Costruzione dell'operatore d'evoluzione temporale

[ludwigZero]

ciao forum

ci sono dei passaggi a me oscuri sorti dalla lezione sulla costruzione dell'operatore di evoluzione temporale $U(t,t_o)$

parto col scrivere ciò che sono riuscito a capire e poi le parti ''i passaggi'' meno chiari, a cui vorrei una piccola spiegazione logica su cui pormi domande etcetc

ragionando sullo spettro discreto:

sapendo che:

$\psi(t) = U(t,t_0) \psi (t_0)$

una possibile epressione per $\psi (t_0)$
è data da: $\psi (t_0) = \sum_n c_n e^(-i \omega_n t_0) |\phi_n>$

dove:
$E_n = \omega_n h$
(non capisco perchè mi dia problemi nello scrivere \hbar.... e il simbolo di ket..)

$c_n$ se il sistema fa la misura di $E_n$ $c_n$ mi dice la probabilità di ottenere $|\phi_n>$ (autovettori)

a un certo punto si applica uno sviluppo in serie:

$e^(-i H/h t_0) = 1 + (-i/h t_0) (H.....H_n)$

il secondo membro è 'combinazione linerare di H (hamiltoniana) che deve agire sugli autostati, inoltre tale relazione sarebbe come scrivere:

$e^(-i H/h t_0) = 1 + (-i/h t_0) (E.....E_n)$ e quindi la relazione iniziale per un generico stato del sistema si scrive come:

$\psi (t_0) = e^(-i H/h t_0) \sum_n c_n |\phi_n>$ in quanto $e^(-i H/h t_0)$ è un operatore lineare e può essere portato fuori dalla sommatoria.

ora: facciamo il prodotto scalare tra $\phi_n$ e $\psi(t_0)$:

$<\phi_n|\psi(t_0)> = \sum_n e^(-i \omega_n t_0) c_n <\phi_n |\phi_m>$

ciò che non capisco è perchè sopra $<\phi_n |\phi_m>$ ci sia una delta di kronecker di questo tipo: $\delta_(m,n)$

il passaggio successivo della dimostrazione è:

$\psi(t) = \sum_n e^(i \omega_n t_0) <\phi_n | psi(t_0)> e^(-i \omega_n t) |phi_n>$

(da qui in poi, a parte qualche conclusione concettuale, mi sono perso completamente a causa di questo passaggio 'brusco')

qualche dritta?

[5mrkv]

Ma intendi il passaggio sul delta? Uno dei postulati della meccanica quantistica dice che le grandezze fisiche sono descritte da osservabili, operatori i cui autovettori formano una base ortonormale per lo spazio degli stati.

Nel caso in cui ad un autovalore corrisponda un solo autovettore si può scrivere l'equazione degli autovalori come
\[
A|n\rangle=n|n\rangle
\]
e considerando gli autovalori con indice \(n=1,2\) (scriviamo \(1\) al posto di \(a_{1}\))
\[
\begin{split}
A|1\rangle&=1|1\rangle \\
\mbox{a. }A|2\rangle&=2|2\rangle \\
\end{split}
\]
ed il fatto che le osservabili sono operatori hermitiani (o autoaggiunti) e con autovalori reali possiamo riscrivere l'aggiunto della prima in modo equivalente come
\[
\begin{split}
\langle 1|A^{\dagger}&=1^{*} \langle 1| \\
\mbox{b. }\langle 1|A&=1 \langle 1|\\
\end{split}
\]
Effettuando i prodotto scalari di \(\mbox{b. }\) ed \(\mbox{a. }\) rispettivamente con \(|2\rangle\) e \(\langle 1|\)
\[
\begin{split}
\langle 1|A|2\rangle&=1 \langle 1|2\rangle \\
\langle 1|A|2\rangle&=2\langle 1|2\rangle \\
\end{split}
\]
e sottraendo a membro a membro
\[
\begin{split}
(1-2) \langle 1|2\rangle&=0 \\
k \langle 1|2\rangle&=0 \\
\end{split}
\]
se la costante \(k=1-2\neq 0\) allora i due autovalori soddisfano la relazione di ortogonalità. In questo caso se \(k=0\) gli autovettori coincidono. In generale quando ad un autovalore corrispondono più autovettori non si può dire cosa succede per \(k=0\).

Trovi questo come esercizio nel Gasiorowicz come esempio 6.1 oppure come argomento nel Cohen cap. II verso pag. 136.

[ludwigZero]

sì intendo proprio il discorso sul delta
posto tutti i passaggi della dimostrazione, forse tu ci capisci qualcosa più di me.

