Considerazioni tra campi E e B che formano un angolo
Buongiorno, ultimamente mi sto esercitando su problemi di relatività, in particolare su campi elettromagnetici. Ogni tanto incontro qualche inghippo e vorrei capire/risolvere. 
Anzitutto ho rappresentato la situazione in esame nel seguente modo:
Per il primo punto ho detto che in generale, in un generico sistema di riferimento inerziale $S'$, accade che tutte le componenti dei campi elettrici e magnetici che sono paralleli al moto, NON subiscono alcuna variazione, rimangono invarianti, mentre tutte le altre componenti ortogonali al moto subiscono una variazione. E possiamo riassumere quanto abbiamo detto nelle seguenti equazioni:
Inoltre vi sono queste quantità che si ricavano a partire dal tensore EM che risultano essere uguali in tutti i SRI.
$$
F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=F^{0i}F_{0i}+F^{i0}F_{i0}+F^{ij}F_{ij}=-|E|^2-|E|^2+2|B|^2=-2\big(|E|^2-|B|^2\big)\\
F^{*\alpha\beta}F_{\alpha\beta}=\frac 12 \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\gamma\delta}F_{\alpha\beta}=F^{*0i}F_{i0}+F^{*i0}F_{i0}+F^{*ij}F_{ij}=-B_xE_x-B_yE_y-B_zE_z-E\cdot B - 2E \cdot B = -4 E\cdot B
$$
Può essere corretta ed esaustiva come risposta al primo punto? A volte mi è difficile interpretare bene il contenuto della richiesta.
In un sistema di riferimento inerziale $S$ sono presenti un campo elettrico $\overline E$ e un campo magnetico $overline B$, uniformi e costanti, che formano tra loro un angolo $\theta$ con $0 < \theta < \frac \pi 2$.
1- Quali conclusioni del tutto generali si possono trarre sui campi $\overline{E'}$ e $\overline{B'}$, visti in un generico sistema di riferimento inerziale $S'$?
2- Calcolare, qualora sia possibile, la velocità $\overline v$ del sistema di riferimento $S'$ nel quale i campi risultano perpendicolari. Giustificare la risposta.
3- Calcolare, qualora sia possibile, la velocità $\overline v$ del sistema di riferimento inerziale nel quale i campi risultano paralleli. Giustificare la risposta.
Anzitutto ho rappresentato la situazione in esame nel seguente modo:
Per il primo punto ho detto che in generale, in un generico sistema di riferimento inerziale $S'$, accade che tutte le componenti dei campi elettrici e magnetici che sono paralleli al moto, NON subiscono alcuna variazione, rimangono invarianti, mentre tutte le altre componenti ortogonali al moto subiscono una variazione. E possiamo riassumere quanto abbiamo detto nelle seguenti equazioni:
Inoltre vi sono queste quantità che si ricavano a partire dal tensore EM che risultano essere uguali in tutti i SRI.
$$
F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=F^{0i}F_{0i}+F^{i0}F_{i0}+F^{ij}F_{ij}=-|E|^2-|E|^2+2|B|^2=-2\big(|E|^2-|B|^2\big)\\
F^{*\alpha\beta}F_{\alpha\beta}=\frac 12 \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\gamma\delta}F_{\alpha\beta}=F^{*0i}F_{i0}+F^{*i0}F_{i0}+F^{*ij}F_{ij}=-B_xE_x-B_yE_y-B_zE_z-E\cdot B - 2E \cdot B = -4 E\cdot B
$$
Può essere corretta ed esaustiva come risposta al primo punto? A volte mi è difficile interpretare bene il contenuto della richiesta.
Risposte
PEr la prima risposta, direi che va bene, ma aggiungerei che le TL applicate a i campi e.m. fanno sí che un campo solo elettrico in un riferimento può dar luogo a un campo e.m. in un altro, e cosí un campo solo magnetico. Questo dovrebbe esserti noto dalla teoria, allorché si tratta della trasformazione di campi em tra riferimenti in moto relativo.
