Consiglio libro Relatività Generale
Ciao a tutti!
Potete consigliarmi un buon libro che introduca bene la Relatività Generale? Più che altro mi servirebbe un libro che oltre che a spiegare la RG allo stesso tempo introduco passo passo i concetti fondamentali della Geometria Differenziale.
Per la ristretta sono apposto.
Grazie!
Potete consigliarmi un buon libro che introduca bene la Relatività Generale? Più che altro mi servirebbe un libro che oltre che a spiegare la RG allo stesso tempo introduco passo passo i concetti fondamentali della Geometria Differenziale.
Per la ristretta sono apposto.
Grazie!
Risposte
Ti consiglio :
Bernard Schutz : A first course in General Relativity - Cambridge University Press.
semplice e chiaro.
Lo Schutz ha anche scritto : Geometrical methods of mathematical physics , sempre edito da C.U.P.
Io ho studiato su questi.
Poi guarda anche questi due link :
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... 011_12.pdf
Sean Carroll ha ampliato le dispense in un libro, anche molto chiaro, che puoi rintracciare su Amazon.
Bernard Schutz : A first course in General Relativity - Cambridge University Press.
semplice e chiaro.
Lo Schutz ha anche scritto : Geometrical methods of mathematical physics , sempre edito da C.U.P.
Io ho studiato su questi.
Poi guarda anche questi due link :
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... 011_12.pdf
Sean Carroll ha ampliato le dispense in un libro, anche molto chiaro, che puoi rintracciare su Amazon.
Grazie mille Navigatore!!!
Sto già iniziano a leggere le dispense
Sto già iniziano a leggere le dispense
Di niente.
Anche in italiano si trova molto materiale sul web. Per esempio, trovo molto belle queste 'Dodici lezioni sulla Relatività' di Magri e Ghisi :
http://www.webalice.it/dghisi/scritti/relativita.pdf
che trattano sia la RR, in maniera estesa e non usuale, che la RG negli ultimi 3 capitoli. Ma trovo molto bella la trattazione delle forme differenziali e delle equazioni di Maxwell, a proposito delle quali si dimostra che, potendosi scrivere come equazioni tensoriali, sono invarianti non solo in RR ma anche in RG, cioè rispettano il principio di covarianza generale.
Anche in italiano si trova molto materiale sul web. Per esempio, trovo molto belle queste 'Dodici lezioni sulla Relatività' di Magri e Ghisi :
http://www.webalice.it/dghisi/scritti/relativita.pdf
che trattano sia la RR, in maniera estesa e non usuale, che la RG negli ultimi 3 capitoli. Ma trovo molto bella la trattazione delle forme differenziali e delle equazioni di Maxwell, a proposito delle quali si dimostra che, potendosi scrivere come equazioni tensoriali, sono invarianti non solo in RR ma anche in RG, cioè rispettano il principio di covarianza generale.
Grazie ancora 
Leggendo le dispense mi è sorto però un dubbio,anzi, più dubbi. Spero che tu mi possa aiutare!
Provo a farti un riassunto di tutto quello che ho capito fino ad ora così credo sarà più semplice per te vedere quanto poco ho capito (
)!
Allora, so che la RG si basa sul principio di equivalenza elaborato da Einstein. Esso si può trovare in due versioni quella "forte" la quale afferma che in un campo gravitazionale qualsiasi è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale è sempre possibile trovare un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione gravitazionale sono nulli, mentre quella "debole" afferma che la massa inerziale e la massa gravitazionale sono numericamente uguali.
Einstein per illustrare il principio fece l'esperimento mentale dell'ascensore.
Questo principio di equivalenza stabilisce una grande connessione tra il campo gravitazionale e la geometria stessa dello spazio-tempo.
Lo spazio-tempo quindi è curvo, e per descriverlo dobbiamo usare necessariamente il linguaggio della geometria differenziale.
Il primo "oggetto" è il tensore metrico $g_(mu nu)$ il quale ci descrive la geometria locale (quindi in un intorno infinitesimale) dello spazio tempo.
Per trovare la distanza spaziotemporale tra due punti molto vicini tra loro: $ P=(xi^1 ; xi^2)$ e $P' = (xi^1+d xi^1; xi^2+d xi^2)$ possiamo usare il teorema di pitagora:
$ds^2 = (d xi^1)^2 + (d xi^2)^2$
Considerando adesso un nuovo sistema di cordinate $(x^1 , x^2)$. Per esprimere la distanza tra questi due punti dobbiamo trovare $d xi^1$ e $d xi^2$ in termini di $x^1$ e $x^2$.
