Coordinate generalizzate

[giammarco.cugliari]

Buongiorno ,
non riesco proprio a capire quest'identità tra coordinate generalizzate:

$ (partialr_i)/(partial q_i) =(partialv_i)/(partial dot(q)_i) $ grazie.

[RenzoDF]

Moltiplicando e dividendo a sinistra per $dt$ te lo spieghi subito.

[giammarco.cugliari]

$ (partialr_i)/(partial q_i) =(partialv_i)/(partial dot(q)_i)=(dt)/(dt)(partialr_i)/(partial q_i)=(partialv_i)/(partial q_i)dt=(partialv_i)/(partial dot(q)_i) $


Nell' ultima ugulianza in pratica "gioco" con in differenziali dicendo che

$ partial dot(q)_i=d/(dt)partialq $ e applico le classiche regole della frazioni ?

[mathbells]

Quella relazione si ricava considerando la relazione funzionale tra coordinate fisiche e coordinate generalizzate e cioè:

\(\displaystyle r_i=r_i(q_1,...,q_n) \) ---------------------- (1)

Ne segue che, ricordando la regola di derivazione totale:

\(\displaystyle v_i=\frac{dr_i}{dt}=\sum_j\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\dot q_j \)

Da questa relazione, e dalla (1), si vede che $v_i$ è funzione delle $q_j$ e delle $\dot q_j$ e che il termine \(\displaystyle \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \) non dipende dalle $\dot q_j$. In altre parole $v_i$ è una combinazione lineare delle $\dot q_j$ con coefficienti le derivate parziali \(\displaystyle \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \) e quindi quando derivi parzialmente $v_i$ rispetto a $\dot q_i$ ottieni l'i-esimo coefficiente e cioè proprio \(\displaystyle \frac{\partial r_i}{\partial q_i} \), il che è la relazione che cercavi.

"RenzoDF":Moltiplicando e dividendo a sinistra per dt te lo spieghi subito

non mi sembra così semplice, anche maltrattando i differenziali . Potresti spiegare meglio?

[giammarco.cugliari]

Grazie per la risposta Mathbells , è chiarissima.
Comunque se volessi maltrattare i differenziali, a me verrebbe,
considerando:

$(partialr_i)/(partial q_i) =(partialv_i)/(partial dot(q)_i)=(dt)/(dt)(partialr_i)/(partial q_i)=(partialv_i)/(partial q_i)dt=(partialv_i)/(partial dot(q)_i) $

e

$partial dot(q)_i=d/(dt)partialq$

allora

$ (dt)/(dt)(partialr_i)/(partial q_i)=(partialv_i)/(partial q_i)dt=(partialv_i)/(partial dot(q)_i)= (partialv_i)/ (d/(dt)partialq_i)rArr (partialv_i)/(partial q_i)=(partialv_i)/(partial q_i) $

non credo che questo dimostri la mia relazione.