Cosa comporta l’Assenza di momento di inerzia
Un tubicino di lunghezza l=20 cm può ruotare in un piano orizzontale intorno a un asse verticale liscio passante per una sua estremità.Dentro il tubicino,a metà lunghezza, si trova in quiete una sferetta di massa m=20g. Il tubicino viene messo bruscamente in moto con velocità angolare di modulo w=4 rad/s mediante una coppia di forze applicate per un momento brevissimo; la sferetta incontra attrito trascurabile, perciò scivolare senza rotolare lungo il tubicino.Si determini rispetto a un sistema di riferimento solidale al suolo, il moto della sferetta se il momento di inerzia I rispetto all’asse di rotazione è trascurabile.
Non sono riuscito a capire come l’assenza di momento di inerzia influisca sul moto della sferetta. Ringrazio Tutti anticipatamente per l’aiuto
Non sono riuscito a capire come l’assenza di momento di inerzia influisca sul moto della sferetta. Ringrazio Tutti anticipatamente per l’aiuto
Risposte
L’esercizio riportato nello schizzo a mano seguente , che avevo salvato da un vecchio thread, riporta una situazione del tutto analoga, dove anziché un tubicino si considera un disco rotante con una scanalatura diametrale in cui scivola senza attrito una data massa $m$ :
Assunte coordinate polari $rho(t)$ e $theta(t)$ , e le condizioni iniziali per t=0, dopo l’avvio della rotazione non c’è momento di forze esterne, quindi il momento angolare si conserva; inoltre si conserva pure l’energia visto che la scanalatura è liscia ; tieni anche presente quanto detto da Faussone (vedi link sotto) :
Si ha un momento angolare iniziale dato da : $L_0 = \omega_0 (I + mr^2) $ , dove $I= 1/2MR^2$ è il momento di inerzia assiale del disco, qui non trascurato. Devi applicare la conservazione del momento angolare, e si trova che la velocità angolare finale è data da :
$ omega _f = omega _0*(I+mr^2)/(I+mR^2)$
da cui trovi la componente tangenziale della velocità della massa quando esce dalla scanalatura.
Dalla conservazione dell’energia si ricava che:
$dotrho_f^2 = omega_0^2(R^2 -r^2) (I+mr^2)/(I+mR^2)$
dove al primo membro hai il quadrato della velocità radiale finale della massa. Ho omesso di ricopiare i passaggi intermedi , ma non sono difficili, basta scrivere per bene la formula dell’energia cinetica e la sua conservazione.
Comunque il problema era già stato trattato in passato :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ra#p875295
avevo salvato l’immagine proprio da questa discussione sul disco con scanalatura :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 10#p875762
Assunte coordinate polari $rho(t)$ e $theta(t)$ , e le condizioni iniziali per t=0, dopo l’avvio della rotazione non c’è momento di forze esterne, quindi il momento angolare si conserva; inoltre si conserva pure l’energia visto che la scanalatura è liscia ; tieni anche presente quanto detto da Faussone (vedi link sotto) :
non agendo forze che compiono lavoro, anche l'energia cinetica del sistema si conserva.
Dalla prima equazione si ricava la componente di velocità perpendicolare alla direzione del tubo nell'istante in cui la pallina lascia il tubo e dalla seconda la componente radiale.
Si ha un momento angolare iniziale dato da : $L_0 = \omega_0 (I + mr^2) $ , dove $I= 1/2MR^2$ è il momento di inerzia assiale del disco, qui non trascurato. Devi applicare la conservazione del momento angolare, e si trova che la velocità angolare finale è data da :
$ omega _f = omega _0*(I+mr^2)/(I+mR^2)$
da cui trovi la componente tangenziale della velocità della massa quando esce dalla scanalatura.
Dalla conservazione dell’energia si ricava che:
$dotrho_f^2 = omega_0^2(R^2 -r^2) (I+mr^2)/(I+mR^2)$
dove al primo membro hai il quadrato della velocità radiale finale della massa. Ho omesso di ricopiare i passaggi intermedi , ma non sono difficili, basta scrivere per bene la formula dell’energia cinetica e la sua conservazione.
