Corpi orbitanti - SNS 1990
"Si considerino due corpi sferici (solidi) di massa $m$ e raggio $r$, orbitanti attorno ad un pianeta di massa $M$ su uno stesso piano, nello stesso verso e su orbite circolari di raggio $R+r$ e $R-r$ rispettivamente, con $r$ molto minori $R$.
Supponiamo inizialmente che essi siano abbastanza distanti tra loro in modo da poter trascurare la mutua attrazione gravitazionale.
a) Si calcoli di quanto differiscono le loro velocità angolari dalla velocità angolare $omega_0$ che avrebbero se si muovessero sull'orbita di raggio $R$.
b) Quale forza oltre a quella del pianeta occorre esercitare su ciascuno dei due corpi affinché essi possano ruotare sulle orbite di raggi $R+r$ e $R-r$ ma con velocità angolare $omega_0$?
Consideriamo ora la situazione in cui i due corpi, per effetto della loro mutua interazione gravitazionale, ruotano ancora su orbite di raggio $R+r$ e $R-r$ ma a contatto tra di loro.
c) Tenuto conto del risultato del punto b) precedente, si determini in funzione di $m$, $M$, $r$, $R$, la disuguaglianza che rende questa situazione possibile.
....
In tutto il problema si approssimi $(1+-r/R)^a$ con $1+-ar/R$"
a) Calcolo le velocità angolari dei due corpi orbitanti attorno al pianeta sfruttando l'equilibrio fra la forza gravitazionale dovuta al pianeta e la forza centrifuga sulla massa ed ho:
$omega_0=sqrt((G*M)/R^3)$
e le velocità angolari dei due corpi sono
$omega_1=sqrt((G*M)/(R+r)^3)$
$omega_2=sqrt((G*M)/(R-r)^3)$
Approssimo come consigliato e calcolo $|omega_1-omega_0|$ e $|omega_2-omega_0|$
b) Per far sì che i due corpi ruotino alla velocità angolare $omega_0$ nelle due orbite, devo risentire di un'altra forza sempre perpendicolare alla loro traiettoria. In particolare, sulla massa che ruota lungo l'orbita $R+r$ occorre esercitare una forza che abbia direzione e verso della forza gravitazionale, tale che
$F_c=F_g + F_1$, dato che deve aumentare la forza centripeta, cioè
$m*(omega_0)^2(R+r)= G*(Mm)/(R+r)^2 + F_1$ e sostituendo $omega_0$ e ricavando $F_1$ ho:
$F=GMm (3r)/(R^2*(R+2r))$
Per la massa che ruota lungo l'orbita $R-r$, occorre esercitare una forza che abbia stessa direzione della forza gravitazionale ma verso opposto, in modo da diminuire la forza centripeta. La ricavo allo stesso modo che sopra e ottengo
$F_2=GMm (3r)/(R^2(R-2r))$
con $F_2>F_1$
c) Adesso so che i due corpi devono muoversi a contatto fra loro e quindi devono avere la stessa velocità angolare. Siccome mi dice di far riferimento al punto b), essi devono muoversi con velocità angolare $omega_0$. Sono in dubbio su questo: l'esercizio mi dice che la forza che modifica la velocità angolare adesso è data dall'interazione gravitazionale fra i due, che è uguale, ovviamente per entrambi, a $Gm^2/(4r^2)$. Invece noi abbiamo visto nel punto b) che le forze necessarie per far sì che i due si muovano a quella velocità nelle loro orbite è diversa per ciascuno.
Ho immaginato allora che dovessi scrivere
$F_1
Come devo fare? Grazie dell'aiuto.
Supponiamo inizialmente che essi siano abbastanza distanti tra loro in modo da poter trascurare la mutua attrazione gravitazionale.
a) Si calcoli di quanto differiscono le loro velocità angolari dalla velocità angolare $omega_0$ che avrebbero se si muovessero sull'orbita di raggio $R$.
b) Quale forza oltre a quella del pianeta occorre esercitare su ciascuno dei due corpi affinché essi possano ruotare sulle orbite di raggi $R+r$ e $R-r$ ma con velocità angolare $omega_0$?
Consideriamo ora la situazione in cui i due corpi, per effetto della loro mutua interazione gravitazionale, ruotano ancora su orbite di raggio $R+r$ e $R-r$ ma a contatto tra di loro.
c) Tenuto conto del risultato del punto b) precedente, si determini in funzione di $m$, $M$, $r$, $R$, la disuguaglianza che rende questa situazione possibile.
....