Per i quesiti 2 e 3 , non vorrei dire qualche corbelleria, ma anche se la dicessi penso che mi scuseresti; non sono argomenti che si trattano tutti i giorni questi...e mi piacerebbe sentire anche il parere di Lampo, che è molto più preparato di me, speriamo che risponda.
Allora , per il quesito 2, sono dati i due vettori $vecE$ e $vecB$ in un riferimento inerziale, che formano un certo angolo; determinare la velocità che deve avere un altro r.i. rispetto a questo, affinché i vettori trasformati (che come sai cambiano direzione) risultino perpendicolari. Ecco la mia idea (corbelleria? ) ;
I vettori nel riferimento in moto $vecE’$ e $vecB’$ hanno componenti :
$E_(x’) = E_x $
$E_(y’) = gamma(E_y-vB_z)$
$E_(z’) = gamma (E_z + vB_y)$
e le analoghe per le componenti di $vecB $ trasformate in quelle di $vecB’$ , che non scrivo.
SE i due vettori trasformati $vecE’$ e $vecB’$ devono essere perpendicolari , il loro prodotto scalare deve essere nullo :
$Sigma_(i’) E_(i’)B_(i’) = 0 $ , con $i’ = x,y,z$
Già , ma noi sappiamo che il prodotto scalare dei vettori campo elettrico e campo magnetico è un invariante relativistico (n.b. : dice Landau che in realtà si tratta di un prodotto pseudoscalare, perché $vecE$ è un vettore polare ma $vecB$ è un vettore assiale. IL vero scalare è il quadrato : $(vecE*vecB)^2$ . Ma sorvoliamo su queste finezze, noi siamo mortali mentre Landau è un immortale! ) .
E allora, la cosa è possibile, per me, solo se già l’angolo tra i vettori dati nel rif. di quiete è $\pi/2$ . Un angolo diverso non può diventare $\pi/2$ per trasformazione lorentziana di coordinate. (spero di non aver detto la corbelleria più grossa qui). D’altronde la trasformazione inversa di coordinate porterebbe da $\pi/2$ ad un angolo diverso, il che non è possibile vista l’invarianza del prodotto scalare detto.
Una condizione analoga si può scrivere per il quesito 3. Ora ti chiedo: hai il libro di Landau- Lifshitz “Teoria dei campi” ? Guarda il paragrafo 25 alla fine del cap III , sugli invarianti del campo. Alla fine c’è pure l’esercizio che corrisponde al tuo quesito 3, e ci sono interessanti considerazioni.
Se non ce l’hai, cerca in rete la versione inglese, dovrebbe essere facile trovarla. Altrimenti dimmelo, e ti scannerizzo le tre paginette.
Per i quesiti 2 e 3 , non vorrei dire qualche corbelleria, ma anche se la dicessi penso che mi scuseresti; non sono argomenti che si trattano tutti i giorni questi...e mi piacerebbe sentire anche il parere di Lampo, che è molto più preparato di me, speriamo che risponda.
Allora , per il quesito 2, sono dati i due vettori $vecE$ e $vecB$ in un riferimento inerziale, che formano un certo angolo; determinare la velocità che deve avere un altro r.i. rispetto a questo, affinché i vettori trasformati (che come sai cambiano direzione) risultino perpendicolari. Ecco la mia idea (corbelleria? ) ;
I vettori nel riferimento in moto $vecE’$ e $vecB’$ hanno componenti :
$E_(x’) = E_x $
$E_(y’) = gamma(E_y-vB_z)$
$E_(z’) = gamma (E_z + vB_y)$
e le analoghe per le componenti di $vecB $ trasformate in quelle di $vecB’$ , che non scrivo.
