Coseni direttori

[Kashaman]

Salve ragazzi, in fisica sono incappato in questo termine, in particolar modo studiando i vettori nello spazio.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano $Oxyz$. e un vettore $v$.
Denotiamo con $\alpha, \beta,\gamma$ gli angoli che esso forma rispettivamente con l'asse $x$,$y$,$z$.
assumendo che $v=a_xj+a_yj+a_zk$
dove $i,j,k$ sono i versori degli assi,
si ha che $a_x=vcos(\alpha)$
$a_y=acos(\beta)$
$a_z=acos(\gamma)$
il professore disse che era superfluo considerare nello spazio tre angoli per fissare un vettore, e che i coseni citati si chiamano coseni direttori perché uno di loro dipende dagli altri,
e ci ha giustificato ciò
mediante

$a_x^2+a_y^2+a_z^2=a^2cos(\alpha)^2+a^2cos(\beta)^2+a^2cos(\gamma)^2=$
$=a^2(cos(\alpha)^2+cos(\beta)^2+cos(\gamma)^2)=1$

il mio dubbio è : la definizione che ci ha dato è corretta?
come mai quella somma fa $1$?
scusatemi per l'ignoranza.

e grazie mille a tutti

[Sk_Anonymous]

Per definizione:

$[|veca|^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2] ^^ \{(a_x=|veca|cosalpha),(a_y=|veca|cosbeta),(a_z=|veca|cosgamma):}$

Quindi:

$[|veca|^2=|veca|^2(cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma)] rarr [cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma=1]$

[gio73]

Ciao Kashaman,
provo ad esporti la mia idea (magari sbagliata, vorrei riflettere con te).
Il nostro vettore lo posso vedere come la diagonale di un parallelepipedo con le dimensioni uguali alle sue componenti lungo gli assi, giusto?
$v_x=vcosalpha$
$v_y=vcosbeta$
$v_z=vcosgamma$

per trovare il modulo di v
posso fare
$v=sqrt((v_x)^2+(v_y)^2+(v_z)^2)=sqrt(v^2*(cosalpha)^2+v^2(cosbeta)^2+v^2(cosgamma)^2)=sqrt(v^2((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2))=vsqrt((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2)$
e visto che il modulo di v deve essere uguale al modulo di v la roba che è sotto radice deve essere uguale a 1.

Speculor però è più bravo...

[Sk_Anonymous]

"gio73":
Speculor però è più bravo...

Sono solo arrivato un po' prima.

[Kashaman]

grazie ragazzi, il tutto allora era abbastanza semplice. Vi ringrazio entrambi