Troviamo quindi che:
$d xi^1 = (partial xi^1)/(partial x^1) dx^1 + (partial xi^1)/(partial x^2) dx^2 $
$d xi^2 = (partial xi^2)/(partial x^1) dx^1 + (partial xi^2)/(partial x^2) dx^2 $
quindi la metrica è :
$ ds^2 = g_(mu nu) dx^(mu) dx^(nu) $ (Ho tralasciato tutti i calcoli per arrivare a questa formula)
$g_(mu nu)$ è quindi il tensore metrico che è un tensore simmetrico.
1^ DOMANDA : Il Tensore metrico è sempre una matrice vero? Perchè ad esempio il tensore metrico per uno spazio piatto di minkowski è $eta_(mu nu) = diag(-1 1 1 1)$
Andiamo avanti: I simboli di Christoffel.
Vogliamo trovare l'equazione del moto di una particella che è mossa soltanto da un campo gravitazionale, ovvero è in caduta libera, quando è osservata da un sistema di riferimento arbitrario.
Per prima cosa analizziamo il moto in un sistema di riferimento locale legato alla particella che cade.
Innanzitutto la distanza $ds^2$ è data dalla metrica dello spazio piatto minkowskiano che è quindi:
$ds^2 = eta_(mu nu) d xi^(mu)d xi^(nu)$
Se consideriamo $tau$ come il tempo proprio della particella, l'equazione del moto diventa:
$ (d^2 xi^alpha)/(d tau^2?) = 0$
Questo deriva dal fatto che ci troviamo in un sistema di riferimento locale e quindi vale il principio di equivalenza.
Se cambiamo però sistema di riferimento con coordinate $x^(alpha) = x^(alpha)(xi^(alpha))$
La metrica quindi cambia in questo modo:
$ds^2 = eta_(mu nu) (partial xi^(alpha))/(partial x^mu) dx^(mu) (partial xi^(beta))/(partial x^(nu)) dx^(nu) = g_(mu nu) dx^(mu) dx^(nu)$
dove il tensore metrico in questo sistema di riferimento diventa: $g_(mu nu) = eta_(mu nu) (partial xi^(alpha))/(partial x^mu) (partial xi^(beta))/(partial x^(nu))$
L'equazione del moto allora si trasforma diventando:
$ (d x^(alpha))/(d tau^(alpha)) + [ (partial x^(alpha))/(partial xi^(lambda)) (partial xi^(lambda))/(partial x^(mu) partial x^(nu))] [ (d x^(mu))/(d tau) (d x^(nu))/(d tau)]$
Definiamo adesso allora la seguente quantità chimata simbolo di Christoffel:
$Gamma_(mu nu)^(alpha) = (partial x^(alpha))/(partial xi^(lambda)) (partial xi^(lambda))/(partial x^(mu) partial x^(nu))$
L'eq. del moto scritta prima è chimata equazione delle geodetiche.
Analizzandola vediamo che il termine:
$Gamma_(mu nu)^(alpha) * [ (d x^(mu))/(d tau) (d x^(nu))/(d tau)]$
Sarebbe se fossimo nella meccanica Newtoniana $vec(g)$.
Le dispense poi concludono dicendo che allora, Il simobolo di Christoffel è la generalizzazione del campo gravitazionale di Newton, mentre il tensore metrico è la generalizzazione del potenziale gravitazionale Newtoniano.
Io non ho ben capito l'ultima affermazione: Perchè $Gamma$ sarebbe la generalizzazione del campo gravitazionale e perchè $g$ sarebbe la generalizzazione del potenziale gravitazionale? E poi, quel tensore metrico ricavato, è valido per qualsiasi corpo che cade verso la terra, o anche per altre situazioni? Ultima domanda, forse la più importante, ho scritto tante cavolate ??
Scusa se ho scritto un pochino, ma se riuscissi a dedicare un po' del tuo tempo, ti sarei infinitamente grato!!!!!!
Leggendo le dispense mi è sorto però un dubbio,anzi, più dubbi. Spero che tu mi possa aiutare!
Provo a farti un riassunto di tutto quello che ho capito fino ad ora così credo sarà più semplice per te vedere quanto poco ho capito (
)!Allora, so che la RG si basa sul principio di equivalenza elaborato da Einstein. Esso si può trovare in due versioni quella "forte" la quale afferma che in un campo gravitazionale qualsiasi è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale è sempre possibile trovare un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione gravitazionale sono nulli, mentre quella "debole" afferma che la massa inerziale e la massa gravitazionale sono numericamente uguali.
