Considerazioni energetiche molla inclinata
"Un blocco di 0.2 kg è premuto contro una molla di costante elastica 1400 $N/m$ finché il blocco comprime la molla di 0.1 m. la molla è fissata all'estremità inferiore di una rampa inclinata di 60° sull'orizzontale. Usando considerazioni energetiche determinare lo spostamento del blocco verso l'alto prima di giungere momentaneamente in quiete."
"a) se non c'è attrito tra blocco e rampa"
"b) see il coefficiente di attrito dinamico $mu_d=0.4$"
allora per il punto a, mi sono esplicitato i dati,
m= 0.2 kg
k=1400 $N/m$
$theta$
$V_f=0$
poi disegnandomi il modello, mi sono trovato la forza peso agente contro il mio movimento verso l'alto che mi viene:
$F_p=mgsin(theta)$ =>$F_p=1.7 N$
poi mi ero calcolato la forza della molla.
$F_m=kx $ => $F_m=1400*0.1$ => $F_m=140 N$
ora mi ero scritto l'equazione delle forze così
$F=F_m - F_p$ => F=138,3 N
da questa mi ero imposto
$F=m*a$ => $a=691.5 m/(s^2)$
ora questa accelerazione è veramente troppo alta.... così ho pensato che forse stavo sbagliando strada (anche perché il testo dice di usare considerazioni energetiche..)
allora mi sono messo a calcolare il lavoro svolto da una molla che dovrebbe essere
$[(1/2)kx^2]$ tra $x_i=0$ m e $x_f=0.1$ m
e mi viene $W_m=7 $J
adesso avevo provato a eguagliarlo a $(1/2)*m*v^2$ e ricavarmi V che veniva 8.37 $m/(s^2)$ e da li mipostare le equazioni del moto, ma mi ritrovo con troppe incognite o comunque con numeri inaccettabili...
potreste illuminarmi?? non so più che strada prendere...
Grazie
ah il risultato del libro è:
4.12 m
"a) se non c'è attrito tra blocco e rampa"
"b) see il coefficiente di attrito dinamico $mu_d=0.4$"
allora per il punto a, mi sono esplicitato i dati,
m= 0.2 kg
k=1400 $N/m$
$theta$
$V_f=0$
poi disegnandomi il modello, mi sono trovato la forza peso agente contro il mio movimento verso l'alto che mi viene:
$F_p=mgsin(theta)$ =>$F_p=1.7 N$
poi mi ero calcolato la forza della molla.
$F_m=kx $ => $F_m=1400*0.1$ => $F_m=140 N$
ora mi ero scritto l'equazione delle forze così
$F=F_m - F_p$ => F=138,3 N
da questa mi ero imposto
$F=m*a$ => $a=691.5 m/(s^2)$
ora questa accelerazione è veramente troppo alta.... così ho pensato che forse stavo sbagliando strada (anche perché il testo dice di usare considerazioni energetiche..)
allora mi sono messo a calcolare il lavoro svolto da una molla che dovrebbe essere
$[(1/2)kx^2]$ tra $x_i=0$ m e $x_f=0.1$ m
e mi viene $W_m=7 $J
adesso avevo provato a eguagliarlo a $(1/2)*m*v^2$ e ricavarmi V che veniva 8.37 $m/(s^2)$ e da li mipostare le equazioni del moto, ma mi ritrovo con troppe incognite o comunque con numeri inaccettabili...
potreste illuminarmi?? non so più che strada prendere...
Grazie
ah il risultato del libro è:
4.12 m
Risposte
Questo esercizio è più facile di quello che pensi!
Basta uguagliare l'energia meccanica totale con quella finale:
$E_1=1/2k(deltax)^2$
$E_2=mgh$ dove con $h$ intendo l'altezza a cui si trova il blocco.
Sai poi che $h=l*sin60°$ dove con $l$ intendo il percorso svolto dal blocco.
Con questo svolgimento trovi il risultato del libro!
Basta uguagliare l'energia meccanica totale con quella finale:
$E_1=1/2k(deltax)^2$
$E_2=mgh$ dove con $h$ intendo l'altezza a cui si trova il blocco.
