Corpo vicino alla sup. terrestre: accelerazione di gravità
Il testo dice:
"Calcolare il valore dell'accelerazione di gravità percepita da un corpo che si trovi in prossimità della Terra, tenendo conto del moto di rotazione della Terra su se stessa (cioè dal punto di vista di un sistema di riferimento non inerziale, con origine nel centro della Terra in rotazione con la Terra), in funzione della velocità angolare $ omega $ della Terra e della velocità del corpo $ vec(v') $ rispetto ad un osservatore sulla Terra."
Mia tentativo di soluzione:
Sistema di Riferimento Inerziale = SRI
Sistema di Riferimento Non Inerziale = SRNI
Dalla teoria sappiamo che: (quelli in questa espressione sono tutti vettori)
$ a = a' + a_{co} + a_{tr} $
Dove:
$ a $ è l'accelerazione misurata nel SRI
$ a' $ è l'accelerazione misurata nel SRNI
$ a_{co} = 2omega xx v' $ è l'accelerazione di Coriolis
$ a_{tr} = a_o + alpha xx r' + omega xx (omega xx r') $ è l'accelerazione di trascinamento
Nel nostro caso abbiamo che:
$ a = g $ cioè l'accelerazione misurata nel SRI è la normale accelerazione di gravità
$ a' = g' $
$ a_{co} $ non so se ci sia o meno accelerazione di Coriolis in questo caso
$ a_{tr} = omega xx (omega xx r') $ in quanto il SRI ha origine coincidente con il SRNI quindi $a_o' = 0$ e il SRNI ha velocità angolare costante, quindi $ alpha = 0 $ .
Quindi l'accelerazione misurata nel SRNI è:
$ g' = g - a_{co} - omega xx (omega xx r') $
Quindi il mio dubbio è per quanto riguarda l'accelerazione di Coriolis.
Matematicamente l'accelerazione di Coriolis è zero se v' è parallelo ad omega, ma come faccio a sapere la direzione di v' ??
"Calcolare il valore dell'accelerazione di gravità percepita da un corpo che si trovi in prossimità della Terra, tenendo conto del moto di rotazione della Terra su se stessa (cioè dal punto di vista di un sistema di riferimento non inerziale, con origine nel centro della Terra in rotazione con la Terra), in funzione della velocità angolare $ omega $ della Terra e della velocità del corpo $ vec(v') $ rispetto ad un osservatore sulla Terra."
Mia tentativo di soluzione:
Sistema di Riferimento Inerziale = SRI
Sistema di Riferimento Non Inerziale = SRNI
Dalla teoria sappiamo che: (quelli in questa espressione sono tutti vettori)
$ a = a' + a_{co} + a_{tr} $
Dove:
$ a $ è l'accelerazione misurata nel SRI
$ a' $ è l'accelerazione misurata nel SRNI
$ a_{co} = 2omega xx v' $ è l'accelerazione di Coriolis
$ a_{tr} = a_o + alpha xx r' + omega xx (omega xx r') $ è l'accelerazione di trascinamento
Nel nostro caso abbiamo che:
$ a = g $ cioè l'accelerazione misurata nel SRI è la normale accelerazione di gravità
$ a' = g' $
$ a_{co} $ non so se ci sia o meno accelerazione di Coriolis in questo caso
$ a_{tr} = omega xx (omega xx r') $ in quanto il SRI ha origine coincidente con il SRNI quindi $a_o' = 0$ e il SRNI ha velocità angolare costante, quindi $ alpha = 0 $ .
Quindi l'accelerazione misurata nel SRNI è:
$ g' = g - a_{co} - omega xx (omega xx r') $
Quindi il mio dubbio è per quanto riguarda l'accelerazione di Coriolis.
Matematicamente l'accelerazione di Coriolis è zero se v' è parallelo ad omega, ma come faccio a sapere la direzione di v' ??
Risposte
La componente di coriolis c'è, ma geometricamente non agisce su g. V' non è parallelo ad omega, ma la sua componente V'sin(teta) lo è( immaginando che il corpo cada in prossimità della nostra superficie terrestre con una inclinazione rispetto all'asse z dove è omega di un angolo teta). Quindi c'è solo la componente -2omegav'cos(teta)per(versore assey) (calcolo vettoriale tra v'=-v'sin(teta)per(versore assez)-vcos(teta)per(versore asse x) e omega che ha componenti solo su z) che non ha nulla a che fare con la nostra g che dipende da versore z e x, e omegaX(omegaXr') che stavolta influenza g ma di una quantità minuscola( dovrebbe stare sul versore x direzione positiva). Inoltre ti ricordo che il segno dell'accellerazione è positivo, il motivo per cui i corpi in prossimità della superficie seguono il verso di rotazione della terra di una minima accellerazione( quella di coriolis).