Einstein per illustrare il principio fece l'esperimento mentale dell'ascensore.
Questo principio di equivalenza stabilisce una grande connessione tra il campo gravitazionale e la geometria stessa dello spazio-tempo.
Lo spazio-tempo quindi è curvo, e per descriverlo dobbiamo usare necessariamente il linguaggio della geometria differenziale.
Il primo "oggetto" è il tensore metrico $g_(mu nu)$ il quale ci descrive la geometria locale (quindi in un intorno infinitesimale) dello spazio tempo.
Per trovare la distanza spaziotemporale tra due punti molto vicini tra loro: $ P=(xi^1 ; xi^2)$ e $P' = (xi^1+d xi^1; xi^2+d xi^2)$ possiamo usare il teorema di pitagora:
$ds^2 = (d xi^1)^2 + (d xi^2)^2$
Considerando adesso un nuovo sistema di cordinate $(x^1 , x^2)$. Per esprimere la distanza tra questi due punti dobbiamo trovare $d xi^1$ e $d xi^2$ in termini di $x^1$ e $x^2$.
Troviamo quindi che:
$d xi^1 = (partial xi^1)/(partial x^1) dx^1 + (partial xi^1)/(partial x^2) dx^2 $
$d xi^2 = (partial xi^2)/(partial x^1) dx^1 + (partial xi^2)/(partial x^2) dx^2 $
quindi la metrica è :
$ ds^2 = g_(mu nu) dx^(mu) dx^(nu) $ (Ho tralasciato tutti i calcoli per arrivare a questa formula)
$g_(mu nu)$ è quindi il tensore metrico che è un tensore simmetrico.
1^ DOMANDA : Il Tensore metrico è sempre una matrice vero? Perchè ad esempio il tensore metrico per uno spazio piatto di minkowski è $eta_(mu nu) = diag(-1 1 1 1)$
Andiamo avanti: I simboli di Christoffel.
Vogliamo trovare l'equazione del moto di una particella che è mossa soltanto da un campo gravitazionale, ovvero è in caduta libera, quando è osservata da un sistema di riferimento arbitrario.
Per prima cosa analizziamo il moto in un sistema di riferimento locale legato alla particella che cade.
Innanzitutto la distanza $ds^2$ è data dalla metrica dello spazio piatto minkowskiano che è quindi:
$ds^2 = eta_(mu nu) d xi^(mu)d xi^(nu)$
Se consideriamo $tau$ come il tempo proprio della particella, l'equazione del moto diventa:
$ (d^2 xi^alpha)/(d tau^2?) = 0$
Questo deriva dal fatto che ci troviamo in un sistema di riferimento locale e quindi vale il principio di equivalenza.
Se cambiamo però sistema di riferimento con coordinate $x^(alpha) = x^(alpha)(xi^(alpha))$
La metrica quindi cambia in questo modo:
$ds^2 = eta_(mu nu) (partial xi^(alpha))/(partial x^mu) dx^(mu) (partial xi^(beta))/(partial x^(nu)) dx^(nu) = g_(mu nu) dx^(mu) dx^(nu)$
dove il tensore metrico in questo sistema di riferimento diventa: $g_(mu nu) = eta_(mu nu) (partial xi^(alpha))/(partial x^mu) (partial xi^(beta))/(partial x^(nu))$
L'equazione del moto allora si trasforma diventando:
$ (d x^(alpha))/(d tau^(alpha)) + [ (partial x^(alpha))/(partial xi^(lambda)) (partial xi^(lambda))/(partial x^(mu) partial x^(nu))] [ (d x^(mu))/(d tau) (d x^(nu))/(d tau)]$
Definiamo adesso allora la seguente quantità chimata simbolo di Christoffel:
$Gamma_(mu nu)^(alpha) = (partial x^(alpha))/(partial xi^(lambda)) (partial xi^(lambda))/(partial x^(mu) partial x^(nu))$
L'eq. del moto scritta prima è chimata equazione delle geodetiche.
Analizzandola vediamo che il termine:
$Gamma_(mu nu)^(alpha) * [ (d x^(mu))/(d tau) (d x^(nu))/(d tau)]$
Sarebbe se fossimo nella meccanica Newtoniana $vec(g)$.
Le dispense poi concludono dicendo che allora, Il simobolo di Christoffel è la generalizzazione del campo gravitazionale di Newton, mentre il tensore metrico è la generalizzazione del potenziale gravitazionale Newtoniano.
