal prodotto scalare del vettore per se stesso.
Comunque a questo punto, perchè la definizione di matrice inversa nel trasformare l'operatore di derivata mi porta a dover considerare necessariamente vettori covarianti e controvarianti?
Qui c'è un po' di confusione, francamente non afferro che cosa vuoi dire…fai qualche implicazione che non c'è.
Ritorna alla domanda originale di yoshiharu : come si trasforma l'operatore derivata nella trasformazione di coordinate? Lascia stare lo spazio e le sue caratteristiche, se euclideo o pseudo-euclideo.
LA spiegazione di Arrigo è semplice e precisa: in uno spazio generico, con coefficienti della metrica $g_(ij)$, puoi fare il prodotto scalare di due vettori $A^i$ e $B^j$ in due modi :
1) moltiplichi le componenti controvarianti di entrambi e poi moltiplichi i prodotti per i coefficienti della metrica, e poi sommi (il tutto secondo note regole)
2) prima abbassi le componenti controvarianti di uno dei due con i coefficienti della metrica, ottenendo le covarianti, poi moltiplichi ordinatamente le cov. ottenute per le contro. dell'altro, e poi sommi.
In ogni caso, tutti gli indici sono saturati, il che significa che hai ottenuto uno scalare, un invariante appunto.
Ok credo di esserci quasi però mi manca qualche tassello per mettere insieme tutti i pezzi della discussione
Riprendo la questione che riguarda la trasformazioni dell'operatore derivata; procedo quindi con le regole di derivazione a catena e ottengo per esempio derivando rispetto a le componenti di un vettore controvariante, tenendo conto che x' e funzione di x e anche della funzione inversa
$$\frac{\partial }{\partial x^{'\alpha}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\alpha}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}$$
Ora a quanto ho capito un vettore controvariante $A^{\alpha}(A_x,A_y,A_z,A_4)$ si trasforma secondo la seguente relazione
$$A^{\alpha}=\frac{\partial x^{'\alpha}}{\partial x^{\mu}}A^{\alpha}$$
mentre un vettore covariante $A^{\alpha}(A_x,A_y,A_z,A_4)$ si trasforma secondo la relazione
$$A^{'\alpha}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\alpha}}A^{\alpha}$$
Tenendo conto di queste notazioni, con quali considerazioni devo procedere?
Riprendo la questione che riguarda la trasformazioni dell'operatore derivata; procedo quindi con le regole di derivazione a catena e ottengo per esempio derivando rispetto a le componenti di un vettore controvariante, tenendo conto che x' e funzione di x e anche della funzione inversa
$$\frac{\partial }{\partial x^{'\alpha}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\alpha}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}$$
Ora a quanto ho capito un vettore controvariante $A^{\alpha}(A_x,A_y,A_z,A_4)$ si trasforma secondo la seguente relazione
$$A^{\alpha}=\frac{\partial x^{'\alpha}}{\partial x^{\mu}}A^{\alpha}$$
mentre un vettore covariante $A^{\alpha}(A_x,A_y,A_z,A_4)$ si trasforma secondo la relazione
$$A^{'\alpha}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\alpha}}A^{\alpha}$$
Tenendo conto di queste notazioni, con quali considerazioni devo procedere?
Attento a come scrivi i vettori e le leggi di trasformazione.
