Corpo rigido: momento d'inerzia e trasmissione di forze
Ciao a tutti, è un po' che seguo questo forum per i vari dubbi che ho avuto durante lo studio e nel mio primo post non poteva che esserci un grazie per l'aiuto che, indirettamente, questo forum mi ha dato.
Passiamo ora subito ai vari dubbi. Inizio presentando questo esercizio:
Due dischi di ferro, di raggi $ R_1 = 0.1 m $ e $ R_2= 2 R_1 $ e masse $ M_1 = 2 kg $, $ M_2 = 1.5 M_1 $,sono fissati solidamente uno all'altro in modo tale da risultare coassiali. Essi possono ruotare senza attrito attorno all'asse verticale passante per il centro di massa. Sul disco di raggio $ R_1 $ è avvolto un filo a cui è appesa la massa $ m = 1 kg $. All'istante $ t=0 $ la massa $m$, inizialmente in quiete, viene lasciata scendere. a) Calcolare il tempo $ t_0 $ necessario perché essa percorra $ h = 10 m $. Sul bordo del disco di raggio $ R_2 $ è fissato un magnetino di massa $ m_0 = 10^-2 kg $ e dimensioni trascurabili; la forza magnetica che lo tiene attaccato al disco vale $ F_m = 1.5 N $. b) Dire se al tempo $ t_0 $ il magnetino è ancora attaccato al disco.
Per ora lasciamo da parte la seconda parte del problema. Il mio ragionamento è stato questo:
Facendo il diagramma di corpo libero, con l'asse y con verso positivo verso l'alto, si ha che quando il corpo non è più in quiete, chiamando $T$ la tensione del filo sul corpo, $T-mg=ma$, con l'accelerazione $a$ del corpo negativa, ovvero rivolta verso il basso. Mettendo l'origine degli assi nella posizione della massa $m$ quando è in quiete la legge oraria assume la forma $x=1/2 a t^2$, da cui $t=sqrt(2x/a)$. L'accelerazione che subisce il corpo $m$ è uguale all'accelerazione tangenziale impressa sul disco, che a sua volta è uguale al prodotto tra l'accelerazione angolare e il raggio del disco, quindi $a=\alpha * R_1$. L'accelerazione angolare $\alpha$ mi è data da $\vec M = I * \alpha$, dove $\vec M$ è il momento della forza e $I$ è il momento d'inerzia. Il momento d'inerzia è dato da $1/2 M_1 R_1^2 + 1/2 M_2 R_2^2$ secondo il mio libro, ma visto che il filo si arrotola solo attorno ad un disco, perché devo considerare anche il secondo per il momento d'inerzia? Inoltre per il calcolo del momento quale forza devo utilizzare? Pensavo di utilizzare la forza totale applicata al corpo $T-mg$, ma così non torna. Credo di non avere ben chiaro quale forza agisca sul disco.
Passiamo ora subito ai vari dubbi. Inizio presentando questo esercizio:
Due dischi di ferro, di raggi $ R_1 = 0.1 m $ e $ R_2= 2 R_1 $ e masse $ M_1 = 2 kg $, $ M_2 = 1.5 M_1 $,sono fissati solidamente uno all'altro in modo tale da risultare coassiali. Essi possono ruotare senza attrito attorno all'asse verticale passante per il centro di massa. Sul disco di raggio $ R_1 $ è avvolto un filo a cui è appesa la massa $ m = 1 kg $. All'istante $ t=0 $ la massa $m$, inizialmente in quiete, viene lasciata scendere. a) Calcolare il tempo $ t_0 $ necessario perché essa percorra $ h = 10 m $. Sul bordo del disco di raggio $ R_2 $ è fissato un magnetino di massa $ m_0 = 10^-2 kg $ e dimensioni trascurabili; la forza magnetica che lo tiene attaccato al disco vale $ F_m = 1.5 N $. b) Dire se al tempo $ t_0 $ il magnetino è ancora attaccato al disco.
Per ora lasciamo da parte la seconda parte del problema. Il mio ragionamento è stato questo:
Facendo il diagramma di corpo libero, con l'asse y con verso positivo verso l'alto, si ha che quando il corpo non è più in quiete, chiamando $T$ la tensione del filo sul corpo, $T-mg=ma$, con l'accelerazione $a$ del corpo negativa, ovvero rivolta verso il basso. Mettendo l'origine degli assi nella posizione della massa $m$ quando è in quiete la legge oraria assume la forma $x=1/2 a t^2$, da cui $t=sqrt(2x/a)$. L'accelerazione che subisce il corpo $m$ è uguale all'accelerazione tangenziale impressa sul disco, che a sua volta è uguale al prodotto tra l'accelerazione angolare e il raggio del disco, quindi $a=\alpha * R_1$. L'accelerazione angolare $\alpha$ mi è data da $\vec M = I * \alpha$, dove $\vec M$ è il momento della forza e $I$ è il momento d'inerzia. Il momento d'inerzia è dato da $1/2 M_1 R_1^2 + 1/2 M_2 R_2^2$ secondo il mio libro, ma visto che il filo si arrotola solo attorno ad un disco, perché devo considerare anche il secondo per il momento d'inerzia? Inoltre per il calcolo del momento quale forza devo utilizzare? Pensavo di utilizzare la forza totale applicata al corpo $T-mg$, ma così non torna. Credo di non avere ben chiaro quale forza agisca sul disco.