Io non ho ben capito l'ultima affermazione: Perchè $Gamma$ sarebbe la generalizzazione del campo gravitazionale e perchè $g$ sarebbe la generalizzazione del potenziale gravitazionale? E poi, quel tensore metrico ricavato, è valido per qualsiasi corpo che cade verso la terra, o anche per altre situazioni? Ultima domanda, forse la più importante, ho scritto tante cavolate
??Scusa se ho scritto un pochino, ma se riuscissi a dedicare un po' del tuo tempo, ti sarei infinitamente grato!!!!!!
Accidenti Grimx! 
Per avere solo 15 anni, sei riuscito a capire cose piuttosto difficili!
Ma io me lo spiego col fatto che sei uno Jedi : i Jedi a 15 anni sono bravi come Einstein + Bohr + Dirac + Heisenberg + ET messi insieme…. Quale è stata l'ultima Galassia che hai visitato? E quale wormhole da buco nero a buco bianco hai preso per arrivare fin qui?
Ora proverà, questo umile Luke Seawalker, a rispondere a qualche domanda di Dart Fenner, chiedendo venia fina da ora…
Si, praticamente ci sei...…hai un po' pasticciato la versione forte, che sarebbe più chiara così :
" In ogni punto dello ST si può immaginare un sistema di riferimento locale, in caduta libera nel campo gravitazionale ivi esistente, tale quindi da annullare gli effetti del campo gravitazionale. Questo riferimento inerziale locale (LIF) deve essere piccolo a sufficienza per poter trascurare, ovvero rendere non rilevabili per i limiti consentiti dagli strumenti di misura, effetti del secondo ordine, cioè le "deviazioni geodetiche" , che sono manifestazione diretta della "curvatura" dello ST. In questo LIF, le leggi della Fisica sono quelle della Relatività Ristretta."
Qui ti posso rispondere in due modi, uno breve uno lungo.
1)Modo breve : nello ST della RR, che vale nel LIF come detto, l'elemento lineare (pongo $x^0 = ct = t$ , le altre 3 sono le coordinate spaziali) è dato da :
$ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 $
e vedi da te quali sono i coefficienti della metrica piatta di Minkowski.
2) modo lungo : senza troppe sofisticazioni matematiche, per cui chiedo scusa ai matematici, il tensore metrico è un operatore bilineare $g(…,…)$ , che prende nei suoi due slot vuoti due 4-vettori $\vecA= e_\alphaA^\alpha$ , $\vecB=e_\betaB^\beta$ (dove gli $e_\alpha, e_\beta$ sono le basi, ovviamente) e restituisce il loro prodotto scalare.
Quindi : $g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta$
Quindi, quando scriviamo il prodotto scalare nella forma :
$g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta$ , intendiamo che : $g_(\alpha\beta)$ è il risultato della applicazione di $g(…,…)$ ai vettori base dello spazio.
Ma nella geometria pseudo-euclidea dello ST piatto di Minkowski, quali sono i vettori base, se le coordinate spaziali sono le solite cartesiane ortogonali ?
$e_0 = (1,0,0,0)$
$e_1 = (0,1,0,0)$
$e_2 = (0,0,1,0)$
$e_3 = (0,0,0,1)$
Il primo $e_0$ è il vettore-base unitario di tipo tempo: se disegni in un diagramma di Minkowski una linea di universo temporale, il vettore unitario tipo tempo tangente alla linea in un suo punto non è altro che la 4-velocità :
$\vecU = (\gamma, gamma\vecv)$
il cui modulo quadro vale $-1$ come sai.
E questo ci dice che il prodotto scalare $\langlee_0,e_0\rangle = g_(00) = -1$ . Ci sei ?
Tralascio gli altri prodotti scalari, banalissimi. Per cui si ha :
$g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta = g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta = -1*(A^0*B^0) + 1*(A^1*B^1) + 1*(A^2*B^2) + 1* (A^3*B^3) $
e questa espressione ti dice quali sono i coefficienti della metrica di Minkowski : $\eta_(\mu,\nu) = diag(-1,1,1,1) $
Ora però io devo fermarmi, per forza di cose. Ti risponderò domani sui simboli di Christoffel e sul fatto che i coefficienti della metrica sono come il potenziale newtoniano. Addirittura, siccome la matrice 4x4 dei $g_(\mu\nu)$ è simmetrica, i potenziali sono 10 , non uno solo. Ma è storia lunga e delicata. Comunque se ricordo bene questo è spiegato nella dispensa di Carroll. Devi andare a cercare l'approssimazione newtoniana del campo, che come sai è debole.