SE i due vettori trasformati $vecE’$ e $vecB’$ devono essere perpendicolari , il loro prodotto scalare deve essere nullo :
$Sigma_(i’) E_(i’)B_(i’) = 0 $ , con $i’ = x,y,z$
Già , ma noi sappiamo che il prodotto scalare dei vettori campo elettrico e campo magnetico è un invariante relativistico (n.b. : dice Landau che in realtà si tratta di un prodotto pseudoscalare, perché $vecE$ è un vettore polare ma $vecB$ è un vettore assiale. IL vero scalare è il quadrato : $(vecE*vecB)^2$ . Ma sorvoliamo su queste finezze, noi siamo mortali mentre Landau è un immortale!
) .E allora, la cosa è possibile, per me, solo se già l’angolo tra i vettori dati nel rif. di quiete è $\pi/2$ . Un angolo diverso non può diventare $\pi/2$ per trasformazione lorentziana di coordinate. (spero di non aver detto la corbelleria più grossa qui). D’altronde la trasformazione inversa di coordinate porterebbe da $\pi/2$ ad un angolo diverso, il che non è possibile vista l’invarianza del prodotto scalare detto.
Una condizione analoga si può scrivere per il quesito 3. Ora ti chiedo: hai il libro di Landau- Lifshitz “Teoria dei campi” ? Guarda il paragrafo 25 alla fine del cap III , sugli invarianti del campo. Alla fine c’è pure l’esercizio che corrisponde al tuo quesito 3, e ci sono interessanti considerazioni.
Se non ce l’hai, cerca in rete la versione inglese, dovrebbe essere facile trovarla. Altrimenti dimmelo, e ti scannerizzo le tre paginette.
"Shackle":
PEr la prima risposta, direi che va bene, ma aggiungerei che le TL applicate a i campi e.m. fanno sí che un campo solo elettrico in un riferimento può dar luogo a un campo e.m. in un altro, e cosí un campo solo magnetico. Questo dovrebbe esserti noto dalla teoria, allorché si tratta della trasformazione di campi em tra riferimenti in moto relativo.
Sì, era già contenuto negli invarianti del tensore EM che ho ricavato. Meglio essere più espliciti, non si sa mai...
"Shackle":
Allora , per il quesito 2, sono dati i due vettori $vecE$ e $vecB$ in un riferimento inerziale, che formano un certo angolo; determinare la velocità che deve avere un altro r.i. rispetto a questo, affinché i vettori trasformati (che come sai cambiano direzione) risultino perpendicolari. Ecco la mia idea (corbelleria? ) ;
I vettori nel riferimento in moto $vecE’$ e $vecB’$ hanno componenti :
$E_(x’) = E_x $
$E_(y’) = gamma(E_y-vB_z)$
$E_(z’) = gamma (E_z + vB_y)$
e le analoghe per le componenti di $vecB $ trasformate in quelle di $vecB’$ , che non scrivo.
SE i due vettori trasformati $vecE’$ e $vecB’$ devono essere perpendicolari , il loro prodotto scalare deve essere nullo :
$Sigma_(i’) E_(i’)B_(i’) = 0 $ , con $i’ = x,y,z$
Già , ma noi sappiamo che il prodotto scalare dei vettori campo elettrico e campo magnetico è un invariante relativistico (n.b. : dice Landau che in realtà si tratta di un prodotto pseudoscalare, perché $vecE$ è un vettore polare ma $vecB$ è un vettore assiale. IL vero scalare è il quadrato : $(vecE*vecB)^2$ . Ma sorvoliamo su queste finezze, noi siamo mortali mentre Landau è un immortale!
Concordo, possiamo sfruttare questo invariante. E affinché sia nullo necessariamente nel SRI $S$ devono essere ortogonali.
"Shackle":
E allora, la cosa è possibile, per me, solo se già l’angolo tra i vettori dati nel rif. di quiete è $\pi/2$ . Un angolo diverso non può diventare $\pi/2$ per trasformazione lorentziana di coordinate. (spero di non aver detto la corbelleria più grossa qui). D’altronde la trasformazione inversa di coordinate porterebbe da $\pi/2$ ad un angolo diverso, il che non è possibile vista l’invarianza del prodotto scalare detto.
