Corpo rigido che ruota
Io per il punto a avrei fatto in questo modo:
avrei sempre calcolato il centro di massa del corpo "complesso" $m_1+m_2$ attraverso il quale dedotto l'altezza da "terra" e successivamente posso calcolare l'energia potenziale del corpo cioè $mgy_(cm)$; posso dire che l'energia totale del sistema coincide con quella potenziale quando il corpo è alla massima altezza e la potrei uguagliare a $1/2I \omega^2$ che è l'energia del corpo ruotante. A questo punto da $mgy_(cm)=1/2I \omega^2$ mi ricavo $\omega$.
Perchè scomodare $1/2mv^2$ c'e' un corpo che trasla ?!?!
Risposte
"zio_mangrovia":
Perchè scomodare $1/2mv^2$ c'e' un corpo che trasla ?!?!
Certo: il disco si sposta a sinistra, visto che il CM scende verticalmente
Ma non è presente attrito, non dovrebbe ruotare il corpo del disco ruotare attorno al suo asse? Cioè se prendessi il centro di massi del solo disco mi aspetterei che rimanesse sulla stesso valore rispetto all'asse $x$, ma a quanto mi dici tu si sposta.
Pensavo si spostasse solo nel caso di attrito, cioè quando rotola.
Pensavo si spostasse solo nel caso di attrito, cioè quando rotola.
"zio_mangrovia":
Ma non è presente attrito, non dovrebbe ruotare il corpo del disco ruotare attorno al suo asse? Cioè se prendessi il centro di massi del solo disco mi aspetterei che rimanesse sulla stesso valore rispetto all'asse $x$,
Ma il disco non è da solo, il CM del sistema non è il centro del disco. Per cui, se il CM scende verticalmente, il centro del disco si sposta a sinistra
Pensavo erroneamente che il corpo ruotasse attorno all'asse del disco e non facesse alcuno spostamento come se ci fosse un perno! Invece l'assenza di attrito fa si che si sposti, quindi mi sembra di capire che il cm del corpo $m_1$ + $m_2$ scende verticalmente, ma allora la rotazione attorno a quale punto avviene?
Se invece fosse presente l'attrito ? il corpo del disco rotolerebbe vero?
Se invece fosse presente l'attrito ? il corpo del disco rotolerebbe vero?
"zio_mangrovia":
ma allora la rotazione attorno a quale punto avviene?
Se il CM si muove verticalmente, e il punto di contatto del disco col piano orizzontalmente, il centro di istantanea rotazione dovrebbe stare sulla verticale del punto di contatto, e sull'orizzontale del CM (spero di non dire fesserie
)"zio_mangrovia":
Se invece fosse presente l'attrito ? il corpo del disco rotolerebbe vero?
Immagino di sì, con i distinguo del caso
Ho studiato che l'energia nel moto di puro rotolamento è $1/2mv_(cm)^2+1/2 I \omega^2$ ma
se si prosegue con il punto b dell'esercizio primo termine viene omesso, se c'e' puro rotolamento alla anche il centro di massa del corpo trasla ma perchè nell'equazione energetica è stato omesso?
Se considero come asse di rotazione quello della massa $m_1$ la sfera tanto per capirsi, e calcolo il momento di inerzia rispetto a questo asse e applico la formula sopra indicata, dove ho $v=\omega r$
se si prosegue con il punto b dell'esercizio primo termine viene omesso, se c'e' puro rotolamento alla anche il centro di massa del corpo trasla ma perchè nell'equazione energetica è stato omesso?
Se considero come asse di rotazione quello della massa $m_1$ la sfera tanto per capirsi, e calcolo il momento di inerzia rispetto a questo asse e applico la formula sopra indicata, dove ho $v=\omega r$
qualcuno può chiarirmi questo aspetto please?