Ti segnalo qualche svista :
Deriva dal fatto che nel riferimento locale una particella libera ha accelerazione nulla, come nel caso newtoniano ( o della RR, per meglio dire). Il principio di equivalenza ci ha consentito di scegliere il riferimento inerziale di coordinate $\xi^\alpha$, la cui derivata seconda si deve annullare.
Non puoi ripetere tre volte l'indice in quel modo ! Devi scrivere : $x^\beta=x^\beta(\xi^\alpha)$
qui ci vuole una derivata seconda : $(d^2x^\alpha)/(d\tau^2)+…..$
Conviene poi esprimere i simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della metrica, perchè messi in quel modo sono poco significativi. MA il processo è lungo, comunque è spiegato nei libri come si fa.....
Riguardo a questo quesito :
scordati della terra. Ma non ho francamente capito da dove deriva il quesito stesso. Qui si sta parlando di " moto di una particella in un campo gravitazionale" , quindi in uno ST curvato dalla materia-energia. Non ho ben capito se ti riferisci alla "massa" della particella , nel qual caso ti dico: non c'entra! C'entra invece la massa-energia che crea il campo, quella si.
Tant'è vero, che quando si studiano soluzioni particolari delle equazioni di campo di E. , come per es. la soluzione di Schwarzschild, si studia pure come la geometria "curva" di tale ST faccia curvare i raggi di luce.
Per avere solo 15 anni, sei riuscito a capire cose piuttosto difficili!
Ma io me lo spiego col fatto che sei uno Jedi : i Jedi a 15 anni sono bravi come Einstein + Bohr + Dirac + Heisenberg + ET messi insieme….
Quale è stata l'ultima Galassia che hai visitato? E quale wormhole da buco nero a buco bianco hai preso per arrivare fin qui? Ora proverà, questo umile Luke Seawalker, a rispondere a qualche domanda di Dart Fenner, chiedendo venia fina da ora…
Allora, so che la RG si basa sul principio di equivalenza elaborato da Einstein. Esso si può trovare in due versioni quella "forte" la quale afferma che in un campo gravitazionale qualsiasi è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale è sempre possibile trovare un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione gravitazionale sono nulli, mentre quella "debole" afferma che la massa inerziale e la massa gravitazionale sono numericamente uguali.
Si, praticamente ci sei...…hai un po' pasticciato la versione forte, che sarebbe più chiara così :
" In ogni punto dello ST si può immaginare un sistema di riferimento locale, in caduta libera nel campo gravitazionale ivi esistente, tale quindi da annullare gli effetti del campo gravitazionale. Questo riferimento inerziale locale (LIF) deve essere piccolo a sufficienza per poter trascurare, ovvero rendere non rilevabili per i limiti consentiti dagli strumenti di misura, effetti del secondo ordine, cioè le "deviazioni geodetiche" , che sono manifestazione diretta della "curvatura" dello ST. In questo LIF, le leggi della Fisica sono quelle della Relatività Ristretta."
quindi la metrica è :
$ds^2=g_(\mu\nu)dx^\mudx^\nu$ (Ho tralasciato tutti i calcoli per arrivare a questa formula)
$g_(\mu\nu)$ è quindi il tensore metrico che è un tensore simmetrico.
1^ DOMANDA : Il Tensore metrico è sempre una matrice vero? Perchè ad esempio il tensore metrico per uno spazio piatto di minkowski è $\eta_(\mu\nu)=diag(−1,1,1,1)$
Qui ti posso rispondere in due modi, uno breve uno lungo.
1)Modo breve : nello ST della RR, che vale nel LIF come detto, l'elemento lineare (pongo $x^0 = ct = t$ , le altre 3 sono le coordinate spaziali) è dato da :
$ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 $
e vedi da te quali sono i coefficienti della metrica piatta di Minkowski.
2) modo lungo : senza troppe sofisticazioni matematiche, per cui chiedo scusa ai matematici, il tensore metrico è un operatore bilineare $g(…,…)$ , che prende nei suoi due slot vuoti due 4-vettori $\vecA= e_\alphaA^\alpha$ , $\vecB=e_\betaB^\beta$ (dove gli $e_\alpha, e_\beta$ sono le basi, ovviamente) e restituisce il loro prodotto scalare.
Quindi : $g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta$
Quindi, quando scriviamo il prodotto scalare nella forma :
$g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta$ , intendiamo che : $g_(\alpha\beta)$ è il risultato della applicazione di $g(…,…)$ ai vettori base dello spazio.
Ma nella geometria pseudo-euclidea dello ST piatto di Minkowski, quali sono i vettori base, se le coordinate spaziali sono le solite cartesiane ortogonali ?