Risposte
ma visto che il filo si arrotola solo attorno ad un disco, perché devo considerare anche il secondo per il momento d'inerzia?
Scusa ma i due dischi sono solidali cioè girano alla stessa velocità.
Chi fornisce al secondo disco l'energia per muoversi.
Immagina che il secondo disco pesi una tonnellata, che faccio, ignoro la sua inerzia ?
"Quinzio":ma visto che il filo si arrotola solo attorno ad un disco, perché devo considerare anche il secondo per il momento d'inerzia?
Scusa ma i due dischi sono solidali cioè girano alla stessa velocità.
Chi fornisce al secondo disco l'energia per muoversi.
Immagina che il secondo disco pesi una tonnellata, che faccio, ignoro la sua inerzia ?
Hai ragione, ho letto un po' distrattamente la parte del testo in cui si dice che sono fissati l'uno all'altro e girano senza attrito con l'asse. Avevo capito tutto l'opposto. Per il calco del momento faccio un secondo caso:
Immaginiamo di avere un disco che scende lungo un piano inclinato, note la massa, l'angolo d'inclinazione del piano e il raggio del disco. Sulla cima di questo disco agisce una forza parallela al piano inclinato e diretta nel verso opposto al moto. A questo punti il disco è quindi soggetto a due forze opposte lungo la direzione del moto, che sono la forza peso lungo quella componente e la forza che trattiene il disco $ F - mg sin\beta = ma $ . Voglio calcolarne il momento prendendo come polo il punto di contatto tra il disco ed il piano, ma ancora non so quale forza utilizzare per il calcolo del momento
Piccolo up, giusto perché domani ho l'esame e vorrei risolvere questo dubbio prima di allora.
Riesumo questo thread perché ho un dubbio sulla parte b, e ho preferito non aprirne uno nuovo.
Dalla prima parte l'accelerazione è $a= 1.23 m/s^2$ e il tempo è $t=4 s$.
Il ragionamento che ho fatto è questo: se le forze apparenti sono maggiori della forza magnetica (che conosco) il magnetino si stacca. Quindi ho calcolato l'accelerazione di trascinamento $a_T$ e quella di Coriolis $a_C$.
$a_T= \alpha \wedge R_2 + \omega \wedge (\omega \wedge R_2)= \alpha *R_2 + \omega^2 * R_2$
$a_C= 2 \omega \wedge v$, con $v$ velocità del magnetino rispetto al centro. Ponendo $v=\omega * R_2$ ottengo $a_C= 2\omega^2 * R_2$.
La somma della Forza di trascinamento e della forza di Coriolis danno la forza apparente totale agente sul magnetino, cioè:
$F_(app)= m_0*(a_T+ a_C)$.
La velocità angolare è uguale per entrambi, ma l'accelerazione è applicata al disco con raggio $R_1$, quindi $alpha= a/R_1$ e calcolo la velocità angolare come $\omega= \alpha *t = a*t/R_1$
Risulta quindi:
$F_(app)= m_0*(a*R_2/R_1 + (a^2 * t^2 * R_2)/ R_1^2 + 2 (a^2 * t^2 * R_2)/ R_1 ^2) = m_0 (a*R_2/R_1 + 3 (a^2* t^2 * R_2)/ R_1 ^2)= 4. 87 N$. Il magnetino quindi si stacca.
Il mio libro invece di fare tutta la formula che ho fatto io fa così:
$v= a*t= 4.9 m/s$, $m_0*v^2/R_1= 2.4 N > 1.5 N$.
Dove sbaglio?
Dalla prima parte l'accelerazione è $a= 1.23 m/s^2$ e il tempo è $t=4 s$.
Il ragionamento che ho fatto è questo: se le forze apparenti sono maggiori della forza magnetica (che conosco) il magnetino si stacca. Quindi ho calcolato l'accelerazione di trascinamento $a_T$ e quella di Coriolis $a_C$.
$a_T= \alpha \wedge R_2 + \omega \wedge (\omega \wedge R_2)= \alpha *R_2 + \omega^2 * R_2$
$a_C= 2 \omega \wedge v$, con $v$ velocità del magnetino rispetto al centro. Ponendo $v=\omega * R_2$ ottengo $a_C= 2\omega^2 * R_2$.
La somma della Forza di trascinamento e della forza di Coriolis danno la forza apparente totale agente sul magnetino, cioè:
$F_(app)= m_0*(a_T+ a_C)$.
La velocità angolare è uguale per entrambi, ma l'accelerazione è applicata al disco con raggio $R_1$, quindi $alpha= a/R_1$ e calcolo la velocità angolare come $\omega= \alpha *t = a*t/R_1$
Risulta quindi:
$F_(app)= m_0*(a*R_2/R_1 + (a^2 * t^2 * R_2)/ R_1^2 + 2 (a^2 * t^2 * R_2)/ R_1 ^2) = m_0 (a*R_2/R_1 + 3 (a^2* t^2 * R_2)/ R_1 ^2)= 4. 87 N$. Il magnetino quindi si stacca.
Il mio libro invece di fare tutta la formula che ho fatto io fa così:
$v= a*t= 4.9 m/s$, $m_0*v^2/R_1= 2.4 N > 1.5 N$.
Dove sbaglio?
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