Corpo rigido e forze apparenti

[igol10]

Ho il testo di un tema d'esame di fisica 1 che non riesco a capire a pieno, ringrazio chiunque sia in grado di darmi una mano:
"Un automobilista sale in macchina e appoggia un oggetto cilindrico omogeneo di massa M nell'incavo del cruscotto (vedi la figura). Successivamente accelera uniformemente lungo un tratto di strada orizzontale per un tempo $ tau = 3s $ ,
dopodiché procede con velocità uniforme. Sapendo che la pendenza del piano del cruscotto è $ Theta = pi/8 $ ,
ed il coefficiente di attrito statico tra oggetto e cruscotto è $ mu = 0.1 $ , determinare per quali valori della velocità finale v:

1. l'oggetto durante l'accelerazione si sposta dall'iniziale posizione di equilibrio;
2. l'oggetto cade fuori dall'incavo durante l'accelerazione, supponendo che rotoli senza strisciare;
3. l'oggetto rotola senza strisciare durante l'accelerazione;

La distanza del punto di contatto P dell'oggetto con il piano dal punto più alto è |AP| = 30 cm nell'istante iniziale. Si approssimi l'istante di caduta dell'oggetto con l'istante in cui P = A.
[Suggerimento: si supponga la forza inerziale agente sul centro di massa del cilindro ed in modulo pari alla forza inerziale che agirebbe se il cilindro fosse puntiforme.]

Immagine del problema:


MIO TENTATIVO DI SOLUZIONE:

- Immagine delle forze agenti sul cilindro:


- Immagine dei momenti:


Mio tentativo di soluzione:

---- Quesito 1 ----

- Le forze agenti sul cilindro sono:

$ vec(F)_{app} = MAcosthetavecu_{x} - MAsinthetavecu_{y} $
$ vecF_{g} = -Mgsinthetavecu_{x} - Mgcosthetavecu_{y} $
$ vecF_{d} = -F_{d}vecu_{x} \leq \mu|N| $
$ vecN = Nvecu_{y} $

Nota che $ vecF_{app} $ è la forza apparente dovuta al moto della macchina. Mentre A è proprio l'accelerazione della macchina.
Invece $ vecF_{d} $ è la forza d'attrito statico.

- All'equilibrio il cilindro è fermo (a = 0). Quindi:

$ 0 = MAcos\theta - Mgsin\theta - F_{d} $
$ N = MAsin\theta + Mgcos\theta $

Il cilindro inizierà a muoversi quando:
$ F_{d} = \mu|N| $
Quindi sostituendo questa nella prima equazione abbiamo:

$ A = \frac{g(sin\theta + \mu_{s}cos\theta)}{cos\theta - \mu_{s}sin\theta} = 5.26 m/s^2 $

Essendo poi il moto uniformemente accelerato, la velocità che la macchina raggiunge è:
$ v_{1} = A\tau = 5.26 * 3 = 15.78 m/s $

---- Quesito 2 ----

Il cilindro si muove senza strisciare: moto di puro rotolamento. Dobbiamo scrivere l'equazioni tipiche di un corpo rigido.
(moto intorno al centro di massa + moto del centro di massa)
Calcolo tutti i momenti rispetto al centro di massa del cilindro, in questo modo l'unico momento non nullo è quello dovuto alla forza d'attrito.

$ I\alpha =F_{d}R $ --> moto intorno al CM
$ Ma = MAcos\theta - Mgsin\theta - F_{d} $--> moto del CM

Notando che: $ a=\alpha R $ e che: $ F_{d} = I\alpha / R $, abbiamo:

$ M\alpha R = MAcos\theta - Mgsin\theta - I\alpha / R $

Da cui ricavo: $ \alpha = M(Acos\theta - gsin\theta)/I_{p} $, dove $ I_{p} = MR + \frac{1}{2}MR = \frac{3}{2}MR $ non è altro che il momento di inerzia rispetto al punto di contatto del cilindro con il cruscotto.

A questo punto ricavo l'accelerazione del cilindro in questo modo:
$ a = \alpha R = \frac{2}{3}(Acos\theta -gsin\theta) = 0.74 m/s^2 $

Quindi il cilindro cade dal cruscotto quando raggiunge il punto A, cioè nell'istante:
$ |AP| = \frac{1}{2}at^2 => t = \sqrt(2|AP|/a) = 0.9 s $

Allora la velocità che ha la macchina nell'istante t = 0.9s è:
$ v_{2} = A*0.9 = 5.26*0.9 = 4.73 m/s $

---- Quesito 3 ----
L'oggetto rotola senza strisciare finché:
$ F_{d} < \mu _{s}|N| $. Quindi inizierà a strisciare
proprio per $ F_{d} = \mu _{s}|N| $.

