Corpo rigido e reazione vincolare
Salve ho alcuni problemi riguardo questo esercizio
Una sbarra omogenea di massa m=5 kg e lunghezza l=1 m è vincolata a ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per il suo estremo fisso O. La sbarra è inizialmente in quiete nella posizione θ=80◦ (θ è l’angolo che essa forma con la verticale). A partire da questa configurazione, viene lasciata libera di muoversi. Si determini l’espressione del modulo della velocita` del centro di massa della sbarra in funzione di θ. Si calcoli il modulo ed il verso delle componenti normale e tangenziale della reazione vincolare applicata alla sbarra in O per θ1=30◦.
SOLUZIONE:
Per quanto riguarda la velocità del centro di massa l ho ragionata in questo modo, essendo la forza peso conservativa e la reazione vincolare che non compie lavoro posso scrivere la conservazione dell' energia meccanica, scelgo come quota di riferimento l estremo fisso O e scrivo:
Ei=Ef ==> -MgL/2 cosθ = 1/2 I ω^2
I per questa sbarra è pari a 1/3 M L^2
ω lo scrivo come Vcm^2/L? e poi lo ricavo?
Per quanto riguarda la seconda parte dell' esercizio come posso impostarla?
Grazie a tutti
Una sbarra omogenea di massa m=5 kg e lunghezza l=1 m è vincolata a ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per il suo estremo fisso O. La sbarra è inizialmente in quiete nella posizione θ=80◦ (θ è l’angolo che essa forma con la verticale). A partire da questa configurazione, viene lasciata libera di muoversi. Si determini l’espressione del modulo della velocita` del centro di massa della sbarra in funzione di θ. Si calcoli il modulo ed il verso delle componenti normale e tangenziale della reazione vincolare applicata alla sbarra in O per θ1=30◦.
SOLUZIONE:
Per quanto riguarda la velocità del centro di massa l ho ragionata in questo modo, essendo la forza peso conservativa e la reazione vincolare che non compie lavoro posso scrivere la conservazione dell' energia meccanica, scelgo come quota di riferimento l estremo fisso O e scrivo:
Ei=Ef ==> -MgL/2 cosθ = 1/2 I ω^2
I per questa sbarra è pari a 1/3 M L^2
ω lo scrivo come Vcm^2/L? e poi lo ricavo?
Per quanto riguarda la seconda parte dell' esercizio come posso impostarla?
Grazie a tutti
Risposte
Con origine in $O$ , asse $x$ orizzontale e asse $y$ verticale orientato verso l'alto , l'angolo che inizialmente l'asta forma con la verticale è $ Theta_0 = 80º $ , ottenuto ruotando l’asta in verso antiorario rispetto alla verticale discendente, giusto?
Quindi la quantità $-L/2costheta_0 $ è soltanto l'ordinata del CM , negativa perchè il CM si trova "sotto" l'asse $x$ .
Perciò quello che hai scritto è sbagliato :
Scrivi bene la conservazione dell'energia , considerando l'asta che forma un angolo generico $theta
$U_i +K_i = U_f + K_f $
dove $K_i = 0 $ , e $U_i = -MgL/2costheta_0 $
PErciò , avrai : $ K_f = U_i - U_f = MgL/2(cos\theta -costheta_0) $ , dove $theta$ è un angolo generico inferiore a $theta_0$, e questa quantità deve essere positiva , è una energia cinetica . Poi metti $K_f =1/2I\omega^2$ , e ricavi la velocità in funzione di $theta$ , come richiede il testo essendo : $v = omega *L/2$
PER la seconda parte, devi applicare la prima cardinale della dinamica per il centro di massa :
$vecR + vecP = mveca$
l'accelerazione vettoriale e le forze hanno componenti in direzione radiale e in direzione tangenziale : devi trovare quanto valgono per $theta = 30 º $ . C'è un po' di lavoro da fare...
Quindi la quantità $-L/2costheta_0 $ è soltanto l'ordinata del CM , negativa perchè il CM si trova "sotto" l'asse $x$ .