Dato il vettore : $ A^\alpha = (A^x,A^y,A^z,A^t) $ , (ho indicato con $t$ anziché $4$ la componente temporale, che di solito si scrive $A^0$ e si mette per prima, ma è questione di gusti), la trasformazione controvariante passando da coordinate $x^\rho$ a coordinate $x'^tau = x'^\tau(x^\rho)$ si scrive :
$ A'^\alpha = (partialx'^\alpha)/(partialx^\nu)A^\nu$
Un esempio semplice è il differenziale delle coordinate :
$ dx'^\alpha = (partialx'^\alpha)/(partialx^\nu)dx^\nu$
Le componenti covarianti, sempre nel sistema di coordinate $x^rho$, si ottengono dalle componenti controvarianti abbassando l'indice con i coefficienti della metrica:
$A_\mu = g_(\mu\nu)A^\nu$
Dopo di che, la trasformazione delle componenti covarianti si scrive :
$A'_\beta = (partialx^\mu)/(partialx'^\beta) A_\mu $
MA quello che ti ha chiesto yoshiharu, se ho capito bene la sua richiesta, lo hai già scritto, è la legge di trasformazione dell'operatore derivata parziale :
Se ora da qui vuoi ricavare la trasformazione inversa, devi moltiplicare entrambi i membri per $(partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)$ , e ottieni:
$(partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) = (partialx^\mu)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx^\mu) = \delta_\rho^\mu(partial)/(partialx^\mu) = (partial)/(partialx^\rho)$
che come vedi ha la stessa forma di quella scritta da te. Infatti uguagliando il primo e l'ultimo membro :
$ (partial)/(partialx^\rho) = (partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) $
Non so se è qui che voleva arrivare yoshiharu.
Dato il vettore : $ A^\alpha = (A^x,A^y,A^z,A^t) $ , (ho indicato con $t$ anziché $4$ la componente temporale, che di solito si scrive $A^0$ e si mette per prima, ma è questione di gusti), la trasformazione controvariante passando da coordinate $x^\rho$ a coordinate $x'^tau = x'^\tau(x^\rho)$ si scrive :
$ A'^\alpha = (partialx'^\alpha)/(partialx^\nu)A^\nu$
Un esempio semplice è il differenziale delle coordinate :
$ dx'^\alpha = (partialx'^\alpha)/(partialx^\nu)dx^\nu$
Le componenti covarianti, sempre nel sistema di coordinate $x^rho$, si ottengono dalle componenti controvarianti abbassando l'indice con i coefficienti della metrica:
$A_\mu = g_(\mu\nu)A^\nu$
Dopo di che, la trasformazione delle componenti covarianti si scrive :
$A'_\beta = (partialx^\mu)/(partialx'^\beta) A_\mu $
MA quello che ti ha chiesto yoshiharu, se ho capito bene la sua richiesta, lo hai già scritto, è la legge di trasformazione dell'operatore derivata parziale :
"Nick_93":
Riprendo la questione che riguarda la trasformazioni dell'operatore derivata; procedo quindi con le regole di derivazione a catena e ottengo per esempio derivando rispetto a le componenti di un vettore controvariante, tenendo conto che x' e funzione di x e anche della funzione inversa
\[ \frac{\partial }{\partial x^{'\alpha}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\alpha}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu}} \]
Se ora da qui vuoi ricavare la trasformazione inversa, devi moltiplicare entrambi i membri per $(partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)$ , e ottieni:
$(partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) = (partialx^\mu)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx^\mu) = \delta_\rho^\mu(partial)/(partialx^\mu) = (partial)/(partialx^\rho)$
che come vedi ha la stessa forma di quella scritta da te. Infatti uguagliando il primo e l'ultimo membro :
$ (partial)/(partialx^\rho) = (partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) $
Non so se è qui che voleva arrivare yoshiharu.
"navigatore":
$ (partial)/(partialx^\rho) = (partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) $
Non so se è qui che voleva arrivare yoshiharu.
Confermo (in ritardo). Great job as usual
Adesso si potrebbe fare un discorso enfatizzando l'altro suggerimento, quello della trasformazione dei funzionali (forme).
E sarebbe bello concludere generalizzando ai tensori di classe arbitraria (cioe' con indici arbitrari).
La strada e' gia' stata suggerita da te e arrigo, la domanda per Nick e': cosa succede quando alzi o abbassi un indice? Per esempio un vettore controvariante diventa covariante, ma dal punto di vista matematico cosa "diventa"? Ovviamente la risposta e' gia' stata suggerita in questo thread, il mio e' un tentativo di indurre Nick (e chiunque altro voglia of course) a esplicitarla per bene. IMHO e' cosi' che uno le capisce per bene queste cose...
Dopodiche' Nick mi chiedera' perche' non mi faccio gli affari miei
"yoshiharu":
[quote="navigatore"]
$ (partial)/(partialx^\rho) = (partialx'^\alpha)/(partialx^\rho)*(partial)/(partialx'^\alpha) $
Non so se è qui che voleva arrivare yoshiharu.