Però non so come sfruttare questa cosa.

Secondo voi il mio ragionamento complessivo è giusto? Grazie per l'attenzione.

[igol10]

Possibile che non ci sia nessuno in grado di rispondere ad una domanda del genere?? E' molto importante per me una risposta, ringrazio chiunque prenda in considerazione il mio problema, anche proponendo solo delle idee alternative e ragionandoci insieme!

[donald_zeka]

Premesso che sono uno studente come te che deve dare fisica 1, non prendere pertanto ciò che dico per verità assoluta perché potrei anche sbagliarmi.

Partendo dal primo punto, mi sembra corretto e anch'io sono pervenuto allo stesso risultato.

Secondo punto: Risolvendolo sono arrivato anche io alla relazione $alpha=2/3(Acostheta-gsintheta)/R$ ed essendo $ddot(x)=alphaR$ si ha $ddot(x)=2/3(Acostheta-gsintheta)$
Questa è l'accelerazione lineare del centro di massa. Qui però vanno fatte delle considerazioni, ossia bisogna fare delle restrizioni ad $alpha$ affinché il moto sia sempre di puro rotolamento durante tutta la salita per il cruscotto.

Sappiamo dunque che

$F_dR=Ialpha=1/3MR(Acostheta-gsintheta)$

$F_d=1/3M(Acostheta-gsintheta)$

Sappiamo però anche che: $F_d<=muN$ da cui:

$1/3MAcostheta-1/3Mgsintheta<=mu(MAsintheta+Mgcostheta)$

Risolvendo rispetto a A:

$A<=g(sintheta+3mucostheta)/(costheta-3musintheta)$

Ossia $A<=7,99 m/s^2$

Ora passiamo all'altro punto, sapendo quanto vale l'accelerazione lineare $ddot(x)$ del cdm, abbiamo che:

$AP=1/2ddot(x)t^2$

$AP=1/3(Acostheta-gsintheta)t^2$

$t=sqrt((3AP)/(Acostheta-gsintheta))$

Questo è il tempo che ci mette il cilindro a percorrere tutto il tratto AP quando la macchina ha una accelerazione A tale che valga il puro rotolamento! Questo tempo, pertanto, deve essere minore di 3 secondi affinché il cilindro cada, quindi:

$sqrt((3AP)/(Acostheta-gsintheta))<=3$

$|AP|<=3Acostheta-3gsintheta$

Da cui:

$A>=|AP|/(3costheta)+g*tan(theta)$

Ossia $A>=4,16 m/s^2$ se non ho sbagliato conti.

Quindi:

Affinché il cilindro si muova deve essere $A>=5,26 m/s^2$, affinché si mantenga il puro rotolamento durante il moto deve essere $A<=7,99 m/s^2$, e affinché il cilindro cada dal cruscotto primo di 3 secondi deve essere $A>=4,16 m/s^2$, L'intersezione di queste condizioni è quindi:

$5,26 m/s^2 <= A <= 7,99 m/s^2$

Quindi per tutti i valori di $v$ tali che:

$3*5,26 m/s <= v <= 3*7,99 m/s$

Il cilindro cade dal cruscotto.

[igol10]

Le operazioni da fare per il quesito 3 sono pressoché identiche. Io devo trovare la velocità finale dell'auto per cui si ha puro rotolamento. Ma allora basta imporre due condizioni sull'accelerazione della macchina:
(1) A <= 8 m/s^2 --> affinché il moto sia di puro rotolamento.
(2) A >= 5.26 m/s^2 --> affinché il corpo rigido si muova dal suo stato di equilibrio.
Quindi:
5.26 < A < 8 => 5.26 * 3 < v < 8 * 3
Cioè uguale al quesito 2. Ho sbagliato qualcosa?

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Un'altra cosa che vorrei chiedere riguarda il quesito 1. Cioè quando impongo l'equilibrio statico. In quel caso l'equilibrio sui momenti mi viene:
$ F_d R = Ialpha = 0 => F_d = 0 $ ma non è possibile!
E poi in questo caso non dovrei considerare anche la reazione normale del piano laterale su cui è poggiato il corpo rigido??