Il problema, è che per ipotesi $0 < \theta < \frac \pi 2$. Purtroppo $\frac \pi 2$ è fuori dai valori possibili per $\theta$.
"Shackle":
Una condizione analoga si può scrivere per il quesito 3. Ora ti chiedo: hai il libro di Landau- Lifshitz “Teoria dei campi” ? Guarda il paragrafo 25 alla fine del cap III , sugli invarianti del campo. Alla fine c’è pure l’esercizio che corrisponde al tuo quesito 3, e ci sono interessanti considerazioni.
Se non ce l’hai, cerca in rete la versione inglese, dovrebbe essere facile trovarla. Altrimenti dimmelo, e ti scannerizzo le tre paginette.
Vedo di recuperarlo!
Speriamo che Lampo o qualcun altro si palesi così da avere una conferma oppure un'altra considerazione.
Ciao, provo ad aggiungere qualche suggerimento oltre a quanto avete già discusso. Per il punto 1) direi che non ho altro da dire ... o meglio, le cose che si potrebbero dire in più sono deducibili da quanto già esposto.
Per i punti successivi distinguerei tre casi (li numero per poi "invocarli" all'occorrenza)
1) $|\vec{E}| = |\vec{B}|$
2) $|\vec{E}| > |\vec{B}|$
3) $|\vec{E}| < |\vec{B}|$
Considero (come al solito) il caso che mi sembra più semplice, e cioé il caso 1) : in questo caso l'invariante $F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ mi dice che in qualunque sistema di riferimento inerziale i campi hanno la stessa intensità.
$$
0 = |\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2 = |\vec{E}'|^2 - |\vec{B}'|^2
$$
A questo punto, il secondo invariante è $\vec{E}\cdot\vec{B}$: se i moduli dei campi sono invarianti, direi che anche l'angolo tra i due è un invariante. Per riassumere, nel caso 1) direi che non esiste un SRI in cui i campi siano paralleli o ortogonali dato che appunto l'angolo è compreso tra 0 e Pi/2 esclusi.
Confermo quanto detto da @shackle sul punto 2). Dato che nel sistema di partenza il prodotto scalare fra E e B è non nullo, deve esserlo in tutti i SRI e di conseguenza non può esistere un riferimento in cui i campi siano ortogonali.
edit: ma forse non serve nemmeno distinguere questi casi ... insomma "work in progress"
Per i punti successivi distinguerei tre casi (li numero per poi "invocarli" all'occorrenza)
1) $|\vec{E}| = |\vec{B}|$
2) $|\vec{E}| > |\vec{B}|$
3) $|\vec{E}| < |\vec{B}|$
Considero (come al solito) il caso che mi sembra più semplice, e cioé il caso 1) : in questo caso l'invariante $F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ mi dice che in qualunque sistema di riferimento inerziale i campi hanno la stessa intensità.
$$
0 = |\vec{E}|^2 - |\vec{B}|^2 = |\vec{E}'|^2 - |\vec{B}'|^2
$$
A questo punto, il secondo invariante è $\vec{E}\cdot\vec{B}$: se i moduli dei campi sono invarianti, direi che anche l'angolo tra i due è un invariante. Per riassumere, nel caso 1) direi che non esiste un SRI in cui i campi siano paralleli o ortogonali dato che appunto l'angolo è compreso tra 0 e Pi/2 esclusi.
Confermo quanto detto da @shackle sul punto 2). Dato che nel sistema di partenza il prodotto scalare fra E e B è non nullo, deve esserlo in tutti i SRI e di conseguenza non può esistere un riferimento in cui i campi siano ortogonali.
edit: ma forse non serve nemmeno distinguere questi casi ... insomma "work in progress"
Mi pare giusto quello che dice Lampo: quindi se l’angolo è minore di 90 gradi nel r.i. dato, deve essere minore anche in quello in moto, ma non so se proprio uguale.Allora fai il prodotto scalare con le componenti apicate e dividi per il prodotto dei moduli, che è invariante. Così hai il $cos\theta’$ . Prova , ma non potrai trovare $0$, cioè un angolo di 90 . E alla fine ti trovi con 2 incognite, angolo e velocità...
