Correzione al secondo ordine della teoria perturbativa.
Salve a tutti,
ultimamente svolgendo un paio di temi d'esame di struttura della materia è uscita questa domanda :
"determinare il segno che deve avere la correzione e del secondo ordine (della teoria perturbativa NON dipendente dal tempo) allo stato fondamentale,spiegandone il motivo".
Io risponderei che visto che consideriamo una serie, per correzioni d'ordine maggiore, il valore convergerà uniformemente al valore esatto, pertanto visto che tale convergenza è rapida, se il primo termine di correzione è positivo, allora esso si troverà al di sotto dello zero, perché si cerca di arrivare al valore corretto, per creare una sorta di sinusoide che converge ad ordini infiniti.
Inoltre posso dire che è negativa perché dalla formula della correzione ordine avrò sempre che il denominatore è negativo!visto che $(E_0 - E_m)$ con $E_0$ che rappresenta l'energia minima!
secondo voi la prima parte è ragionevole?
è un pò campata in aria vero?
ultimamente svolgendo un paio di temi d'esame di struttura della materia è uscita questa domanda :
"determinare il segno che deve avere la correzione e del secondo ordine (della teoria perturbativa NON dipendente dal tempo) allo stato fondamentale,spiegandone il motivo".
Io risponderei che visto che consideriamo una serie, per correzioni d'ordine maggiore, il valore convergerà uniformemente al valore esatto, pertanto visto che tale convergenza è rapida, se il primo termine di correzione è positivo, allora esso si troverà al di sotto dello zero, perché si cerca di arrivare al valore corretto, per creare una sorta di sinusoide che converge ad ordini infiniti.
Inoltre posso dire che è negativa perché dalla formula della correzione ordine avrò sempre che il denominatore è negativo!visto che $(E_0 - E_m)$ con $E_0$ che rappresenta l'energia minima!
secondo voi la prima parte è ragionevole?
è un pò campata in aria vero?
Risposte
Domanda classica (se mi consenti il gioco di parole). La risposta la trovi sul Landau §38: poichè $E_{n}^{(2)}=Sigma_m \frac{|V_{mn}|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}$, si applicano le considerazioni di segno che hai fatto (poi mi sembra proprio la risposta che hai fornito). La prima parte sono d'accordo con te nel considerarla un po' vaga.
quantitativamente potrei dimostrarla la convergenza?
oppure bastano queste ipotesi?
oppure bastano queste ipotesi?
Credo che le ipotesi siano troppo generiche. In teoria dei campi è usuale avere a che fare con serie perturbative divergenti, ma se ben ricordo, un esempio di divergenza trattata in modo più elementare si trova sul Mattuck (A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, in genere facilmente reperibile in biblioteca, non avendolo sottomano non so darti riferimenti precisi), per l'interazione coulombiana tra due elettroni, che dava una correzione finita al primo ordine ed infinita agli ordini superiori. Forse può servire come controesempio.
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