Perciò quello che hai scritto è sbagliato :
Ei=Ef ==> -MgL/2 cosθ = 1/2 I ω^2
Scrivi bene la conservazione dell'energia , considerando l'asta che forma un angolo generico $theta
$U_i +K_i = U_f + K_f $
dove $K_i = 0 $ , e $U_i = -MgL/2costheta_0 $
PErciò , avrai : $ K_f = U_i - U_f = MgL/2(cos\theta -costheta_0) $ , dove $theta$ è un angolo generico inferiore a $theta_0$, e questa quantità deve essere positiva , è una energia cinetica . Poi metti $K_f =1/2I\omega^2$ , e ricavi la velocità in funzione di $theta$ , come richiede il testo essendo : $v = omega *L/2$
PER la seconda parte, devi applicare la prima cardinale della dinamica per il centro di massa :
$vecR + vecP = mveca$
l'accelerazione vettoriale e le forze hanno componenti in direzione radiale e in direzione tangenziale : devi trovare quanto valgono per $theta = 30 º $ . C'è un po' di lavoro da fare...
L' avevo impostata bene la prima parte e trascritta male, comunque riguardo la prima parte nessun problema. Per quanto riguarda la seconda parte dovrei impostare il sistema
Ry - mg sinθ = m a(tan)
-Rx + mgcosθ = m A(normale)
con An= ω^2 L/2 dove ω lo ricavo dalla Vcm
A(tan) = α L/2
α lo ricavo dalla seconda equazione cardinale
a questo punto ricavo Rx e Ry?
Ry - mg sinθ = m a(tan)
-Rx + mgcosθ = m A(normale)
con An= ω^2 L/2 dove ω lo ricavo dalla Vcm
A(tan) = α L/2
α lo ricavo dalla seconda equazione cardinale
a questo punto ricavo Rx e Ry?
Che c’entrano x e y, orizzontale e verticale ? Devi assumere un versore radiale, cioè lungo l’asta, e un versore tangenziale, perpendicolare all’ asta. Proietta l’eq vettoriale su questi assi , e ricava le componenti di $vecR$.
Il modulo dell'accelerazione centripeta è dato da : $a_r = v^2/R = 2v^2/L$ . Il modulo dell'accelerazione tangenziale è $a_t = (dv)/(dt) $ . Ovviamente vanno considerati i valori nel punto che interessa . Puoi usare pure l'accelerazione angolare , se ti piace.
Un consiglio : non mettere segni "a intuito" alle componenti della reazione vincolare, che non conosci. Metti i segni alle componenti di forze e accelerazioni che conosci, una volta assunto il riferimento su cui proiettare le equazioni vettoriali. Guarda qui :
Il modulo dell'accelerazione centripeta è dato da : $a_r = v^2/R = 2v^2/L$ . Il modulo dell'accelerazione tangenziale è $a_t = (dv)/(dt) $ . Ovviamente vanno considerati i valori nel punto che interessa . Puoi usare pure l'accelerazione angolare , se ti piace.
Un consiglio : non mettere segni "a intuito" alle componenti della reazione vincolare, che non conosci. Metti i segni alle componenti di forze e accelerazioni che conosci, una volta assunto il riferimento su cui proiettare le equazioni vettoriali. Guarda qui :
purtroppo ho difficoltà nello scrivere il ragionamento che ho in testa, farò più pratica mi scusi, comunque grazie ancora per il suo tempo.
"mirco001":
purtroppo ho difficoltà nello scrivere il ragionamento che ho in testa, farò più pratica mi scusi, comunque grazie ancora per il suo tempo.
Qui ci diamo tutti quanti del "tu" , anche se uno ha 80 anni ( ...beh ...non proprio...
) ; e non ti devi scusare di niente , per me aiutare uno studente è un piacere, altrimenti non ci starei nel forum ! Fossero tutti come te ! 
Ci sono certi che , ricevuta la risposta , spariscono senza farsi più vivi 
Ciao.
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