Corpo rigido libero
In assenza di forze esterne e momenti esterni, il moto che mi aspetto da un corpo rigido è uno traslazionale del centro di massa (con velocità costante v) e uno rotazionale attorno al centro di massa $$\omega$$, con omega anche lui un vettore costante.
Non ci sarebbe nient'altro da dire, giusto? Purtropp però il Goldstein non la pensa così: viene studiato il moto di un corpo rigido libero usando le proprietà dell'ellissoide di inerzia...e viene studiato il problema semplificato (corpo simmetrico)...viene addirittura che alcune componenti di omega potrebbero oscillare!
Com'è possibile?
Non ci sarebbe nient'altro da dire, giusto? Purtropp però il Goldstein non la pensa così: viene studiato il moto di un corpo rigido libero usando le proprietà dell'ellissoide di inerzia...e viene studiato il problema semplificato (corpo simmetrico)...viene addirittura che alcune componenti di omega potrebbero oscillare!
Com'è possibile?
Risposte
Non è solo il Goldenstein, ma anche molti altri la pensano così.
Innazitutto dovresti guardarti qualche video illustrativo in modo da avere una "percezione" del fenomeno, ad esempio:
https://www.youtube.com/watch?v=GgVpOorcKqc
Il movimento del corpo in questione si chiama "polhode", cosi' lo cerchi su google.
Le forze che si sviluppano su un corpo in rotazione sono definite dal tensore di inerzia, cioè una matrice 3x3, che va moltiplicata a destra per le componenti del vettore $w$. Il risultato è il vettore coppia torcente che il corpo subisce.
Innazitutto dovresti guardarti qualche video illustrativo in modo da avere una "percezione" del fenomeno, ad esempio:
https://www.youtube.com/watch?v=GgVpOorcKqc
Il movimento del corpo in questione si chiama "polhode", cosi' lo cerchi su google.
Le forze che si sviluppano su un corpo in rotazione sono definite dal tensore di inerzia, cioè una matrice 3x3, che va moltiplicata a destra per le componenti del vettore $w$. Il risultato è il vettore coppia torcente che il corpo subisce.
Ma cio semplicemente non ha senso! Se cambiasse omega dovrebbe cambiare il momento angolare! Ma non essendoci momenti, L deve conservarsi..!
Ho guardato il video e sono traumatizzato! non ho momenti esterni non può cambiare omega in quel modo!
Bene: la scienza è proprio questo, capire come funziona il mondo tramite l'osservazione e non dare nulla per scontato.
Il vettore momento angolare cambia soltanto verso ma non in modulo, vale sempre la conservazione dell'energia e del momento angolare (in modulo).
Anche un corpo che procede su una traiettoria circolare cambia sempre direzione ma il modulo della velocità è costante. E' un fatto simile.
Il vettore momento angolare cambia soltanto verso ma non in modulo, vale sempre la conservazione dell'energia e del momento angolare (in modulo).
Anche un corpo che procede su una traiettoria circolare cambia sempre direzione ma il modulo della velocità è costante. E' un fatto simile.
il momento angolare deve conservarsi come vettore, non solo in modulo
$$(d\vec L)/(dt)$$ è il momento dele forze, che non ce ne sono altrimenti non avrei un corpo rigido libero
$$(d\vec L)/(dt)$$ è il momento dele forze, che non ce ne sono altrimenti non avrei un corpo rigido libero
forse dico una stupidaggine però si potrebbe spiegare in questo modo: il vettore $\vec{L}$ è costante (ovviamente in modulo direzione e verso) tuttavia poiché $\vec{L}=I\vec{\omega}$ allora $I$ e $\vec{omega}$ cambiano mantenendo costante il prodotto (dove $I$ è il tensore di inerzia)
Il bel video che ha postato Quinzio è una dimostrazione visiva del moto di un corpo rigido libero, dotato di tre assi di simmetria, con momenti centrali di inerzia tutti e tre diversi. Si dimostra che le rotazioni attorno agli assi centrali di minimo e massimo momento di inerzia sono stabili, mentre quella attorno all'asse rispetto al quale il momento di inerzia è intermedio sono instabili.