Questo è un esercizio “col trucco “, dato forse per fare riflettere su questo fatto. E mi pAre che il testo dica ‘ se possibile “...
Consulta Landau , o equivalente!
Questo è un esercizio “col trucco “, dato forse per fare riflettere su questo fatto. E mi pAre che il testo dica ‘ se possibile “...
Consulta Landau , o equivalente!
ma non so se proprio uguale
assolutamente d'accordo, non leggete le mie conclusioni sopra (o per lo meno dove dico che l'angolo è invariante).@shackle mi lodi e poi tiro fuori una castroneria così
, shame on me!
Non ti preoccupare di dire cose sbagliate, lo facciamo tutti. Piuttosto, io insisto sul fatto che, se $\theta=\pi/2$ nel riferimento in moto, non può essere diverso da 90 nel riferimento di partenza. Lo spiega Landau, se @Frostman non lo trova scannerizzo le pagine e le pubblico.
Ehi, @Frostman, ho visto che sei sbarcato anche tu in America!
Ma non mi pare che la risposta dell’americano sia migliore! 
Che poi, tanto americano non mi sembra, indiano piuttosto! E tu gli ha risposto sul terzo quesito, quello dei campi paralleli. Mi pare che sia la risposta di Landau.
Ecco le pagine del Landau, che chiama $H$ il campo magnetico, e indica il prodotto vettoriale con due parentesi quadre $[...]$ :
Per capire come si risponde al quesito 2), bisogna leggere da “ From the invariance ....” , tre righe sotto la formula (25.4) Mi sembra chiaro. Se il prodotto scalare è non nullo in un riferimento, non può diventare nullo in quello trasformato, visto che è invariante. Ma il $cos\theta$ può cambiare valore perché è il rapporto di due quantità, di cui il denominatore può cambiare nel riferimento trasformato con le TL.
Ehi, @Frostman, ho visto che sei sbarcato anche tu in America!
Ma non mi pare che la risposta dell’americano sia migliore! Che poi, tanto americano non mi sembra, indiano piuttosto! E tu gli ha risposto sul terzo quesito, quello dei campi paralleli. Mi pare che sia la risposta di Landau.Ecco le pagine del Landau, che chiama $H$ il campo magnetico, e indica il prodotto vettoriale con due parentesi quadre $[...]$ :
Per capire come si risponde al quesito 2), bisogna leggere da “ From the invariance ....” , tre righe sotto la formula (25.4) Mi sembra chiaro. Se il prodotto scalare è non nullo in un riferimento, non può diventare nullo in quello trasformato, visto che è invariante. Ma il $cos\theta$ può cambiare valore perché è il rapporto di due quantità, di cui il denominatore può cambiare nel riferimento trasformato con le TL.
Premessa: stavo facendo un riassunto di tutto ciò che è stato detto, ma qualcuno mi ha resettato la connessione e ho perso tutto ciò che ho scritto! 
Mi hai beccato!
In realtà mi stava confondendo un po' le idee il ragazzo, per cui sono venuto qui. Ovviamente completerò il topic anche di là!
Comunque, dopo il nervoso di aver scritto un post bello completo e averlo perso, penso che per il punto 3 sia sufficiente seguire la risposta del Landau con le considerazioni fatte sulla velocità in $S'$. Giusto?
Quindi per il punto 1 è sufficiente rispondere con le considerazioni fatte sulle componenti dei campi, sugli invarianti che vengono conservati e le considerazioni fatte da Lampo che derivano dagli invarianti legati al tensore EM. Per il punto 2 abbiamo visto che necessariamente $E \cdot B=0$ in ogni SRI affinché ne esista uno in cui siano ortogonali, ma per il dominio di $\theta$ non è possibile, quindi non esiste. Per il punto 3 ne esistono infiniti, in particolare ci sarà un SRI in cui $E \cdot B = EB$, ovvero sono paralleli, e facendo le considerazioni di Landau sulla scelta della direzione della velocità e dei campi di $S'$ possiamo risalire, grazie anche alle trasformazioni di Lorentz e alla condizione di parallelismo alla velocità di $S'$ in cui i campi sono paralleli, giusto?