$e_0 = (1,0,0,0)$
$e_1 = (0,1,0,0)$
$e_2 = (0,0,1,0)$
$e_3 = (0,0,0,1)$
Il primo $e_0$ è il vettore-base unitario di tipo tempo: se disegni in un diagramma di Minkowski una linea di universo temporale, il vettore unitario tipo tempo tangente alla linea in un suo punto non è altro che la 4-velocità :
$\vecU = (\gamma, gamma\vecv)$
il cui modulo quadro vale $-1$ come sai.
E questo ci dice che il prodotto scalare $\langlee_0,e_0\rangle = g_(00) = -1$ . Ci sei ?
Tralascio gli altri prodotti scalari, banalissimi. Per cui si ha :
$g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta = g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta = -1*(A^0*B^0) + 1*(A^1*B^1) + 1*(A^2*B^2) + 1* (A^3*B^3) $
e questa espressione ti dice quali sono i coefficienti della metrica di Minkowski : $\eta_(\mu,\nu) = diag(-1,1,1,1) $
Ora però io devo fermarmi, per forza di cose. Ti risponderò domani sui simboli di Christoffel e sul fatto che i coefficienti della metrica sono come il potenziale newtoniano. Addirittura, siccome la matrice 4x4 dei $g_(\mu\nu)$ è simmetrica, i potenziali sono 10 , non uno solo. Ma è storia lunga e delicata. Comunque se ricordo bene questo è spiegato nella dispensa di Carroll. Devi andare a cercare l'approssimazione newtoniana del campo, che come sai è debole.
Ti segnalo qualche svista :
Questo deriva dal fatto che ci troviamo in un sistema di riferimento locale e quindi vale il principio di equivalenza.
Deriva dal fatto che nel riferimento locale una particella libera ha accelerazione nulla, come nel caso newtoniano ( o della RR, per meglio dire). Il principio di equivalenza ci ha consentito di scegliere il riferimento inerziale di coordinate $\xi^\alpha$, la cui derivata seconda si deve annullare.
Se cambiamo però sistema di riferimento con coordinate $x^\alpha=x^\alpha(\xi^\alpha)$
Non puoi ripetere tre volte l'indice in quel modo ! Devi scrivere : $x^\beta=x^\beta(\xi^\alpha)$
L'equazione del moto allora si trasforma diventando:
$(dx^\alpha)/(d\tau^\alpha)+…..$
qui ci vuole una derivata seconda : $(d^2x^\alpha)/(d\tau^2)+…..$
Conviene poi esprimere i simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della metrica, perchè messi in quel modo sono poco significativi. MA il processo è lungo, comunque è spiegato nei libri come si fa.....
Riguardo a questo quesito :
E poi, quel tensore metrico ricavato, è valido per qualsiasi corpo che cade verso la terra, o anche per altre situazioni?
scordati della terra. Ma non ho francamente capito da dove deriva il quesito stesso. Qui si sta parlando di " moto di una particella in un campo gravitazionale" , quindi in uno ST curvato dalla materia-energia. Non ho ben capito se ti riferisci alla "massa" della particella , nel qual caso ti dico: non c'entra! C'entra invece la massa-energia che crea il campo, quella si.
Tant'è vero, che quando si studiano soluzioni particolari delle equazioni di campo di E. , come per es. la soluzione di Schwarzschild, si studia pure come la geometria "curva" di tale ST faccia curvare i raggi di luce.
Bhe che dire, GRAZIE!
Per quanto riguarda la domanda sul tensore metrico, adesso ho ben capito, era come mi immaginavo.
Grazie anche per le correzioni, non le avevo notate!
Hai ragione è meglio scrivere i simboli di Christoffel in funzione del tensore metrico e delle sue derivate, non l'avevo scritto perchè avevo paura di scrivere troppo quindi ho lasciato stare
Per quanto riguarda l'ultima domanda, si , mi sono espresso male io probabilmente, ma dovrei essermi chiarito da solo le idee.
Io sarò pure un jedi, ma tu navigatore, sei un salvatore!
Per quanto riguarda la domanda sul tensore metrico, adesso ho ben capito, era come mi immaginavo
.Grazie anche per le correzioni, non le avevo notate!
Hai ragione è meglio scrivere i simboli di Christoffel in funzione del tensore metrico e delle sue derivate, non l'avevo scritto perchè avevo paura di scrivere troppo quindi ho lasciato stare
Per quanto riguarda l'ultima domanda, si , mi sono espresso male io probabilmente, ma dovrei essermi chiarito da solo le idee.