Scusami franzcecco ma è tipo il quarto/quinto tuo messaggio che cerco di decifrare.. potresti scrivere le formule in maniera decente 
usando anche il tool messo a disposizione dal sito, molto molto semplice da usare
usando anche il tool messo a disposizione dal sito, molto molto semplice da usare
Piccolo preambolo: a me non piace molto il testo del problema (se è come lo riporti), io avrei chiesto di calcolare la forza di gravità (e la conseguente accelerazione di gravità) che risentirebbe un oggetto in moto in prossimità della superficie terrestre per un osservatore solidale con la Terra.
Detto questo occorre tener conto delle forze apparenti, la forza totale percepita sarà allora:
$vec F_{"percepita"} =m vec g - m vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) -2 m vec(omega) \times vec(v_r)$
ovviamente nel tener conto della somma vettoriale occorre considerare la latitudine a cui ci si trova.
Prova a vedere quello che ti viene fuori immaginando di trovarti all'equatore, al polo nord e alla nostra latitudine per esempio (occhio che al polo se ti muovi sulla superficie terrestre, come credo si presuppone, la forza di Coriolis è ortogonale a quella di gravità che vede un osservatore assoluto esterno, ma non vuol dire che il suo effetto sia proprio nullo per l'osservatore solidale con la Terra).
Detto questo occorre tener conto delle forze apparenti, la forza totale percepita sarà allora:
$vec F_{"percepita"} =m vec g - m vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) -2 m vec(omega) \times vec(v_r)$
ovviamente nel tener conto della somma vettoriale occorre considerare la latitudine a cui ci si trova.
Prova a vedere quello che ti viene fuori immaginando di trovarti all'equatore, al polo nord e alla nostra latitudine per esempio (occhio che al polo se ti muovi sulla superficie terrestre, come credo si presuppone, la forza di Coriolis è ortogonale a quella di gravità che vede un osservatore assoluto esterno, ma non vuol dire che il suo effetto sia proprio nullo per l'osservatore solidale con la Terra).
Ok, la differenza tra forza percepita e forza di gravità ($ mvec(g) $) sarà maggiore all'equatore e minore ai poli. Questo dal momento che il vettore r dipende da $ theta $, dove $ theta $ è l'angolo tra asse verticale z e raggio che collega il centro della Terra con il corpo sulla superficie.
La quantità $ momega xx (omega xx r) = momega^2r $ aumenta all'aumentare di r.
- all'equatore: $ r = R_T $ dove $ R_T $ è il raggio della Terra
- ai poli io approssimo il vettore r = 0.
- alla nostra latitudine (45°) : $ r = R_Tsin(theta) = R_Tsin(pi/4) = R_Tsqrt(2)/2 $
Fin qui ci sono. Ora il problema è sempre e solo sulla forza di Coriolis. Io non conosco a priori il vettore $ v_r $, quindi come faccio a calcolare tale forza ??
(comunque ho riportato fedelmente il testo)
La quantità $ momega xx (omega xx r) = momega^2r $ aumenta all'aumentare di r.
- all'equatore: $ r = R_T $ dove $ R_T $ è il raggio della Terra
- ai poli io approssimo il vettore r = 0.
- alla nostra latitudine (45°) : $ r = R_Tsin(theta) = R_Tsin(pi/4) = R_Tsqrt(2)/2 $
Fin qui ci sono. Ora il problema è sempre e solo sulla forza di Coriolis. Io non conosco a priori il vettore $ v_r $, quindi come faccio a calcolare tale forza ??
(comunque ho riportato fedelmente il testo)
Il testo chiede di determinare l'accelerazione percepita da un corpo rispetto a un osservatore solidale alla terra che vede il corpo con velocità relativa $vec(v)$ rispetto alla terra che ha velocità angolare $vec(omega)$.
Risulta:
$vec(a_r)=vec(g)-omega^2vec(r)-2vec(omega)xxvec(v)$
Questa è la risposta, niente di più e niente di meno.
Risulta:
$vec(a_r)=vec(g)-omega^2vec(r)-2vec(omega)xxvec(v)$
Questa è la risposta, niente di più e niente di meno.