Comunque il problema era già stato trattato in passato :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ra#p875295
avevo salvato l’immagine proprio da questa discussione sul disco con scanalatura :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 10#p875762
Ero interessato esclusivamente a una spiegazione precisa del perché l assenza di inerzia implica un moto rettilineo uniforme da parte della pallina
In un sistema di riferimento solidale col tubicino, quindi rotante rispetto ad un riferimento assoluto, è fuor di dubbio che la pallina è costretta a muoversi lungo l’asse del tubo, quindi il moto è rettilineo. Ma che sia anche uniforme non è vero, anche se consideri trascurabile il momento di inerzia del tubo rispetto all’asse di rotazione. come vedi, c’è una formula che dà la velocità, che nel riferimento assoluto è la componente radiale della velocità assoluta , la quale è zero all’inizio del moto e diversa da zero lungo tutto il tubo. Nel post ho scritto la formula di quella finale $dot\rho_f$. Questo vale sia se consideri $I$ sia se non lo consideri. LA pallina, nel riferimento rotante, è sottoposta a accelerazione centrifuga e quindi forza centrifuga, variabile con la distanza dall’asse, e alla forza di Coriolis, equilibrata dal vincolo (il tubo) .
Il mio libro portava come soluzione “un moto rettilineo uniforme“, ecco perché ho sostenuto ciò. Inoltre secondo il mio libro è rettilineo rispetto a un sistema solidale al suolo.
A questo punto ho il vago sospetto che il tuo libro stia parlando di altro, per cui ti chiedo di riportare esattamente il testo del tuo esercizio.
Se sto al centro di una piattaforma rotante, e lancio radialmente una palla, questa si muove, rispetto al suolo, di moto rettilineo uniforme, con la velocità costante $vecv$ impressa dalle mie mani; nel frattempo la piattaforma continua a ruotare sotto alla palla, che quindi rispetto al riferimento rotante appare descrivere una traiettoria curva. Questo è un esempio che spesso si fa, per descrivere la forza apparente di Coriolis nel riferimento rotante.
Attendo il tuo testo.
Se sto al centro di una piattaforma rotante, e lancio radialmente una palla, questa si muove, rispetto al suolo, di moto rettilineo uniforme, con la velocità costante $vecv$ impressa dalle mie mani; nel frattempo la piattaforma continua a ruotare sotto alla palla, che quindi rispetto al riferimento rotante appare descrivere una traiettoria curva. Questo è un esempio che spesso si fa, per descrivere la forza apparente di Coriolis nel riferimento rotante.
Attendo il tuo testo.
Il testo è esattamente quello che ho riportato nel messaggio iniziale. Si chiede la legge orario rispetto a un sistema solidale al suolo quando il momento di inerzia è trascurabile.È possibile che ci sia un errore nel risultato?
“Momento di inerzia trascurabile “ significa che quando scrivi le due equazioni di conservazione devi assumere $I=0$ . In altri termini, il tubo c’è ma è come se non ci fosse dal punto di vista dinamico.
Non so se c’è un errore nei risultati, che non conosco, e non conosco il tuo svolgimento.
Non so se c’è un errore nei risultati, che non conosco, e non conosco il tuo svolgimento.
Il risultato è questo: moto RETTILINEO UNIFORME con la velocità tangenziale iniziale
@Shackle
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Credo sia quello che intende il problema, ma non riesco a giustificarlo con dei conti
@Alex
una cosa cosí va dimostrata analiticamente, non semplicemente pensata. Non facciamo fisica a spanne; se il libro spara una sentenza e dice che il moto assoluto è rettilineo uniforme , senza giustificazione alcuna, commette un errore diseducativo.
una cosa cosí va dimostrata analiticamente, non semplicemente pensata. Non facciamo fisica a spanne; se il libro spara una sentenza e dice che il moto assoluto è rettilineo uniforme , senza giustificazione alcuna, commette un errore diseducativo.
Mica lo devo dimostrare io, io mi limito a immaginare 
Comunque il libro chiede proprio quello, il testo non presuppone quel tipo di movimento ma richiede di dimostrarlo.
Almeno così mi pare ...
Comunque il libro chiede proprio quello, il testo non presuppone quel tipo di movimento ma richiede di dimostrarlo.
Almeno così mi pare ...
"axpgn":
@Shackle
Cordialmente, Alex
no un caso del genere è impossibile a causa del vincolo che obbliga il moto della particella nella direzione radiale.
Vero è che, invece, trascurando il momento di inerzia il moto della particella lungo la cannuccia è asintoticamente rettilineo uniforme in quanto lungo la direzione radiale si ha una legge oraria del tipo \(r(t) \approx \sqrt{r_0 + c t^2}\) e la rotazione tende a rallentarsi (in maniera non uniforme) per soddisfare la conservazione, fra l'altro, del momento angolare.
... ovviamente lascio ad altri dimostrarlo in maniera rigorosa ... sperando di non aver pensato cappellate
ps ah, leggo ora, questo tubicino è lungo solo 20cm e la cosa fa una gran tanta differenza. Certo, una volta uscito dalla cannuccia, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, ma se davvero il testo intende questo - cosa che dubito fortemente - mi parrebbe, insomma, la scoperta dell'acqua calda. Cosa possa intendere il testo, a questo punto, mi è abbastanza ignoto.