Occhio: $1/2mv_[cm]^2+1/2I_[cm]omega^2$ e' l'energia di un corpo che roto-trasla in generale. Il momento di inerzia e' calcolato rispetto al cm
L'energia di un corpo che ruota attorno a un asse O fisso e' $1/2I_Oomega^2$
In un corpo in puro rotolamento il punto di contatto O e' fisso ed e' quindi come se il corpo ruotasse soltanto attorno a O (anche se O si sposta, la sua velocita' rimane costantemente nulla, istante per istante, rispetto al suolo). Quindi il primo termine si elimina a patto di usare il momento di inerzia relativo al punto di contatto (infatti lui calcola $I_O$ in quel punto) e non attorno al cdm.
L'energia di un corpo che ruota attorno a un asse O fisso e' $1/2I_Oomega^2$
In un corpo in puro rotolamento il punto di contatto O e' fisso ed e' quindi come se il corpo ruotasse soltanto attorno a O (anche se O si sposta, la sua velocita' rimane costantemente nulla, istante per istante, rispetto al suolo). Quindi il primo termine si elimina a patto di usare il momento di inerzia relativo al punto di contatto (infatti lui calcola $I_O$ in quel punto) e non attorno al cdm.
Ahhh giusto!! Avevo messo in "cantina" che il puro rotolamento lo si può considerare come sola rotazione considerando come asse di rotazione il punto di contatto.
Quindi se applico questa formula mi dovrebbe tornare ugualmente:
$1/2m\omega ^2 r^2+1/2 I_(cm)\omega ^2$
$I_(cm)$ = momento di inerzia del corpo rispetto al centro di massa
$r$ = raggio del disco, rappresenta la distanza tra il punto di contatto e l'asse di rotazione
$\omega ^2 r^2=v_(cm)^2$
Quindi se applico questa formula mi dovrebbe tornare ugualmente:
$1/2m\omega ^2 r^2+1/2 I_(cm)\omega ^2$
$I_(cm)$ = momento di inerzia del corpo rispetto al centro di massa
$r$ = raggio del disco, rappresenta la distanza tra il punto di contatto e l'asse di rotazione
$\omega ^2 r^2=v_(cm)^2$
Si, e' la stessa cosa. Per esempio per il disco rigido
$I_[cm]=[MR^2]/2$
$v_[cm]=omegaR$
$I_[O]=3/2[mR^2]$
Fai i conti e vedrai che coincidono
$I_[cm]=[MR^2]/2$
$v_[cm]=omegaR$
$I_[O]=3/2[mR^2]$
Fai i conti e vedrai che coincidono
una considerazione: il momento di inerzia del corpo calcolato sul punto di contatto tra sfera e terreno è variabile, in quanto la distanza tra il punto di contatto e $CM$ varia con la rotazione del corpo, pertanto per trovare la velocità angolare corretta calcolo $I$ quando il corpo è in orizzontale come richiesto dal testo, giusto?
Non ho capito questo termine come è saltato fuori.
Comunque per proseguire con il calcolo di verifica se dovessi calcolare $E=1/2mv_(cm)^2+1/2I_(cm)\omega^2$
Utilizzo $I_(cm)$, cioè il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il $CM$ del corpo che è già stato calcolato al punto a, poi sostituisco $v_(cm)$ con $\omega r$.
Mi chiedo poi come raggio se va bene inserire quello del cerchio: la velocità del centro di massa della sfera coincide con la velocità periferica della sfera, cioè il centro di massa si nuove in orizzontale di un tratto equivalente all'arco di circonferenza percorso dalla sfera.
$I_O=3/2[mR^2]$
Non ho capito questo termine come è saltato fuori.
Comunque per proseguire con il calcolo di verifica se dovessi calcolare $E=1/2mv_(cm)^2+1/2I_(cm)\omega^2$
Utilizzo $I_(cm)$, cioè il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il $CM$ del corpo che è già stato calcolato al punto a, poi sostituisco $v_(cm)$ con $\omega r$.
Mi chiedo poi come raggio se va bene inserire quello del cerchio: la velocità del centro di massa della sfera coincide con la velocità periferica della sfera, cioè il centro di massa si nuove in orizzontale di un tratto equivalente all'arco di circonferenza percorso dalla sfera.
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