Perdonatemi la sintesi, ma davvero, mi ha fatto davvero arrabbiare quel reset di connessione.
"Shackle":
Non ti preoccupare di dire cose sbagliate, lo facciamo tutti. Piuttosto, io insisto sul fatto che, se
Ehi, @Frostman, ho visto che sei sbarcato anche tu in America!
Mi hai beccato!
In realtà mi stava confondendo un po' le idee il ragazzo, per cui sono venuto qui. Ovviamente completerò il topic anche di là!Comunque, dopo il nervoso di aver scritto un post bello completo e averlo perso, penso che per il punto 3 sia sufficiente seguire la risposta del Landau con le considerazioni fatte sulla velocità in $S'$. Giusto?
Quindi per il punto 1 è sufficiente rispondere con le considerazioni fatte sulle componenti dei campi, sugli invarianti che vengono conservati e le considerazioni fatte da Lampo che derivano dagli invarianti legati al tensore EM. Per il punto 2 abbiamo visto che necessariamente $E \cdot B=0$ in ogni SRI affinché ne esista uno in cui siano ortogonali, ma per il dominio di $\theta$ non è possibile, quindi non esiste. Per il punto 3 ne esistono infiniti, in particolare ci sarà un SRI in cui $E \cdot B = EB$, ovvero sono paralleli, e facendo le considerazioni di Landau sulla scelta della direzione della velocità e dei campi di $S'$ possiamo risalire, grazie anche alle trasformazioni di Lorentz e alla condizione di parallelismo alla velocità di $S'$ in cui i campi sono paralleli, giusto?
Perdonatemi la sintesi, ma davvero, mi ha fatto davvero arrabbiare quel reset di connessione.
@Frostman
ognuno è libero di andare dove vuole. Anch’io mi sono beccato un paio di volte con qualcuno, ma lasciamo stare, ogni mondo è paese...
Comunque sí , sulla base di quanto detto e soprattutto seguendo il maestro Landau, le conclusioni sono queste.
Ti confermo che, per il quesito 2, mi sono divertito a calcolare il prodotto scalare :
$E’_xB’_x + E’_yB’_y + E’_zB’_z $
e come mi aspettavo risulta uguale a : $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z $.
Perciò, se uno di essi è nullo , anche l’altro lo è.
In quanto alle connessioni su internet, è un periodo cosi, capita pure a me. L’importante è avere il proprio cervello collegato con lingua, occhi, mani...quello che serve per comunicare. Ciao.
ognuno è libero di andare dove vuole. Anch’io mi sono beccato un paio di volte con qualcuno, ma lasciamo stare, ogni mondo è paese...
Comunque sí , sulla base di quanto detto e soprattutto seguendo il maestro Landau, le conclusioni sono queste.
Ti confermo che, per il quesito 2, mi sono divertito a calcolare il prodotto scalare :
$E’_xB’_x + E’_yB’_y + E’_zB’_z $
e come mi aspettavo risulta uguale a : $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z $.
Perciò, se uno di essi è nullo , anche l’altro lo è.
In quanto alle connessioni su internet, è un periodo cosi, capita pure a me. L’importante è avere il proprio cervello collegato con lingua, occhi, mani...quello che serve per comunicare. Ciao.
