Costanti del moto: Lagrangiana

[adammada]

Buongiorno a tutti,
ho un problema di uno scritto di Meccanica Analitica che non capisco molto bene. Il problema è questo:
Data la Lagrangiana
$L(x, y, z, dot x, dot y, dot z ) = 1/2 m( (dotx)^2 + (dot y)^2 + (dot z)^2 ) -V(y^2 + z^2)$
Si dica quali grandezze fisiche sono costanti del moto.
Io ho approcciato il problema nel seguente modo:
$(text{d}/text{dt}) ((delL)/(deldot q)) = ((delL)/(delq))$, ma nel nostro caso abbiamo che $((delL)/(delx)) = 0$. Questo vuol dire che
$(text{d}/text{dt}) ((delL)/(deldot x)) = (text{d}/text{dt}) (mdot x$$) = 0$ e quindi $mdot x$ non dipende dal tempo, ergo è una costante del moto.
Ho un paio di domande:
1) E' giusto fin qui?
2)Finisce qui l' esercizio o c'è dell' altro?
Grazie in anticipo,
P.S sono nuovo qui e non ho ancora imparato bene a scrivere le formule

[Shackle]

Ciao adam palindromo , benvenuto nella fossa dei leoni !

Le formule sono scritte bene, forse con qualche parentesi tonda di troppo, ma imparerai; la $L$ non dipende da $x$ e quindi $mdotx$ è una costante del moto. Cioè , è costante la componente $dotx$ della velocità del punto , visto che $m$ è costante. Non mi pare ci sia dell'altro.

[adammada]

Ah tutto qua?
Mi sembrava strano che l' esercizio si risolvesse così in fretta
Grazie Shackle per la risposta tempestiva

[gugo82]

Le parentesi tonde "di troppo" le ho inserite io quando ho editato il post per aggiustare il codice MathML.

[ondine1]

Oltre alla componente $x$ della quantità di moto si conserva anche l'energia dato che la lagrangiana non dipende esplcitamente dal tempo. Inoltre si conserva anche la componente $x$ del momento angolare (simmetria per rotazioni attorno all'asse $x$)
sapendo che $L_x=yP_z-zP_y$ dimostri che ${L_x,H}=0$.

[adammada]

Ok ma per conservazione dell' energia intendi l' Hamiltoniana? In più mi sapresti dire come hai fatto a determinare che $L_x$ si conserva?
Grazie mille per le precisazioni.

[ondine1]

"adammada":Ok ma per conservazione dell' energia intendi l' Hamiltoniana?

Si

"adammada":In più mi sapresti dire come hai fatto a determinare che $ L_x $ si conserva?

Ho usato il teorema di Noether. La lagrangiana rimane invariata per rotazioni intorno all'asse $x$ (il potenziale dipende solo da $y^2+z^2$) quindi per il teorema di Noether si conserva la componente $x$ del momento angolare.
Per verificarlo basta calcolare ${L_x,H}$ sapendo che $L_x=yP_z-zP_y$

${L_x,H}=(partialL_x)/(partialx) (partialH)/(partialP_x)-(partialL_x)/(partialP_x) (partialH)/(partialx)+(partialL_x)/(partialy) (partialH)/(partialP_y)-(partialL_x)/(partialP_y) (partialH)/(partialy)+(partialL_x)/(partialz) (partialH)/(partialP_z)-(partialL_x)/(partialP_z) (partialH)/(partialz)$
sostituendo si ha che:
${L_x,H}=0-0+2P_zP_y+2zyV'-2P_yP_z-2yzV'=0$

[adammada]

Ah ok grazie mille. Mi hai tolto proprio ogni dubbio