Convergenza raggi principali
Ciao, amici!
Vorrei chiedere se qualcuno conosce la dimostrazione geometrica del fatto che una lente biconcava o bincovessa fa incontrare in un solo punto i raggi parallelo, focale e del punto medio (quest'ultimo considerato come privo di "spostamento laterale" come se dove passa la lente non ci fosse affatto), cioè come, nel caso di una lente biconvessa, si dimostra che (facendo riferimento alla figura) la semiretta che parte dal punto dell'asse verticale alla cui altezza sta B e che passa da F', la semiretta prolungamento di BO, e la semiretta che parte dal punto dell'asse verticale dove arriva la linea che congiunge B all'asse verticale passando per F, si incontrano tutte in un solo punto, che in figura è B'.
Penso che possa essere più un argomento relativo alla geometria elementare pura che alla fisica, ma, dato che suppongo che chi è alle prese con studi fisici abbia a che fare con situazioni del genere, mi sembra indicato postare qui... Sempre poi che sia dimostrabile geometricamente (anche considerando nullo lo spostamento laterale del raggio del punto medio) e che non si tratti di un'approssimazione anche nel caso che il raggio del punto medio sia fatto passare senza spostamento per il punto medio O.
Ciao e grazie $+oo$ a tutti!
Davide
Vorrei chiedere se qualcuno conosce la dimostrazione geometrica del fatto che una lente biconcava o bincovessa fa incontrare in un solo punto i raggi parallelo, focale e del punto medio (quest'ultimo considerato come privo di "spostamento laterale" come se dove passa la lente non ci fosse affatto), cioè come, nel caso di una lente biconvessa, si dimostra che (facendo riferimento alla figura) la semiretta che parte dal punto dell'asse verticale alla cui altezza sta B e che passa da F', la semiretta prolungamento di BO, e la semiretta che parte dal punto dell'asse verticale dove arriva la linea che congiunge B all'asse verticale passando per F, si incontrano tutte in un solo punto, che in figura è B'.
Penso che possa essere più un argomento relativo alla geometria elementare pura che alla fisica, ma, dato che suppongo che chi è alle prese con studi fisici abbia a che fare con situazioni del genere, mi sembra indicato postare qui... Sempre poi che sia dimostrabile geometricamente (anche considerando nullo lo spostamento laterale del raggio del punto medio) e che non si tratti di un'approssimazione anche nel caso che il raggio del punto medio sia fatto passare senza spostamento per il punto medio O.
Ciao e grazie $+oo$ a tutti!
Davide
Risposte
Credo di aver trovato una dimostrazione utilizzando la geometria analitica...
Ponendo l'origine in O, il punto medio della lente, chiamando $d_o$ la distanza dell'oggetto dalla lente, $h_o$ la sua altezza e F la distanza di F e di F' da O, direi che l'equazione del raggio focale, prima di incontrare l'asse verticale, che considero asse delle y, sia $f(x)=(h_o/(F-d_o))(x+F)$ e che quindi l'altezza a cui tale raggio incontra l'asse verticale sia $f(0)=(h_oF)/(F-d_o)$ e quindi $y=(h_oF)/(F-d_o)$ direi che sia l'equazione del raggio focale una volta deflesso dalla lente.
Quanto al raggio parallelo, quello più in alto, direi che, una volta deflesso dalla lente, abbia per equazione $y=h_o-h_o/F x$, mentre mi pare che quello del raggio del punto medio sia semplicemente $y=-h_o/d_o x$.
Ponendo $h_o-h_o/F x=(h_oF)/(F-d_o)$ e $-h_o/d_o x=(h_oF)/(F-d_o)$ la soluzione mi pare che sia per entrambe le equazioni $x=(Fd_o)/(d_o-F)$, il che significa che sia $y=h_o-h_o/F x$ sia il raggio del punto medio incontrano $y=(h_oF)/(F-d_o)$ in corrispondenza della stessa ascissa, che è quanto si voleva dimostrare.
Nel caso di una lente biconcava, invece, il raggio deviato dalla lente che era in origine perpendicolare ad essa, proveniente dal punto più alto dell'oggetto riflesso, ha, sommato al proprio prolungamento, equazione $y=h_o/F x+h_o$; il raggio del punto medio direi che sia $y=-h_o/d_o x$ e l'equazione del raggio focale una volta deviato dalla lente, con il proprio prolungamento prima della lente, direi che sia $y=(Fh_o)/(F+d_o)$ (a partire dall'equazione della retta che unisce il punto più alto dell'oggetto e il fuoco dall'altra parte della lente, che mi pare sia $y=h_o/(F+d_o) (F-x)$); quindi, ponendo le equazioni del raggio del punto medio e del raggio in origine parallelo e deviato dalla lente, con il proprio prolungamento al di qua della lente, uguali a $(Fh_o)/(F+d_o)$, ottengo due soluzioni con $x=-(d_oF)/(F+d_o)$, che direi che dimostri quanto si voleva dimostrare.
Ciao e grazie comunque a tutti!!
Ponendo l'origine in O, il punto medio della lente, chiamando $d_o$ la distanza dell'oggetto dalla lente, $h_o$ la sua altezza e F la distanza di F e di F' da O, direi che l'equazione del raggio focale, prima di incontrare l'asse verticale, che considero asse delle y, sia $f(x)=(h_o/(F-d_o))(x+F)$ e che quindi l'altezza a cui tale raggio incontra l'asse verticale sia $f(0)=(h_oF)/(F-d_o)$ e quindi $y=(h_oF)/(F-d_o)$ direi che sia l'equazione del raggio focale una volta deflesso dalla lente.
Quanto al raggio parallelo, quello più in alto, direi che, una volta deflesso dalla lente, abbia per equazione $y=h_o-h_o/F x$, mentre mi pare che quello del raggio del punto medio sia semplicemente $y=-h_o/d_o x$.
Ponendo $h_o-h_o/F x=(h_oF)/(F-d_o)$ e $-h_o/d_o x=(h_oF)/(F-d_o)$ la soluzione mi pare che sia per entrambe le equazioni $x=(Fd_o)/(d_o-F)$, il che significa che sia $y=h_o-h_o/F x$ sia il raggio del punto medio incontrano $y=(h_oF)/(F-d_o)$ in corrispondenza della stessa ascissa, che è quanto si voleva dimostrare.
Nel caso di una lente biconcava, invece, il raggio deviato dalla lente che era in origine perpendicolare ad essa, proveniente dal punto più alto dell'oggetto riflesso, ha, sommato al proprio prolungamento, equazione $y=h_o/F x+h_o$; il raggio del punto medio direi che sia $y=-h_o/d_o x$ e l'equazione del raggio focale una volta deviato dalla lente, con il proprio prolungamento prima della lente, direi che sia $y=(Fh_o)/(F+d_o)$ (a partire dall'equazione della retta che unisce il punto più alto dell'oggetto e il fuoco dall'altra parte della lente, che mi pare sia $y=h_o/(F+d_o) (F-x)$); quindi, ponendo le equazioni del raggio del punto medio e del raggio in origine parallelo e deviato dalla lente, con il proprio prolungamento al di qua della lente, uguali a $(Fh_o)/(F+d_o)$, ottengo due soluzioni con $x=-(d_oF)/(F+d_o)$, che direi che dimostri quanto si voleva dimostrare.
Ciao e grazie comunque a tutti!!
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