Approfondendo un po' la questione che ho trovato interessante, ho trovato un esercizio simile, o meglio che cavalca un po' l'idea dell'invariata $\vec E \cdot \vecB$:
Questo esercizio sembra un po' simile al punto 2. Perché ci sta dicendo che l'invariante $\vec E \cdot \vec B=0$, cioè se supponiamo che i campi $E$ e $B$ siano ortogonali in un SRI, lo saranno in ogni SRI e di conseguenza tolto il caso in cui in SRI $|\vec E'| = 0$ oppure $|\vec B'| = 0$, necessariamente dovrà essere $|\vec E'||\vec B'| \cos \theta' = 0$, ovvero $\theta = \frac \pi 2$. Corretto? Sto facendo delle prove per aver padroneggiato bene l'argomento dei campi elettromagnetici in relatività
In un particolare campo elettromagnetico, il campo elettrico $\vec E$ forma un angolo $\theta$ col campo $\vec B$, e $\theta$ risulta invariante per tutti gli osservatori inerziali. Calcolare il valore di $\theta$.
Questo esercizio sembra un po' simile al punto 2. Perché ci sta dicendo che l'invariante $\vec E \cdot \vec B=0$, cioè se supponiamo che i campi $E$ e $B$ siano ortogonali in un SRI, lo saranno in ogni SRI e di conseguenza tolto il caso in cui in SRI $|\vec E'| = 0$ oppure $|\vec B'| = 0$, necessariamente dovrà essere $|\vec E'||\vec B'| \cos \theta' = 0$, ovvero $\theta = \frac \pi 2$. Corretto? Sto facendo delle prove per aver padroneggiato bene l'argomento dei campi elettromagnetici in relatività
In un particolare campo elettromagnetico, il campo elettrico E⃗ forma un angolo θ col campo B⃗, e θ risulta invariante per tutti gli osservatori inerziali. Calcolare il valore di θ.
Questo esercizio dice che l’angolo è lo stesso per tutti gli OI. Siccome $cos\theta = (vecE*vecB) / (|vecE|*|vecB|) $ , e sappiamo che il numeratore è invariante per TL, deve esserlo anche il denominatore per avere $cos\theta = cos\theta’ $ .
Per cui si pone il vincolo da parte nostra che il prodotto del modulo dei campi sia invariante affinché il $\cos \theta = \frac{\vec E \cdot \vec B}{|\vec E| \cdot |\vec B|}$ oppure lo si deve dimostrare?
oppure lo si deve dimostrare?
LA richiesta del problema è che l’angolo sia uguale in tutti i r.i. Siccome già sai che il numeratore è invariante per TL, anche il denominatore deve avere valore costante. Non devi dimostrare nulla, devi fare le operazioni necessarie.
"Shackle":oppure lo si deve dimostrare?
LA richiesta del problema è che l’angolo sia uguale in tutti i r.i. Siccome già sai che il numeratore è invariante per TL, anche il denominatore deve avere valore costante. Non devi dimostrare nulla, devi fare le operazioni necessarie.
Okay, quindi si riduce a:
$\theta = \arccos (\frac{\vec E \cdot \vec B}{|\vec E| \cdot |\vec B|})$
No, devi imporre che :
$|vecE|*|vecB| = |vecE'|*|vecB'| $ , per qualunque velocità, cioè qualunque $gamma$. Non so però dove porta questo perché non l’ho fatto.
Mi viene in mente che sicuramente l’angolo tra $vecE$ e $vecB$ è costante, e pari a $\pi/2$ , nel caso delle onde elettromagnetiche, che si propagano alla velocità della luce, che non dipende dal riferimento. Chissà che la conclusione del tuo esercizio non sia proprio questa, cioè che $\theta=$ costante sia valido solo nel caso ora detto.
$|vecE|*|vecB| = |vecE'|*|vecB'| $ , per qualunque velocità, cioè qualunque $gamma$. Non so però dove porta questo perché non l’ho fatto.
Mi viene in mente che sicuramente l’angolo tra $vecE$ e $vecB$ è costante, e pari a $\pi/2$ , nel caso delle onde elettromagnetiche, che si propagano alla velocità della luce, che non dipende dal riferimento. Chissà che la conclusione del tuo esercizio non sia proprio questa, cioè che $\theta=$ costante sia valido solo nel caso ora detto.
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