In tutto il problema si approssimi $(1+-r/R)^a$ con $1+-ar/R$"
a) Calcolo le velocità angolari dei due corpi orbitanti attorno al pianeta sfruttando l'equilibrio fra la forza gravitazionale dovuta al pianeta e la forza centrifuga sulla massa ed ho:
$omega_0=sqrt((G*M)/R^3)$
e le velocità angolari dei due corpi sono
$omega_1=sqrt((G*M)/(R+r)^3)$
$omega_2=sqrt((G*M)/(R-r)^3)$
Approssimo come consigliato e calcolo $|omega_1-omega_0|$ e $|omega_2-omega_0|$
b) Per far sì che i due corpi ruotino alla velocità angolare $omega_0$ nelle due orbite, devo risentire di un'altra forza sempre perpendicolare alla loro traiettoria. In particolare, sulla massa che ruota lungo l'orbita $R+r$ occorre esercitare una forza che abbia direzione e verso della forza gravitazionale, tale che
$F_c=F_g + F_1$, dato che deve aumentare la forza centripeta, cioè
$m*(omega_0)^2(R+r)= G*(Mm)/(R+r)^2 + F_1$ e sostituendo $omega_0$ e ricavando $F_1$ ho:
$F=GMm (3r)/(R^2*(R+2r))$
Per la massa che ruota lungo l'orbita $R-r$, occorre esercitare una forza che abbia stessa direzione della forza gravitazionale ma verso opposto, in modo da diminuire la forza centripeta. La ricavo allo stesso modo che sopra e ottengo
$F_2=GMm (3r)/(R^2(R-2r))$
con $F_2>F_1$
c) Adesso so che i due corpi devono muoversi a contatto fra loro e quindi devono avere la stessa velocità angolare. Siccome mi dice di far riferimento al punto b), essi devono muoversi con velocità angolare $omega_0$. Sono in dubbio su questo: l'esercizio mi dice che la forza che modifica la velocità angolare adesso è data dall'interazione gravitazionale fra i due, che è uguale, ovviamente per entrambi, a $Gm^2/(4r^2)$. Invece noi abbiamo visto nel punto b) che le forze necessarie per far sì che i due si muovano a quella velocità nelle loro orbite è diversa per ciascuno.
Ho immaginato allora che dovessi scrivere
$F_1
Come devo fare? Grazie dell'aiuto.
Risposte
O forse per ciascuno dei due corpi devo considerare che sta continuando ad agire una forza esterna che si combina alla comune forza gravitazione di attrazione?
Probabilmente già conosci il sito delle Olimpiadi di Fisica. In questa sezione (problemi ammissione SNS) c'è anche la soluzione del problema che hai proposto.
Grazie mille del link. Quoto una cosa che non ho capito del ragionamento che ho trovato nei sito che mi hai segnalato:
"3.) il centro di massa dei due corpi sta nel punto di contatto, e quindi si muove a velocità angolare $w_0$; tra i corpi c'è una forza di contatto N che li respinge, ma non può di certo farli allontanare. Perciò la disuguaglianza si impone mettendo che questa forza sia maggiore di zero sul primo pianeta e minore di zero sul secondo. Se $g_1$ è la forza con cui il primo pianeta è attratto dal secondo, in modulo bisogna avere $g_1 >= F_1$, dove $F_1$ è la forza chiesta nel secondo punto, cioè la forza che occorre esercitare sull'altro pianeta per mantenerlo alla stessa orbita con velocità $w_0$."
Non ho capito cosa c'entra la forza di contatto e soprattutto con quale forza si identifica: sarebbe la reazione alla forza $F_1$ che ho trovato nel secondo punto e che per questo deve essere equilibrata con la forza gravitazionale di attrazione reciproca?
"3.) il centro di massa dei due corpi sta nel punto di contatto, e quindi si muove a velocità angolare $w_0$; tra i corpi c'è una forza di contatto N che li respinge, ma non può di certo farli allontanare. Perciò la disuguaglianza si impone mettendo che questa forza sia maggiore di zero sul primo pianeta e minore di zero sul secondo. Se $g_1$ è la forza con cui il primo pianeta è attratto dal secondo, in modulo bisogna avere $g_1 >= F_1$, dove $F_1$ è la forza chiesta nel secondo punto, cioè la forza che occorre esercitare sull'altro pianeta per mantenerlo alla stessa orbita con velocità $w_0$."
Non ho capito cosa c'entra la forza di contatto e soprattutto con quale forza si identifica: sarebbe la reazione alla forza $F_1$ che ho trovato nel secondo punto e che per questo deve essere equilibrata con la forza gravitazionale di attrazione reciproca?
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