Io sarò pure un jedi, ma tu navigatore, sei un salvatore!
Salve cavaliere Jedi, la forza sia con te. Mi hai salutato Obi-Wan Kenobi? Ma prima di tutto, sei in Via Lattea o in Andromeda?
Se sei in giro per il Gruppo Locale, sbrigati a tornare, devi fare rifornimento di antimateria per i motori.
Dunque, ieri mi avevi chiesto perché i coefficienti della metrica sono considerati alla stregua del potenziale gravitazionale newtoniano della Meccanica classica. Ti avevo promesso di fartelo vedere. MA non posso evidentemente fartelo vedere in un caso il più generale possibile, altrimenti dovrei scrivere un libro di RG, e non ne sono capace. E poi non è questa la sede.
Posso però farti vedere come, proprio nel caso semplice della gravitazione newtoniana, i coefficienti della metrica sono strettamente legati al potenziale gravitazionale, anzi in un certo senso "sono" il potenziale gravitazionale.
Sembra strano, eppure anche la semplice gravitazione newtoniana può essere trattata con la Relatività Generale. Uno pensa: la RG serve per gli intensissimi campi gravitazionali delle stelle di neutroni, magari binarie, o per i buchi neri, o per la cosmologia relativistica, non certo per la gravitazione newtoniana.
Be', non è vero. In fondo, noi viviamo sulla Terra, in un campo gravitazionale debolissimo se paragonato a quelli detti, e il nostro Sole fa quello che può per curvare lo spaziotempo…eppure il debole campo gravitazionale del Sole è quello che causa la curvatura a cui va imputata la deviazione della luce proveniente dalle stelle, e l'avanzamento del perielio di Mercurio, se trattato come si deve con i metodi matematici della RG.
Per trattare il c.g. newtoniano con la RG ci si basa su tre aspetti peculiari :
1)le velocità delle particelle sono piccole, in paragone a $c$
2) il campo è statico, non cambia nel tempo, per cui le derivate temporali delle quantità coinvolte sono nulle
3)il campo è debole : questo permette di dire che lo spaziotempo è quasi piatto, perciò differisce di poco dallo spaziotempo piatto della RR . Quindi la metrica, data attraverso i suoi coefficienti $g_(\mu\nu)$ , differisce poco dalla metrica di Minkowski $\eta_(\mu\nu) = diag( -1,1,1,1)$ .
Allora si può pensare che i coefficienti della metrica si possano scrivere così :
$g_(\mu\nu) = \eta_(\mu\nu) + h_(\mu\nu)$
dove $ h_(\mu\nu)$ è molto minore di $1$.
E questo è quello che si fa : si studia il moto di una particella in questo campo gravitazionale debole ( cosa che con la meccanica newtoniana sappiamo fare benissimo) partendo dall'equazione della geodetica in coordinate qualsiasi, e tenendo conto dei tre aspetti peculiari detti.
E si vede dove si va a finire.
Si va a finire che l'equazione del moto newtoniana diventa : $ddotx^i = 1/2h_(00),_i$
che si può identificare con : $ddotx^i = - (partial\Phi)/(partialx^i) = - \Phi,_i$ ( la virgola sta per la derivata parziale)
se si assume che sia : $1/2h_(00),_i = - \Phi,_i$
ovvero : $ h_(00) = -2\Phi$ .
Il calcolo è lungo e fastidioso. E siccome mi pesa scrivere le formule al computer, l'ho fatto sui fogli allegati.
Naturalmente oltre a questo calcolo della parte spaziale della geodetica, c'è anche la parte temporale. Non l'ho riportata. Ma se lo fai da solo, vedrai a che cosa ti porta. Te lo dico : ti porta alla conservazione dell'energia.
Ma in conclusione quello che volevo mostrarti è che i coefficienti della metrica si possono identificare con il potenziale gravitazionale. Nel caso newtoniano ce n'è uno solo, di potenziale. Nel caso generale, siccome $g_(\mu\nu)$ è un tensore doppio simmetrico ( = matrice 4x4 ), sarebbero addirittura 10 . In realtà, ci sono 4 funzioni arbitrarie coinvolte nella trasformazione delle coordinate. Quindi ci sono solo 6 funzioni realmente indipendenti associate ad una metrica.
Ciao Jedi.
Se sei in giro per il Gruppo Locale, sbrigati a tornare, devi fare rifornimento di antimateria per i motori.
