Corpo rigido, carrucola e piano inclinato

[espoice]

Ciao ragazzi, ho delle difficoltà a trovare la considerazione mancante per risolvere la prima richiesta di questo problema:

Una macchina di Atwood è costituita da una carrucola, di raggio R e massa M, attorno alla quale passa un filo
inestensibile di massa trascurabile che connette due blocchetti di massa M e 2M. La carrucola può essere considerata
un disco omogeneo, è libera di ruotare senza attrito sul proprio asse e il filo ad essa appoggiato ne segue il
movimento senza strisciare. Il blocchetto più leggero `e inizialmente posto a distanza d dal pavimento. Il blocchetto
più pesante è invece posizionato su un piano inclinato che forma un angolo ↵ rispetto al pavimento. Il coefficiente
di attrito statico e dinamico tra il piano inclinato ed il blocchetto è µ.
a) Determinare la condizione che deve soddisfare l’angolo ↵ affinché
il blocco più leggero si muova
verso il basso.
b) Nel caso in cui valga la condizione determinata al punto a) determinare l’accelerazione dei blocchetti e la
tensione del filo che sostiene quello più leggero.

Propongo un'immagine indicativa del sistema:

http://imgur.com/a/smKZM

Il mio ragionamento parte analizzando il diagramma delle forze per tutti e tre i corpi:

Per il corpo appeso perpendicolarmente al terreno, si hanno solo la tensione T1 e la forza peso Mg, con egual verso ma direzione opposta.

Per il secondo corpo appeso, si ha, scomponendo la forza peso lungo la direzione del piano, la tensione T2, la componente parallela al piano della forza peso, 2Mg*sen(alfa) e la forza di attrito che si ricava eguagliando la Normale con la comp. perpendicolare al piano della forza peso, quindi µ2Mg*cos(alfa).

Per la carrucola si ha che la differenza tra le tensioni genera un momento che le permette di ruotare in senso antiorario, quindi il corpo appeso perpendicolarmente tende a scendere, come richiesto dalla prima richiesta.
Dunque: (T1-T2)R=MR^2 * 1/2 * (a/R)

Ora, sapendo che i fili sono inestensibili, si ha che le accelerazioni dei due corpi risultano le stesse. Quindi la sommatoria delle forze per il primo corpo è uguale a: Ma, e per il secondo: 2Ma.

Risolvendo il sistema con queste equazioni non risulta comunque corretto il valore finale, che dovrebbe essere la relazione:

sin α + µ2Mgcos α < 1/2

A me viene il medesimo risultato senza quel 2Mg moltiplicato al coseno.

Qualche aiuto?
Grazie

[mgrau]

"espoice":

$sin α + µ2Mgcos α < 1/2$

Di sicuro questa relazione non sta in piedi dimensionalmente.
Poi il problema mi sembra strano per un altro aspetto. Se i coefficienti di attrito statico e dinamico sono uguali, quando si raggiunge la condizione perchè il sistema si muova, la forza disponibile per il movimento non ha un valore finito, è piccola quanto si vuole, per cui verrebbe da dire che l'accelerazione è zero. Per avere un movimento bisogna che l'attrito dinamico sia MINORE di quello statico, come normalmente è.

[espoice]

Grazie per la risposta, mgrau.
Quindi secondo te il risultato proposto dall'esercitatore è errato ?
Volevo inoltre togliermi un dubbio: durante il calcolo del momento della forza T2 sulla carrucola, devo moltiplicare T2 per il seno dell'angolo dato, o lasciare solo T2?

Grazie per la disponibilità

[mgrau]

Sì, la risposta giusta è la tua, quella senza il 2Mg.
Poi: i fili sono tangenti alla carrucola, perpendicolari al raggio, quindi ai fini del momento le tensioni vanno prese così come sono. Nota che nel caso statico le tensioni sono uguali. Nel caso di movimento (salva la questioni dei coefficienti di attrito: per avere un movimento devi ASSEGNARE un angolo MAGGIORE dell'angolo limite, altrimenti l'accelerazione non è determinata) entra in gioco il momento d'inerzia della carrucola, e le tensioni non restano uguali