Corda e manubrio
Due corpi puntiformi entrambi di massa $m = 2 kg$ sono attaccati all’estremità di un’asta rigida di massa trascurabile e di lunghezza $L = 0.8 m$. Il sistema è appoggiato con gli estremi ad una parete verticale e al piano orizzontale entrambi lisci, nella configurazione in cui l’asta forma un angolo $θ_0 = π/3$ radianti con la parete verticale. Il manubrio viene mantenuto in equilibrio in tale configurazione mediante una corda, inestensibile e priva di massa, attaccata al corpo appoggiato sul piano orizzontale e fissata al punto O di incontro della parete verticale con il piano orizzontale. All’istante $t = 0$ la corda improvvisamente si spezza e il manubrio si mette in moto sotto l’azione della forza peso del corpo appoggiato alla parete verticale liscia. Determinare:
a) le componenti cartesiane del vettore posizione del centro di massa per t < 0;
b) la tensione della corda per t < 0;
c) l’espressione del modulo della velocità del centro di massa del manubrio dopo la rottura della corda (t > 0) in funzione dell’angolo θ formato dall’asta con la parete verticale;
d) l’energia cinetica interna del manubrio dopo che l’asta ha ruotato di un angolo di $pi/6$ radianti rispetto alla configurazione iniziale.
a) le componenti cartesiane del vettore posizione del centro di massa per t < 0;
b) la tensione della corda per t < 0;
c) l’espressione del modulo della velocità del centro di massa del manubrio dopo la rottura della corda (t > 0) in funzione dell’angolo θ formato dall’asta con la parete verticale;
d) l’energia cinetica interna del manubrio dopo che l’asta ha ruotato di un angolo di $pi/6$ radianti rispetto alla configurazione iniziale.

Risposte
a) essendo perfettamente equilibrato il mio manubrio avrà cdm (centro di massa) esattamente al centro del manubrio quinidi chiamando $m1$ la massa che sta sopra e $m2$ quella che sta sotto calcolo le loro coordinate
$m1 x=0 y=L*cos(teta_0)=0.4$
$m2 x=L*sin(teta_0)=0.7 y=0$
quindi la metà della componente $x$ di $m2$ è la $x$ del mio cdm e la metà della componente $y$ di $m1$ e la $y$ del mio cdm
$x=0.35$
$y=0.2$
b) siccome la forza peso è lunica forza che agisce allora sarà $T=mg=39.2 N$ ma non ne sono sicuro
c) per trovare la formula della velocitàrispetto alla componente $θ$ essndoci conservazione dell'energia meccanica visto l'assenza di forze dissipaticve, uguaglio l'energia potenziale e quella cinetica $m*g*h_(c d m)=1/2*m*v_(c d m)^2$ m si semplifica e risolvendo rispetto a v abbiamo $v_(c d m)=sqrt(2*g*h_(c d m))=sqrt(2*g*(Lcos(θ-θ_0))/2)$, poichè $h=L*cos(θ)$ ed essendo invece $h_(c d m)$ la meta di h si mette fratto 2 (se non mi sono spiegato bene chiedete pure di rispiegarlo). Qundi la mia formula diventa $v_(c d m)=sqrt(g*L*cos(θ-θ_0))$
d) $pi/6 rad = 9.5 g r a d i$ sostituisco 9.5 nella formula precedente ed ottengo $v_(c d m)=sqrt(g*L*cos(9.5))=2.78 m/s$
$m1 x=0 y=L*cos(teta_0)=0.4$
$m2 x=L*sin(teta_0)=0.7 y=0$
quindi la metà della componente $x$ di $m2$ è la $x$ del mio cdm e la metà della componente $y$ di $m1$ e la $y$ del mio cdm
$x=0.35$
$y=0.2$
b) siccome la forza peso è lunica forza che agisce allora sarà $T=mg=39.2 N$ ma non ne sono sicuro
c) per trovare la formula della velocitàrispetto alla componente $θ$ essndoci conservazione dell'energia meccanica visto l'assenza di forze dissipaticve, uguaglio l'energia potenziale e quella cinetica $m*g*h_(c d m)=1/2*m*v_(c d m)^2$ m si semplifica e risolvendo rispetto a v abbiamo $v_(c d m)=sqrt(2*g*h_(c d m))=sqrt(2*g*(Lcos(θ-θ_0))/2)$, poichè $h=L*cos(θ)$ ed essendo invece $h_(c d m)$ la meta di h si mette fratto 2 (se non mi sono spiegato bene chiedete pure di rispiegarlo). Qundi la mia formula diventa $v_(c d m)=sqrt(g*L*cos(θ-θ_0))$
d) $pi/6 rad = 9.5 g r a d i$ sostituisco 9.5 nella formula precedente ed ottengo $v_(c d m)=sqrt(g*L*cos(9.5))=2.78 m/s$
"brothers":
...
b) siccome la forza peso è lunica forza che agisce allora sarà $T=mg=39.2 N$ ma non ne sono sicuro
...
Questo è sicuramente sbagliato.
Devi considerare, oltre al peso e alla tensione del filo, anche le forze che le pareti esercitano sull'asta e imporre le condizioni di equilibrio sia traslazionale che rotazionale.
No.
A parte il punto a) tutto il resto è sbagliato.
Per trovare la posizione di equilibrio devi imporre l'equilibrio a traslazione e a rotazione.
Quindi la somma vettoriale di tutte le forze deve essere zero e la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad uno stesso polo deve essere zero. Dal bilancio di forze verticali ottieni immediatamente la forza verticale esercitata dal piano orizzontale, dal bilancio dei momenti calcolati rispetto al punto di appoggio sulla parete verticale ottieni la tensione della corda.
Per calcolare la velocità del centro di massa devi considerare che l'energia cinetica del sistema non è solo quella del centro di massa, pensa infatti a un manubrio incernierato in corrispondenza del centro di massa che ruota su se stesso: l'energia cinetica del centro di massa sarebbe nulla, ma ovviamente l'energia cinetica del sistema non è zero....
A parte il punto a) tutto il resto è sbagliato.
Per trovare la posizione di equilibrio devi imporre l'equilibrio a traslazione e a rotazione.
Quindi la somma vettoriale di tutte le forze deve essere zero e la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad uno stesso polo deve essere zero. Dal bilancio di forze verticali ottieni immediatamente la forza verticale esercitata dal piano orizzontale, dal bilancio dei momenti calcolati rispetto al punto di appoggio sulla parete verticale ottieni la tensione della corda.
Per calcolare la velocità del centro di massa devi considerare che l'energia cinetica del sistema non è solo quella del centro di massa, pensa infatti a un manubrio incernierato in corrispondenza del centro di massa che ruota su se stesso: l'energia cinetica del centro di massa sarebbe nulla, ma ovviamente l'energia cinetica del sistema non è zero....