Confermo (in ritardo). Great job as usual
[/quote]Thank you my friend!
Adesso si potrebbe fare un discorso enfatizzando l'altro suggerimento, quello della trasformazione dei funzionali (forme).
E sarebbe bello concludere generalizzando ai tensori di classe arbitraria (cioe' con indici arbitrari).
La strada e' gia' stata suggerita da te e arrigo, la domanda per Nick e': cosa succede quando alzi o abbassi un indice? Per esempio un vettore controvariante diventa covariante, ma dal punto di vista matematico cosa "diventa"? Ovviamente la risposta e' gia' stata suggerita in questo thread, il mio e' un tentativo di indurre Nick (e chiunque altro voglia of course) a esplicitarla per bene. IMHO e' cosi' che uno le capisce per bene queste cose...
Dopodiche' Nick mi chiedera' perche' non mi faccio gli affari miei
Sarebbe bello ed istruttivo! Ma vediamo prima se Nick digerisce senza problemi quello che gli è stato detto.
Come prima cosa, se io fossi al posto di Nick direi questo : " Mi hai detto di scrivere il vettore (ovvero, un tensore controvariante del 1º ordine, per essere più precisi) con gli indici in alto, e poi mi hai detto che le componenti covarianti si ottengono abbassando l'indice col tensore metrico. MA è sempre così ? Per ottenere un vettore covariante devo fare sempre questa manfrina? Cioè, non esistono dei vettori che "nascono genuinamente covarianti" ??? "
E questa sarebbe già una bella domanda a cui rispondere...
Perdonatemi se ritardo a rispondere. Avendo interrotto la discussione per qualche giorno ho completamente perso il filo logico, e se ora mi si dovesse chiedere: ""spiegami l'invarianza relativistica introducendo le notazioni covarianti e controvarianti dei tensori" non saprei rispondere in modo chiaro
Non saprei proprio come rispondere alle vostre ultime richieste. Naturalmente non è colpa vostra, anzi vi ringrazio della gentilezza e della pazienza. Sono io che non sono capace di arrivare alla conclusione, a meno di passarci ore e ore, su un problema "tecnico" che in teoria non dovrebbe essere così complicato capire (dipende anche dalla poca dimestichezza con un certo formalismo matematico)
Non saprei proprio come rispondere alle vostre ultime richieste. Naturalmente non è colpa vostra, anzi vi ringrazio della gentilezza e della pazienza. Sono io che non sono capace di arrivare alla conclusione, a meno di passarci ore e ore, su un problema "tecnico" che in teoria non dovrebbe essere così complicato capire (dipende anche dalla poca dimestichezza con un certo formalismo matematico)
Spero innanzitutto ( e sono sicuro che anche yoshiharu lo spera ! 
) che tu abbia digerito bene quello che ti è stato detto finora.
Riguardo al tuo post di questa sera, per questo :
Certamente il prodotto scalare di due 4-vettori è invariante : $\Deltas^2 = g_(\mu\nu)A^\muB^\nu = A_\nuB^\nu$ ,
in cui prima ho abbassato $\mu$ con i coefficienti della metrica : nell'ultimo membro l'indice è saturato. Quindi, se consideri il 4-intervallo con le su componenti spaziotemporali,e consideri la metrica di Minkowski, e calcoli il modulo quadr come detto….
Queste notazioni sembrano difficili, ma poi quando ci fai la mano ti accorgi che è solo questione di indici da maneggiare, tenendo sempre presente la somma su indici ripetuti in alto e in basso, e il fatto che in definitiva in una equazione tensoriale gli indici di ciò che è a "destra" devono corrispondere a quelli di ciò che è "a sinistra" .
Quello che ti chiedevo io è questo:
Cioè, si può definire qualche vettore che per sua natura è covariante, perché nasce così?
Allora ti dò un indizio. Pensa al differenziale di una funzione scalare delle coordinate $ f(x^\alpha) $ :
$df = (partialf)/(partialx^\alpha) dx^\alpha$
Questa è una quantità scalare, che non dipende dalle coordinate.