Ma questo è vero anche per un solido generico, per esempio una patata, o un asteroide : tempo fa avevo messo questo thread sull'asteroide Toutatis : si vedono chiaramente nel link i vettori implicati nella rotazione.
viewtopic.php?f=19&t=132449&hilit=toutatis
È vero, se il corpo rigido è libero, si conserva $vecL$ nello spazio assoluto. Ma cambia posizione, in generale, rispetto al corpo, così come il vettore $vec\omega$ , che cambia posizione sia rispetto al corpo che rispetto allo spazio. Il moto si può descrivere "alla Poinsot" come rotolamento dell'ellissoide di inerzia sopra il piano invariante, le due curve di contatto si chiamano "poloide" ed "erpoloide" , come ha detto Quinzio.
Ma la trattazione analitica è piuttosto complicata. Solo i casi più semplici, con particolari simmetrie, si sanno risolvere facilmente.
Ma questo è vero anche per un solido generico, per esempio una patata, o un asteroide : tempo fa avevo messo questo thread sull'asteroide Toutatis : si vedono chiaramente nel link i vettori implicati nella rotazione.
viewtopic.php?f=19&t=132449&hilit=toutatis
È vero, se il corpo rigido è libero, si conserva $vecL$ nello spazio assoluto. Ma cambia posizione, in generale, rispetto al corpo, così come il vettore $vec\omega$ , che cambia posizione sia rispetto al corpo che rispetto allo spazio. Il moto si può descrivere "alla Poinsot" come rotolamento dell'ellissoide di inerzia sopra il piano invariante, le due curve di contatto si chiamano "poloide" ed "erpoloide" , come ha detto Quinzio.
Ma la trattazione analitica è piuttosto complicata. Solo i casi più semplici, con particolari simmetrie, si sanno risolvere facilmente.
Perchè nel Goldy c'è scritto che "l'ellissoide di inerzia" è orientato come il corpo?
ragazzi, calma.
$L$ è conservato nel laboratorio.
$I$ anche, ovviamente, ma nelle coordinate del corpo. Ma siccome il corpo sta ruotando, gli assi del corpo ruotano rispetto a quelli del laboratorio.
Dunque se $I \omega = L$, $\omega$ in generale deve cambiare.
Quando fa girare il libro rispetto ai primi due assi di inerzia (che sono in realtà il maggiore e il minore), la rotazione è stabile e siccome sono assi principali, $\omega$ è parallela ad $L$. Siccome il terzo (che è quello intermedio) è instabile, si allontana periodicamente da esso e quindi c'è il fenomeno descritto sopra.
$L$ è conservato nel laboratorio.
$I$ anche, ovviamente, ma nelle coordinate del corpo. Ma siccome il corpo sta ruotando, gli assi del corpo ruotano rispetto a quelli del laboratorio.
Dunque se $I \omega = L$, $\omega$ in generale deve cambiare.
Quando fa girare il libro rispetto ai primi due assi di inerzia (che sono in realtà il maggiore e il minore), la rotazione è stabile e siccome sono assi principali, $\omega$ è parallela ad $L$. Siccome il terzo (che è quello intermedio) è instabile, si allontana periodicamente da esso e quindi c'è il fenomeno descritto sopra.
Lasciamo stare che sono ancora traumatizzato per aver scoperto, quasi al III anno, che la velocità angolare di un corpo rigido puo cambiare anche se non c'è alcun momento esterno.
comunque perchè nel goldstein c'è scritto che l'ellissoide d'inerzia "è orientato come il corpo"? Che cosa significa quest'affermazione esattamente?
Per ogni punto P di un corpo rigido, che si può prendere anche "fuori" del corpo, si dimostra che esiste una terna principale di inerzia del corpo. Cioè esistono, con origine in quel punto, tre assi "principali" di inerzia: la matrice di inerzia calcolata in quel punto è diagonale, cioè ha solo i tre termini della diagonale principale della matrice, che sono $I_1,I_2,I_3$ , mentre i prodotti di inerzia $I_(ij)$ con $i\ne j$ sono nulli.
Quando si assume come polo P il CM del corpo, si parla di terna centrale di inerzia.