Ok sì, hai ragione.. grazie! Potresti spiegarmi come varia la forza di Coriolis alle diverse latitudini che mi hai citato ?
"Vulplasir":
Il testo chiede di determinare l'accelerazione percepita da un corpo rispetto a un osservatore solidale alla terra che vede il corpo con velocità relativa $vec(v)$ rispetto alla terra che ha velocità angolare $vec(omega)$.
Risulta:
$vec(a_r)=vec(g)-omega^2vec(r)-2vec(omega)xxvec(v)$
Questa è la risposta, niente di più e niente di meno.
Certo, quella è la risposta, solo che a me sembra più interessante, per capire meglio alcuni concetti, vederla dal punto di vista della forze apparenti, che trovo molto più utile didatticamente che fare una scomposizione delle accelerazioni. Ovvio che il risultato è il medesimo (a parte una massa a fattore). E' una questione di gusti
@igol10
Se hai capito come si arriva alla formula della forza e dell'accelerazione che vede un osservatore solidale alla Terra, si tratta poi di applicare le formule.
Prova a fare il caso alle diverse latitudini che ti dicevo, magari assumi che il corpo si muova in direzione sud-nord sulla superficie terrestre, tanto per fissare un caso, e butta giù i calcoli. Alla fine si tratta di saper fare moltiplicazioni vettoriali e scomposizioni di vettori.
Prova e se hai dubbi chiedi, ma butta giù le formule (che è la parte per me meno interessante rispetto a capire bene il concetto di forze apparenti).
Rispondo quotandomi:
La componente di coriolis c'è, ma geometricamente non agisce su g. $ V'=-V'sin(theta)*uz -V'cos(theta)*ux $ non è parallelo ad omega, ma la sua componente uz lo è( immaginando che il corpo cada in prossimità della nostra superficie terrestre con una inclinazione rispetto all'asse z di un angolo $theta$). Quindi c'è solo la componente di coriolis relativa al piano ortogonale all'asse z, in particolare sull'asse y. Che non influisce geometricamente con la tua g poichè essa ha componenti solo sull'asse z e x. In sostanza, ti rimane solo l'altra componente $ omegaxx (omegaxxr') $ , che stavolta sarà sull'asse x, di verso opposto alla componente di g su x appunto... quindi influisce, seppur minimamente. Spero di essere stato più chiaro, per quanto riguarda la figura immagina la tua circonferenza terrestre e l'asse di rotazione z, ortogonalmente avrai l'asse x e l'asse y che è perpendicolare al foglio (entra nel foglio il verso positivo). Poi immaginando V' con direzione coincidente alla tua g (quindi ha una certa inclinazione rispetto all'asse x, ma venendo verso il pianeta terra avrà componenti negative rispetto al nostro riferimento).
La componente di coriolis c'è, ma geometricamente non agisce su g. $ V'=-V'sin(theta)*uz -V'cos(theta)*ux $ non è parallelo ad omega, ma la sua componente uz lo è( immaginando che il corpo cada in prossimità della nostra superficie terrestre con una inclinazione rispetto all'asse z di un angolo $theta$). Quindi c'è solo la componente di coriolis relativa al piano ortogonale all'asse z, in particolare sull'asse y. Che non influisce geometricamente con la tua g poichè essa ha componenti solo sull'asse z e x. In sostanza, ti rimane solo l'altra componente $ omegaxx (omegaxxr') $ , che stavolta sarà sull'asse x, di verso opposto alla componente di g su x appunto... quindi influisce, seppur minimamente. Spero di essere stato più chiaro, per quanto riguarda la figura immagina la tua circonferenza terrestre e l'asse di rotazione z, ortogonalmente avrai l'asse x e l'asse y che è perpendicolare al foglio (entra nel foglio il verso positivo). Poi immaginando V' con direzione coincidente alla tua g (quindi ha una certa inclinazione rispetto all'asse x, ma venendo verso il pianeta terra avrà componenti negative rispetto al nostro riferimento).
Allora se sono nell'emisfero nord e mi sposto dall'equatore verso il polo, la forza di Coriolis spingerà il corpo verso destra.
Allora il vettore velocità scomposto nelle sue componenti è:
$ vec(v)' = v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x $
Quindi:
$vec(F)_{co} = -2mvec(omega) xx vec(v)' = -2momegavec(u)_z xx (v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x) = -2m(omegav'_x)(vec(u)_z xx vec(u)_x)$
Cioè:
$ vec(F)_{co} = -2momegav'_xvec(u)_y $
Non so andare avanti e non sono affatto sicuro di quello che ho fatto fin'ora.
