Contributo dell'energia cinetica rotazionale nel rotolamento
Vi pongo questo interessante quesito: "Qual è il contributo di energia cinetica rotazionale nel moto di rotolamento di un cilindro?"
Io ho pensato che se l'energia totale nel rotolamento è uguale a "Energia translazionale + Energia Rotazionale" e il momento inerziale del cilindro è uguale a \( \frac {1} {2}•m•R^2 \) alla fine verrà fuori una cosa del genere: \(\frac {1} {2}•ω^2•(\frac {3} {2}•m•R^2)\).
Ma non saprei come interpretare la formula, al fine di dare una risposta al quesito. Come posso fare?
Io ho pensato che se l'energia totale nel rotolamento è uguale a "Energia translazionale + Energia Rotazionale" e il momento inerziale del cilindro è uguale a \( \frac {1} {2}•m•R^2 \) alla fine verrà fuori una cosa del genere: \(\frac {1} {2}•ω^2•(\frac {3} {2}•m•R^2)\).
Ma non saprei come interpretare la formula, al fine di dare una risposta al quesito. Come posso fare?
Risposte
Scusa, ma ti chiede "solo" quella rotazionale...perchè quel $3/2$ ?
Ciao, a me pare che tu, come del resto affermi, abbia calcolato l'energia cinetica totale di un cilindro che rotola. Il risultato è giusto ma non capisco perchè, come dici: “non saprei interpretare la formula”? Se hai calcolato l'energia cinetica totale la formula rappresenta quello! E' ovvio.
Tu dici: “verrà fuori qualcosa del genere”? Ma in base a cosa? Come ci sei arrivato?
La risposta al quesito la trovi usando il teo di Koenig (chiamo G il centro di massa intorna a cui rotola il cilindro):
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2$
infatti rispetto ad un sistema di riferimento solidale con all'asse del cilindro si ha un moto rotatorio di velocità $\omega$ mentre rispetto al piano, sul quale rotola il cilindro, l'asse e quindi G si spostano cone velocità $v=\omega r$ (se hai studiato il moto di rotolamento, questo punto ti dovrebbe essere chiaro, altrimenti ne possiamo parlare); dunque valendo per un cilindro $I_G = \frac{1}{2} m r^2$ ottieni per sostituzione nella formula che ho scritto sopra:
$K = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 + \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 = \frac{3}{4} m r^2 \omega^2$,
dunque il contributo di energia cinetica rotazionale risulterà: $\frac{1}{4} m r^2 \omega^2 $.
Tu dici: “verrà fuori qualcosa del genere”? Ma in base a cosa? Come ci sei arrivato?
La risposta al quesito la trovi usando il teo di Koenig (chiamo G il centro di massa intorna a cui rotola il cilindro):
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2$
infatti rispetto ad un sistema di riferimento solidale con all'asse del cilindro si ha un moto rotatorio di velocità $\omega$ mentre rispetto al piano, sul quale rotola il cilindro, l'asse e quindi G si spostano cone velocità $v=\omega r$ (se hai studiato il moto di rotolamento, questo punto ti dovrebbe essere chiaro, altrimenti ne possiamo parlare); dunque valendo per un cilindro $I_G = \frac{1}{2} m r^2$ ottieni per sostituzione nella formula che ho scritto sopra:
$K = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 + \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 = \frac{3}{4} m r^2 \omega^2$,
dunque il contributo di energia cinetica rotazionale risulterà: $\frac{1}{4} m r^2 \omega^2 $.
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