Dunque, ieri mi avevi chiesto perché i coefficienti della metrica sono considerati alla stregua del potenziale gravitazionale newtoniano della Meccanica classica. Ti avevo promesso di fartelo vedere. MA non posso evidentemente fartelo vedere in un caso il più generale possibile, altrimenti dovrei scrivere un libro di RG, e non ne sono capace. E poi non è questa la sede.
Posso però farti vedere come, proprio nel caso semplice della gravitazione newtoniana, i coefficienti della metrica sono strettamente legati al potenziale gravitazionale, anzi in un certo senso "sono" il potenziale gravitazionale.
Sembra strano, eppure anche la semplice gravitazione newtoniana può essere trattata con la Relatività Generale. Uno pensa: la RG serve per gli intensissimi campi gravitazionali delle stelle di neutroni, magari binarie, o per i buchi neri, o per la cosmologia relativistica, non certo per la gravitazione newtoniana.
Be', non è vero. In fondo, noi viviamo sulla Terra, in un campo gravitazionale debolissimo se paragonato a quelli detti, e il nostro Sole fa quello che può per curvare lo spaziotempo…eppure il debole campo gravitazionale del Sole è quello che causa la curvatura a cui va imputata la deviazione della luce proveniente dalle stelle, e l'avanzamento del perielio di Mercurio, se trattato come si deve con i metodi matematici della RG.
Per trattare il c.g. newtoniano con la RG ci si basa su tre aspetti peculiari :
1)le velocità delle particelle sono piccole, in paragone a $c$
2) il campo è statico, non cambia nel tempo, per cui le derivate temporali delle quantità coinvolte sono nulle
3)il campo è debole : questo permette di dire che lo spaziotempo è quasi piatto, perciò differisce di poco dallo spaziotempo piatto della RR . Quindi la metrica, data attraverso i suoi coefficienti $g_(\mu\nu)$ , differisce poco dalla metrica di Minkowski $\eta_(\mu\nu) = diag( -1,1,1,1)$ .
Allora si può pensare che i coefficienti della metrica si possano scrivere così :
$g_(\mu\nu) = \eta_(\mu\nu) + h_(\mu\nu)$
dove $ h_(\mu\nu)$ è molto minore di $1$.
E questo è quello che si fa : si studia il moto di una particella in questo campo gravitazionale debole ( cosa che con la meccanica newtoniana sappiamo fare benissimo) partendo dall'equazione della geodetica in coordinate qualsiasi, e tenendo conto dei tre aspetti peculiari detti.
E si vede dove si va a finire.
Si va a finire che l'equazione del moto newtoniana diventa : $ddotx^i = 1/2h_(00),_i$
che si può identificare con : $ddotx^i = - (partial\Phi)/(partialx^i) = - \Phi,_i$ ( la virgola sta per la derivata parziale)
se si assume che sia : $1/2h_(00),_i = - \Phi,_i$
ovvero : $ h_(00) = -2\Phi$ .
Il calcolo è lungo e fastidioso. E siccome mi pesa scrivere le formule al computer, l'ho fatto sui fogli allegati.
Naturalmente oltre a questo calcolo della parte spaziale della geodetica, c'è anche la parte temporale. Non l'ho riportata. Ma se lo fai da solo, vedrai a che cosa ti porta. Te lo dico : ti porta alla conservazione dell'energia.
Ma in conclusione quello che volevo mostrarti è che i coefficienti della metrica si possono identificare con il potenziale gravitazionale. Nel caso newtoniano ce n'è uno solo, di potenziale. Nel caso generale, siccome $g_(\mu\nu)$ è un tensore doppio simmetrico ( = matrice 4x4 ), sarebbero addirittura 10 . In realtà, ci sono 4 funzioni arbitrarie coinvolte nella trasformazione delle coordinate. Quindi ci sono solo 6 funzioni realmente indipendenti associate ad una metrica.
Ciao Jedi.
Cavoli perfetto!!!!!
Ho iniziato la lettura, domani la continuo, ma il concetto credo di averlo afferrato.
Oggi ho comprato un libro di Relatività Generale, molti miei dubbi si sono placati, il libro lo trovo davvero ben fatto.
Domani ti faccio sapere.
Grazie ancora, non è facile fare tutto questo da solo, mi stai dando una mano enorme. Grazie!!!!!
Ho iniziato la lettura, domani la continuo, ma il concetto credo di averlo afferrato.
Oggi ho comprato un libro di Relatività Generale, molti miei dubbi si sono placati, il libro lo trovo davvero ben fatto.
Domani ti faccio sapere.
Grazie ancora, non è facile fare tutto questo da solo, mi stai dando una mano enorme. Grazie!!!!!
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