Si parte dal definire l'operatore lineare di evoluzione temporale:

$\psi (t) = U(t,t_0) \psi (t_0)$

un generico stato del sistema:

$\psi (t) = \sum_n c_n e^(-i \omega t) |\phi_n>$

in $t_0$ diventa: $\psi (t_0) = \sum_n c_n e^(-i H/h t_0)|\phi_n> = e^(-i H/h t_0) \sum_n c_n |\phi_n>$

Poi dice ''dato il dato iniziale $\psi (t_0)$ calcolo i coefficienti di fuourier'':

quindi è come moltiplico ambo i membri per il bra $<\phi_m$ cioè:

$<\phi_m |\psi (t_0) > = \sum_n e^(-i \omega_n t_0) cn <\phi_m|\phi_n>$

dove $<\phi_m |\phi_n>$ a quanto pare è regolato dalla delta di kronecker $\delta_(m,n)$

da cui si ottiene magicamente:

$\psi (t) = \sum_n e^(i \omega_n t_0) <\phi_n| psi(x,t_0)> e^(-i \omega_n t) |\phi_n> = \sum_n e^(-i \omega_n (t-t_0)) <\phi_n |\psi(x,t_0)|\phi_m>$

(spero che gli indici da me copiati siano a posto)

alla fine si hada commentare $<\phi_n |\psi(x,t_0)|\phi_m>$ che è un integrale:

$<\phi_n |\psi(x,t_0) = \int dy (\phi_n(y))^(*) \psi(y,t_0)$ dove si è fatto un cambiamento di variabile, cioè la variabile di integrazione è $dy$ quindi riscrivendo si ha:

$\psi (t_0) = \sum_n e^(-i \omega_n (t-t_0)) \int dy (\phi_n(y))' (\phi_n(y)) \psi(y,t_0)$

dove $\phi_n$ è una base (qualunque vettore è decomponibile su tale base) e tale ultima relazione vale anche per $t=t_0$

inoltre:

$\phi (x, t_0) = \int dy \sum_n (\phi_n(y))' \phi_n(y) \psi(y,t_0)$

dove $dy \sum_n (\phi_n(y))' \phi_n(y) = \delta (y-x)$ delta di dirac.

sono questi passaggi che mi sono oscuri

[5mrkv]

Sto considerando un sistema di ket ortonormale, significa che per due funzioni con indice differente il prodotto scalare è nullo, ovvero sono ortogonali. Per funzioni con indice identico invece ottengo \(1\). L'ortogonalità è conseguenza di quello che ho scritto prima. Quell'\(1\) invece deriva da una opportuna normalizzazione delle funzioni. Si assume già che il sistema sia ortonormale ovvero \(\langle \varphi_{n},\varphi_{m}\rangle=\delta_{n,m}\)
\[
\begin{cases}
\delta_{n,m}
&=1 \mbox{ se }n=m \\
&=0 \mbox{ se }n\neq m \\
\end{cases}
\]
Per quanto riguarda i coefficienti di fourier invece vale che se un ket è sviluppato con i ket di questo sistema
\[
\begin{split}
|\psi\rangle&=\small{ \sum} c_{n}|\varphi_{n}\rangle \\
\langle \varphi_{m} |\psi\rangle&=\small{ \sum} c_{n}\langle \varphi_{m}|\varphi_{n}\rangle \\
\langle \varphi_{m} |\psi\rangle&=\small{ \sum} c_{n}\delta_{m,n} \\
\langle \varphi_{m} |\psi\rangle&=c_{m} \\
|\psi\rangle&=\small{ \sum} \langle \varphi_{n} |\psi\rangle|\varphi_{n}\rangle \\
\end{split}
\]
Quindi quando vai a sostituire nell'espressione per il ket generico, devi tenere conto di questo. Potresti dare un'occhiata al Griffiths come libro di MQ introduttivo, se non ne hai uno. Per quanto riguarda gli integrali, il prodotto scalare \(\langle \psi | \varphi\rangle\) è definito come
\[
\langle \psi | \varphi\rangle=\int \psi^{*}\varphi \mbox{d}x
\]
E quindi l'elemento di matrice \(\langle \psi |A| \varphi\rangle:=\langle A^{\dagger} \psi| \varphi\rangle=\langle \psi|A \varphi\rangle\) (nel nostro caso l'elemento di matrice si può scrivere così) prende la forma
\[
\langle \psi |A| \varphi\rangle=\int \psi^{*}A\varphi \mbox{d}x
\]
Quello che hai scritto dopo non mi è tanto chiaro. Dovresti dare un occhiata al capito Mathematical Tools of QM del Cohen. In un appendice dovrebbe essere spiegato anche il propagatore. L'ultimo pezzo assomiglia molto a

img 1
img 2

Tieni conto che li il prodotto scalare lo indica con \((\cdot,\cdot)\).