"Lampo1089":
no un caso del genere è impossibile a causa del vincolo che obbliga il moto della particella nella direzione radiale.
Perché dici che è impossibile?
I tre segmenti neri sono tre posizioni del tubicino mentre il punto rosso rappresenta tre posizioni della pallina che scorre nel tubicino.
La pallina si muove lungo il tubicino in direzione radiale proprio perché il tubicino è un raggio
ma rispetto ad un osservatore esterno, solidale col terreno, la pallina si muove di moto rettilineo.Se poi i conti collimino o meno non è un mio problema
Cordialmente, Alex
no sorry in effetti ci potrebbe anche stare.
E in effetti:
\[
\frac{d}{dt}\left(m r(t)^2 \theta'(t) \right) = 0
\]
implica che:
\[
r(t)^2\theta'(t) = r_0^2 \omega_0
\]
e l'equazione del moto radiale:
\[
m r''(t) - m r(t) \theta'(t)^2 = 0
\]
puo' essere semplificata in:
\[
r''(t) = \frac{\omega_0^2 r_0^4}{r(t)^3}
\]
ha come soluzione (con le condizioni al contorno opportune) \(r(t) = r_0 \sqrt{1 + \omega_0^2 t^2}\).
A questo punto si trova la legge per il moto angolare (integrando la prima eq, sostituendo l'espressione di r in funzione del tempo) \(\theta(t) = \arctan(\omega_0 t)\)
Basta trasformare da polare a cartesiano e i giochi sono fatti
... che fra l'altro era il risultato a cui ero giunto anche prima, prima di accorgermi della lunghezza della cannuccia, ma mica mi sono preso la briga di fare due conti e mettere tutto in coordinate cartesiane
A questo punto resta da capire che accade con un momento di inerzia non trascurabile. Qualche idea ce l'ho ma dovrei pensarci meglio (la questione è: con un momento di inerzia trascurabile il fatto che il corpo si muova di moto rettilineo uniforme vuol dire che su esso non agiscono forze, per cui in particolare il vincolo non esercita forze. Se il momento di inerzia è non-trascurabile, questa cosa è ancora vera?)
---
edit: ho sistemato degli errori nei passaggi intermedi
E in effetti:
\[
\frac{d}{dt}\left(m r(t)^2 \theta'(t) \right) = 0
\]
implica che:
\[
r(t)^2\theta'(t) = r_0^2 \omega_0
\]
e l'equazione del moto radiale:
\[
m r''(t) - m r(t) \theta'(t)^2 = 0
\]
puo' essere semplificata in:
\[
r''(t) = \frac{\omega_0^2 r_0^4}{r(t)^3}
\]
ha come soluzione (con le condizioni al contorno opportune) \(r(t) = r_0 \sqrt{1 + \omega_0^2 t^2}\).
A questo punto si trova la legge per il moto angolare (integrando la prima eq, sostituendo l'espressione di r in funzione del tempo) \(\theta(t) = \arctan(\omega_0 t)\)
Basta trasformare da polare a cartesiano e i giochi sono fatti
... che fra l'altro era il risultato a cui ero giunto anche prima, prima di accorgermi della lunghezza della cannuccia, ma mica mi sono preso la briga di fare due conti e mettere tutto in coordinate cartesiane
A questo punto resta da capire che accade con un momento di inerzia non trascurabile. Qualche idea ce l'ho ma dovrei pensarci meglio (la questione è: con un momento di inerzia trascurabile il fatto che il corpo si muova di moto rettilineo uniforme vuol dire che su esso non agiscono forze, per cui in particolare il vincolo non esercita forze. Se il momento di inerzia è non-trascurabile, questa cosa è ancora vera?)
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edit: ho sistemato degli errori nei passaggi intermedi
Sostituendo tutto si ottiene che il moto è uniforme e velocità costante rispetto a un sistema solidale al suolo?
Provare per credere 
Silenzio tombale ... 
Peccato, l'analisi della differenze tra assenza di momento di inerzia/momento di inerzia non trascurabile sarebbe potuto essere molto interessante, ma a questo punto mi sembra inutile andare oltre.
Peccato, l'analisi della differenze tra assenza di momento di inerzia/momento di inerzia non trascurabile sarebbe potuto essere molto interessante, ma a questo punto mi sembra inutile andare oltre.
"Lampo1089":
Silenzio tombale ...
"Lampo1089":
Provare per credere
Scusami ma Lui ci ha provato
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