Allora il vettore velocità scomposto nelle sue componenti è:
$ vec(v)' = v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x $
Quindi:
$vec(F)_{co} = -2mvec(omega) xx vec(v)' = -2momegavec(u)_z xx (v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x) = -2m(omegav'_x)(vec(u)_z xx vec(u)_x)$
Cioè:
$ vec(F)_{co} = -2momegav'_xvec(u)_y $
Non so andare avanti e non sono affatto sicuro di quello che ho fatto fin'ora.
Allora, supponiamo che il corpo di massa $m$ si muova sulla superficie della Terra (di raggio $R_T$) ad una certa latitudine $phi$ e in direzione nord con velocità $V$.
Chiamiamo $hat r$ il versore diretto verso il centro della Terra, $hat n$ il versore diretto verso nord e $hat e$ quello diretto verso est.
Per la forza risultante avremmo, facendo i conti con i vettori utilizzando la formula vista sopra:
$vec F=m*(g - omega^2 R_T cos^2 phi) * hat r -m*omega^2 R_T cos phi sin phi * hat n + 2 m* omega V sin phi * hat e$
per cui in questo caso alla nostra latitudine ($phi$ circa $40°$) la forza di gravità avrà anche una componente verso sud e e verso est, se ci muoviamo verso nord; all'equatore ($phi=0$) invece, sempre muovendosi verso nord la forza di gravità sarà sempre diretta verso il centro della Terra (ma con intensità minore); al polo nord infine ($phi=90°$) la forza di gravità sarà solo deviata verso destra rispetto alla direzione del moto (non ha senso al polo dire di muoversi verso nord).
Chiamiamo $hat r$ il versore diretto verso il centro della Terra, $hat n$ il versore diretto verso nord e $hat e$ quello diretto verso est.
Per la forza risultante avremmo, facendo i conti con i vettori utilizzando la formula vista sopra:
$vec F=m*(g - omega^2 R_T cos^2 phi) * hat r -m*omega^2 R_T cos phi sin phi * hat n + 2 m* omega V sin phi * hat e$
per cui in questo caso alla nostra latitudine ($phi$ circa $40°$) la forza di gravità avrà anche una componente verso sud e e verso est, se ci muoviamo verso nord; all'equatore ($phi=0$) invece, sempre muovendosi verso nord la forza di gravità sarà sempre diretta verso il centro della Terra (ma con intensità minore); al polo nord infine ($phi=90°$) la forza di gravità sarà solo deviata verso destra rispetto alla direzione del moto (non ha senso al polo dire di muoversi verso nord).
"igol10":
Allora se sono nell'emisfero nord e mi sposto dall'equatore verso il polo, la forza di Coriolis spingerà il corpo verso destra.
Allora il vettore velocità scomposto nelle sue componenti è:
$ vec(v)' = v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x $
Quindi:
$vec(F)_{co} = -2mvec(omega) xx vec(v)' = -2momegavec(u)_z xx (v'_zvec(u)_z + v'_xvec(u)_x) = -2m(omegav'_x)(vec(u)_z xx vec(u)_x)$
Cioè:
$ vec(F)_{co} = -2momegav'_xvec(u)_y $
Non so andare avanti e non sono affatto sicuro di quello che ho fatto fin'ora.
Se sei sulla terra e ti muovi idealmente verso l'equatore su un meridiano ideale da uno dei due poli, segui faussone(credo), se stai considerando un corpo che cade in prossimità della terra, segui la mia spiegazione... la componente di coriolis cambia inevitabilmente segno nel caso ti muova idealmente sul un meridiano, l'hai scritto tu stesso correttamente. Per quanto riguarda-Dove sta il mio vettore coriolis?- fai il prodotto vettoriale tenendo conto dei segni!
In effetti, benché il quesito iniziale non fosse chiarissimo, forse ha più senso considerare che il corpo non si muove sulla superficie terrestre in direzione nord ma che si muova sotto l'azione della forza di gravità che lo attira verso il centro della Terra (cada quindi lungo $hat r$).
Si possono a questo punto rifare i conti nei 3 casi di prima, ovviamente l'unica cosa che cambia è la forza di Coriolis che sarà questa volta massima all'equatore, e diretta verso est, e nulla ai poli.
Si possono a questo punto rifare i conti nei 3 casi di prima, ovviamente l'unica cosa che cambia è la forza di Coriolis che sarà questa volta massima all'equatore, e diretta verso est, e nulla ai poli.
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