Correzione esercizio fisica II

[ludwigZero]

Salve a tutti, vorrei confrontarmi su questo esercizio e ricevere correzioni se ve ne sono
Il testo è questo:
http://tinypic.com/r/2s6lhrb/6

io l'ho risolto così:
1) $q=q_1 + q_2$

$q_1/q_2 = r_1/r_2$
da cui:
$(q - q_2)/q_2 = r_1/r_2$

$q = q_2 + r_1/r_2 q_2 = q_2 ( r_1/r_2 +1)$

da cui trovo $q_1$ e $q_2$

2) non mi si dice se vuole l'energia elettrostatica iniziale del sistema o finale, li calcolo entrambi:
calcolo la capacità delle sfere:
$C_1 = 4*\pi * \epsilon_0 r_1$

$C_2 = 4*\pi * \epsilon_0 r_2$

oppure con il potenziale:
$V_1 = k q_1/r_1$
$V_2 = k q_2/r_2$

$U_i = 1/2 q V$
dove per $V$ credo di mettere $V_(oo) =0$
mentre per quella finale:
$U_f = 1/2 ((q_1)^2/C_1 + (q_2)^2/C_2)$


3) non so come 'dimostrare' ma affinchè sia minima l'energia elettrostatica bisogna porre come condizione $V_1 = V_2$
ma dimostrazione vera e propria non so come iniziarla *_*
indizi?

[ludwigZero]

up

[Palliit]

Ciao. Proverei così (se non è troppo tardi):

esprimi l'energia potenziale elettrostatica in funzione di una delle due cariche, per esempio:

[tex]U(q_2)=\frac{q_{1}^{2}}{2C_1}+\frac{q_{2}^{2}}{2C_2}=\frac{(q-q_2)^{2}}{2C_1}+\frac{q_{2}^{2}}{2C_2}=\frac{C_2(q-q_2)^{2}+C_1q_{2}^{2}}{2C_1C_2}=\frac{(C_1+C_2)\cdot q_{2}^{2}-2C_2\cdot q\cdot q_{2}+q^2\cdot C_2}{2C_1C_2}[/tex]__;

ora (trascurando il denominatore che è una costante positiva) si rende minimo il numeratore, cosa che si può fare per via elementare: è l'equazione, nel piano $(U,q_2)$, di una parabola a concavità verso l'alto, quindi minima nel vertice, che corrisponde all'ascissa:

[tex]q_2=\frac{\not{2}C_2\cdot q}{\not{2}(C_1+C_2)}=\frac{4 \pi\varepsilon r_2}{4 \pi\varepsilon(r_1+r_2)}q=\frac{r_2}{r_1+r_2}q[/tex]__,

lo stesso risultato che hai trovato prima.