In generale, quando un corpo rigido è libero di ruotare e traslare, si assume un riferimento assoluto a cui riferire il moto, e si scinde il moto in "traslatorio " prendendo un certo punto, solitamente il CM, e "rotatorio" attorno al punto detto. Per il moto rotatorio attorno al polo scelto, si potrebbe ora assumere come terna di riferimento una terna con origine nel polo (il CM nel caso più semplice) e assi paralleli ai tre assi del riferimento assoluto. Ma si avrebbero complicazioni di calcolo. Si avrebbero momenti e prodotti di inerzia continuamente variabili, in generale, a parte la variabilità di $vecL$ e di $vec\omega$.
Allora, per descrivere la parte rotatoria del moto ci si riferisce ad una terna fissa nel corpo, cioè solidale al corpo stesso, e di solito si assume la terna centrale di inerzia. Così la matrice di inerzia è quella diagonale detta, e siccome in ogni caso risulta :
$vecL = vec\omega$
si ha, semplicemente : $ vecL = (I_1\omega_1 , I_2\omega_2 , I_3 \omega_3 ) $
L'ellissoide centrale di inerzia è quello che ha per assi i tre assi centrali di inerzia, quindi è solidale al corpo.
In quanto poi a quanto stabilito dalla 2° eq. cardinale della dinamica, per cui in assenza di momenti di forze esterne si conserva il momento angolare, ripeto che risulta : $ (dvecL)/(dt) = 0 $ e quindi $vecL = "cost"$ nello spazio assoluto. Ma sussiste la seguente relazione (dimostrata anche sul Goldstein, valla a cercare : F è lo spazio fissso o assoluto , M è lo spazio mobile o del corpo ) :
$ [(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\timesvecL$
che ci dice che il vettore $vecL$ pur essendo costante nello spazio assoluto (quindi la derivata al primo membro è zero) può variare rispetto al corpo.
Poi ci sono i casi in cui l'asse di rotazione è parallelo a uno dei tre assi centrali di inerzia….
Quando si assume come polo P il CM del corpo, si parla di terna centrale di inerzia.
In generale, quando un corpo rigido è libero di ruotare e traslare, si assume un riferimento assoluto a cui riferire il moto, e si scinde il moto in "traslatorio " prendendo un certo punto, solitamente il CM, e "rotatorio" attorno al punto detto. Per il moto rotatorio attorno al polo scelto, si potrebbe ora assumere come terna di riferimento una terna con origine nel polo (il CM nel caso più semplice) e assi paralleli ai tre assi del riferimento assoluto. Ma si avrebbero complicazioni di calcolo. Si avrebbero momenti e prodotti di inerzia continuamente variabili, in generale, a parte la variabilità di $vecL$ e di $vec\omega$.
Allora, per descrivere la parte rotatoria del moto ci si riferisce ad una terna fissa nel corpo, cioè solidale al corpo stesso, e di solito si assume la terna centrale di inerzia. Così la matrice di inerzia è quella diagonale detta, e siccome in ogni caso risulta :
$vecL = vec\omega$
si ha, semplicemente : $ vecL = (I_1\omega_1 , I_2\omega_2 , I_3 \omega_3 ) $
L'ellissoide centrale di inerzia è quello che ha per assi i tre assi centrali di inerzia, quindi è solidale al corpo.
In quanto poi a quanto stabilito dalla 2° eq. cardinale della dinamica, per cui in assenza di momenti di forze esterne si conserva il momento angolare, ripeto che risulta : $ (dvecL)/(dt) = 0 $ e quindi $vecL = "cost"$ nello spazio assoluto. Ma sussiste la seguente relazione (dimostrata anche sul Goldstein, valla a cercare : F è lo spazio fissso o assoluto , M è lo spazio mobile o del corpo ) :
$ [(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\timesvecL$
che ci dice che il vettore $vecL$ pur essendo costante nello spazio assoluto (quindi la derivata al primo membro è zero) può variare rispetto al corpo.
Poi ci sono i casi in cui l'asse di rotazione è parallelo a uno dei tre assi centrali di inerzia….
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