Correzione al pendolo

[duff18-votailprof]

Dove posso trovare una pagina in cui si discute su come per affrontare il problema del pendolo nel caso in cui l'ampiezza delle oscillazioni non sia così piccola da poter approssimare a :
$ theta (t) = Acos(omegat + phi) $

?

[Faussone]

"duff18":Dove posso trovare una pagina in cui si discute su come per affrontare il problema del pendolo nel caso in cui l'ampiezza delle oscillazioni non sia così piccola da poter approssimare a :
$ theta (t) = Acos(omegat + phi) $

?

Non esiste una soluzione in termini di funzioni elementari per il pendolo vero.
Qui trovi alcune correzioni da apportare per migliorare la stima del periodo.

[duff18-votailprof]

Lo chiedevo perchè stavo provando a risolvere questo problema (Morin):

[Faussone]

Lì ti descrive come puoi arrivare a approssimare il periodo.

Per arrivare al primo integrale basta che osservi che la velocità del pendolo che parte con angolo $theta_0$ ad un angolo $theta$ la puoi calcolare con la conservazione dell'energia:

[tex]\frac{1}{2}mv^2(\theta)=mgl(cos \theta-cos \theta_0)[/tex]

[tex]v(\theta)=\sqrt{2gl(cos \theta -cos \theta_0)}[/tex]

Il tempo che impiega il pendolo a percorrere un arco di cerchio molto piccolo [tex]dx[/tex] sarà pari a [tex]dt=dx/v[/tex] per cui il tempo che impiega da [tex]\theta_0[/tex] ad angolo 0 (sulla verticale) sarà

[tex]\int_0^{T/4} dt = \int_0^{\theta_0} \frac{dx}{\sqrt{2gl(cos \theta - cos \theta_0)}}[/tex]

dove [tex]T[/tex] è il periodo.

Quindi dato che [tex]dx=l d \theta[/tex] si ha

[tex]\frac{T}{4}=\int_0^{\theta_0} \frac{l d \theta}{\sqrt{2gl(cos \theta - cos \theta_0)}}[/tex]

che portando dentro la radice il 4 e [tex]l[/tex] è lo stesso integrale dell'inizio.

L'integrale non è risolvibile analiticamente attraverso funzioni elementari, ma puoi approssimarlo seguendo la tecnica descritta...