Pensa ai $dx^\alpha$ : sono le componenti di un tipico vettore, ovvero un tensore controvar. del 1º ordine.
Pensa ora alle quantità : $(partialf)/(partialx^\alpha)$ . Queste non sono altro che le componenti del gradiente della funzione $f(x^\alpha)$ , come ce l' hanno spiegato in M.R. :
$\vecnablaf = (partialf)/(partialx^\alpha) e^\alpha$
dove $e^\alpha$ è la base delle coordinate. Ci hanno detto che $\vecnablaf$ è un vettore.
Ma dalla espressione di $df$ scritta sopra, si vede che tipo di vettore è : deve essere necessariamente "covariante" , perché moltiplicandolo scalarmente per il $\vecdx$ si ottiene lo scalare $df$.
Quindi :
$\vecnablaf$ , cioè il gradiente di una funzione scalare, è un co-vettore o tensore covariante del 1ºordine, detto anche "1-forma" , nasce così , e risulta :
$df = \vecnablaf*\vecdx$
Per quanto riguarda la richiesta di yoshiharu…lascio a lui il divertimento!
) che tu abbia digerito bene quello che ti è stato detto finora.Riguardo al tuo post di questa sera, per questo :
"spiegami l'invarianza relativistica introducendo le notazioni covarianti e controvarianti dei tensori"
Certamente il prodotto scalare di due 4-vettori è invariante : $\Deltas^2 = g_(\mu\nu)A^\muB^\nu = A_\nuB^\nu$ ,
in cui prima ho abbassato $\mu$ con i coefficienti della metrica : nell'ultimo membro l'indice è saturato. Quindi, se consideri il 4-intervallo con le su componenti spaziotemporali,e consideri la metrica di Minkowski, e calcoli il modulo quadr come detto….
Queste notazioni sembrano difficili, ma poi quando ci fai la mano ti accorgi che è solo questione di indici da maneggiare, tenendo sempre presente la somma su indici ripetuti in alto e in basso, e il fatto che in definitiva in una equazione tensoriale gli indici di ciò che è a "destra" devono corrispondere a quelli di ciò che è "a sinistra" .
Quello che ti chiedevo io è questo:
"navigatore":
Come prima cosa, se io fossi al posto di Nick direi questo : " Mi hai detto di scrivere il vettore (ovvero, un tensore controvariante del 1º ordine, per essere più precisi) con gli indici in alto, e poi mi hai detto che le componenti covarianti si ottengono abbassando l'indice col tensore metrico. MA è sempre così ? Per ottenere un vettore covariante devo fare sempre questa manfrina? Cioè, non esistono dei vettori che "nascono genuinamente covarianti" ??? "
E questa sarebbe già una bella domanda a cui rispondere...
Cioè, si può definire qualche vettore che per sua natura è covariante, perché nasce così?
Allora ti dò un indizio. Pensa al differenziale di una funzione scalare delle coordinate $ f(x^\alpha) $ :
$df = (partialf)/(partialx^\alpha) dx^\alpha$
Questa è una quantità scalare, che non dipende dalle coordinate.
Pensa ai $dx^\alpha$ : sono le componenti di un tipico vettore, ovvero un tensore controvar. del 1º ordine.
Pensa ora alle quantità : $(partialf)/(partialx^\alpha)$ . Queste non sono altro che le componenti del gradiente della funzione $f(x^\alpha)$ , come ce l' hanno spiegato in M.R. :
$\vecnablaf = (partialf)/(partialx^\alpha) e^\alpha$
dove $e^\alpha$ è la base delle coordinate. Ci hanno detto che $\vecnablaf$ è un vettore.
Ma dalla espressione di $df$ scritta sopra, si vede che tipo di vettore è : deve essere necessariamente "covariante" , perché moltiplicandolo scalarmente per il $\vecdx$ si ottiene lo scalare $df$.
Quindi :
$\vecnablaf$ , cioè il gradiente di una funzione scalare, è un co-vettore o tensore covariante del 1ºordine, detto anche "1-forma" , nasce così , e risulta :
$df = \vecnablaf*\vecdx$
Per quanto riguarda la richiesta di yoshiharu…lascio a lui il divertimento!
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