Sai poi che $h=l*sin60°$ dove con $l$ intendo il percorso svolto dal blocco.
Con questo svolgimento trovi il risultato del libro!
uhm.. non mi trovo molto con alcuni simboli che hai susato... tipo che cos'è per te quel δ??? per il resto credo di esserci saltato fuori...
Forse ti è utile qualche spiegazione in più?
a) Quando la molla che era compressa si distende, l'energia potenziale elastica si trasforma in energia cinetica e potenziale gravitazionale del blocco. Nel punto più alto della traiettoria la velocità del blocco è $= 0$ e tutta l'energia iniziale si è trasformata in energia potenziale gravitazionale.
Quindi si può scrivere l'equazione $1/2 * k * x^2 = m * g * h$ e cioè $1/2 * k * x^2 = m * g * l * sen(theta)$, come aveva già proposto ImpaButty.
Da questa si ricava $l = (k * x^2)/(2 * m * g * sen(theta))$.
Sostituendo i dati del problema ($k = 1400 text( N/m), x = 0.1 text ( m), m = 0.2 text ( kg), g = 9.8 text ( m/s)^2, theta = 60°$) si ottiene $l = (1400 * 1 * 10^(-2))/(2 * 0.2 * 9.8 * sqrt(3)/2) ~= 4.12 text ( m)$.
b) Se invece c'è attrito l'energia non si conserva: quella finale è uguale a quella iniziale diminuita del lavoro fatto dalla forza d'attrito.
Il modulo di questo lavoro è $L_a = F_a * l = mu_d * N * l = mu_d * m * g * cos(theta) * l$.
In questo caso l'equazione che si può scrivere è $1/2 * k * x^2 - mu_d * m * g * cos(theta) * l = m * g * l * sen(theta)$, cioè $ 1/2 * k * x^2 = m * g * l * (sen(theta) + mu_d * cos(theta))$.
Da questa si ricava $l = (k * x^2)/(2 * m * g * (sen(theta) + mu_d * cos(theta)))$.
Sostituendo nuovamente i dati del problema si ottiene $l= (1400 * 1 * 10^(-2))/(2 * 0.2 * 9.8 * (sqrt(3)/2 + 0.4 * 1/2)) ~= 3.35 text ( m)$.
a) Quando la molla che era compressa si distende, l'energia potenziale elastica si trasforma in energia cinetica e potenziale gravitazionale del blocco. Nel punto più alto della traiettoria la velocità del blocco è $= 0$ e tutta l'energia iniziale si è trasformata in energia potenziale gravitazionale.
Quindi si può scrivere l'equazione $1/2 * k * x^2 = m * g * h$ e cioè $1/2 * k * x^2 = m * g * l * sen(theta)$, come aveva già proposto ImpaButty.
Da questa si ricava $l = (k * x^2)/(2 * m * g * sen(theta))$.
Sostituendo i dati del problema ($k = 1400 text( N/m), x = 0.1 text ( m), m = 0.2 text ( kg), g = 9.8 text ( m/s)^2, theta = 60°$) si ottiene $l = (1400 * 1 * 10^(-2))/(2 * 0.2 * 9.8 * sqrt(3)/2) ~= 4.12 text ( m)$.
b) Se invece c'è attrito l'energia non si conserva: quella finale è uguale a quella iniziale diminuita del lavoro fatto dalla forza d'attrito.
Il modulo di questo lavoro è $L_a = F_a * l = mu_d * N * l = mu_d * m * g * cos(theta) * l$.
In questo caso l'equazione che si può scrivere è $1/2 * k * x^2 - mu_d * m * g * cos(theta) * l = m * g * l * sen(theta)$, cioè $ 1/2 * k * x^2 = m * g * l * (sen(theta) + mu_d * cos(theta))$.
Da questa si ricava $l = (k * x^2)/(2 * m * g * (sen(theta) + mu_d * cos(theta)))$.
Sostituendo nuovamente i dati del problema si ottiene $l= (1400 * 1 * 10^(-2))/(2 * 0.2 * 9.8 * (sqrt(3)/2 + 0.4 * 1/2)) ~= 3.35 text ( m)$.
Grazie Chiaraotta!
Troppo gentile! ^^
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