Costruzione armoniche sferiche
Buonasera, son qui che traffico un po' con le armoniche sferiche, e mi è sorto un dubbio.
Dunque, considerando la generica $Y_(l)^(m)(theta,varphi)=CP_l^m(costheta)e^(imvarphi)$, mi sto chiedendo come costruire un'armonica sferica qualunque. Mi par di aver capito, ad esempio, che
$C=(-1)^msqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))$ (o più facilmente lo trovo normalizzando l'armonica)
So anche che la densità di probabilità non ha alcuna dipendenza azimutale (che moltiplica per un fattore $2pi$ in ogni caso), quindi $|Y_l^m(theta,varphi)|^2=|CP_l^m(costheta)|^2$, e questo mi serve per normalizzare l'armonica.
Ecco, quel che vorrei sapere è: volendo costruire l'armonica sferica con l e m qualsiasi, C lo trovo facilmente, ma per il polinomio di Legendre? Devo fare a mano pure quello, per ogni combinazione di l, m? Perché ogniqualvolta ci inciampo in un esercizio, viene dato per scontato che
$Y_0^0(theta,varphi)=C$
$Y_1^0(theta, varphi)=Ccostheta$
$Y_1^(+-1)(theta, varphi)=Csinthetae^(+-ivarphi)$
...
che va anche bene, ma devo saperli a memoria o posso ricostruirli?
Grazie
Dunque, considerando la generica $Y_(l)^(m)(theta,varphi)=CP_l^m(costheta)e^(imvarphi)$, mi sto chiedendo come costruire un'armonica sferica qualunque. Mi par di aver capito, ad esempio, che
$C=(-1)^msqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))$ (o più facilmente lo trovo normalizzando l'armonica)
So anche che la densità di probabilità non ha alcuna dipendenza azimutale (che moltiplica per un fattore $2pi$ in ogni caso), quindi $|Y_l^m(theta,varphi)|^2=|CP_l^m(costheta)|^2$, e questo mi serve per normalizzare l'armonica.
Ecco, quel che vorrei sapere è: volendo costruire l'armonica sferica con l e m qualsiasi, C lo trovo facilmente, ma per il polinomio di Legendre? Devo fare a mano pure quello, per ogni combinazione di l, m? Perché ogniqualvolta ci inciampo in un esercizio, viene dato per scontato che
$Y_0^0(theta,varphi)=C$
$Y_1^0(theta, varphi)=Ccostheta$
$Y_1^(+-1)(theta, varphi)=Csinthetae^(+-ivarphi)$
...
che va anche bene, ma devo saperli a memoria o posso ricostruirli?
Grazie
Risposte
Sì certo puoi ricavare i polinomi (si può ricavare più di una rappresentazione , guarda anche solo su Wikipedia o un manuale di metodi matematici per la fisica, che glissa su un po'di teoria per arrivare subito al clou) ma in genere non si fa mai se non per esercizio. Le armoniche sferiche principali sono riportate sulle tabelle dei coefficienti di clebsch gordan. Per dire che non è necessario saperli a memoria anche se i primi in effetti dopo un po' ti entrano in testa. Negli esercizi appunto viene dato per scontato che tu possa usufruire delle tabelle, a meno magari del primo che è davvero solo una costante , cosa importante perché per L=0 hai simmetria sferica. Non ti fare troppi problemi su questa cosa, è più importante saperli maneggiare che non ricordarli.
Devo dire che speravo in una risposta del genere, grazie. Mi è sorto il dubbio perché appunto un particolare esercizio chiedeva di trovare le prime cinque armoniche normalizzate, tirando fuori dal nulla i polinomi di Legendre. Probabilmente in un esame me li darebbero, lasciandomi solo il compito di trovare la costante di normalizzazione... spero.
Ancora grazie!
Ancora grazie!
Quando puoi fare a mano, fallo.
Per tutto il resto c’è l’Abramowitz & Stegun (che trovi in biblioteca o in formato digitale qui).
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