Conservazione quantità di moto tra slitte

[Mynameis1]

Ciao a tutti . Propongo lo svolgimento di questo problema per chiedere un parere da parte vostra . "Due slitte di $ 22,7kg $ ciascuna sono ferme l'una dietro l'altra a breve distanza su una superficie ghiacciata priva di attrito . Un gatto di $ 3,63kg $ , inizialmente fermo sulla slitta di sinistra , prima balza sull'altra e subito dopo salta indietro sulla prima . Entrambi i salti avvengono alla velocità di $ 3,05 m/s $ relativa alla slitta sulla quale si trova il gatto quando compie il salto . Si calcolino le velocità finali delle due slitte "
Io ho suddiviso il problema in 4 fasi ; N.B. scelto come positivo il verso destro per le velocità

FASE 1 ( gatto fermo sulla slitta 1 salta via )
Per la conservazione della quantità di moto del sistema slitta1-gatto
$ p_i=0=m_gv_g-mv_1=p_f $ dove m è la massa della slitta , $ m_g $ è la massa del gatto , $ v_g $ è la velocità ASSOLUTA del gatto e $ v_1 $ è la velocità con la quale parte la slitta 1 in seguito al balzo del gatto .
Per il teorema delle velocità relative , $ ul(v_g)=ul(v)_1+ul(v)'rArr v_g=v'-v_1 $
Sostituendo nella quantità di moto ottengo
$ mv_1=m_(g)(v'-v_1)rArr v_1=(m_gv')/(m+m_g) $ e trovo così sia la velocità con la quale parte verso sinistra la slitta 1 e, sostituendo questo risultato nella legge delle velocità, la velocità assoluta del gatto mentre esso effettua il balzo , ovvero mentre esso si trova in aria ( velocità percepite da un sistema inerziale solidale al ghiaccio )

FASE 2 ( gatto in volo arriva sulla slitta 2 che è ancora ferma )
Per la conservazione della quantità di moto del sistema gatto-slitta2
$ p_i=m_gv_g=p_f=(m+m_g)v_c $ dove $ v_g $ è la velocità assoluta del gatto in aria trovata poc'anzi sostituendo il risultato della fase 1 nella legge delle velocità , prima di arrivare sulla slitta 2 , e $ v_c $ è la velocità comune al gatto e alla slitta 2 quando il felino atterra su essa , velocità diretta verso destra . Da cui

$ v_c=(m_(g)v_(g))/(m+m_g) $

FASE 3 ( gatto salta via dalla slitta 2 , che è già IN MOTO , e arriva in aria )
Per la conservazione della quantità di moto del sistema gatto-slitta2
$ p_i=(m+m_g)v_c=p_f=mv_2-m_gv_g $ dove $ v_c $ è scritta sopra e $ v_2 $ è la velocità finale della slitta 2 ( quella di destra ) richiesta dal problema , dopo il salto del gatto
In particolare , per il teorema delle velocità relative vale ancora $ [v_g=-v_2+v'] $ ( ho semplicemente scambiato il pedice 1 col 2 perché come il testo dice la velocità del gatto è relativa alla slitta dalla quale avviene il salto . Quindi
$ (m+m_g)v_c=m_gv_2-m_gv'+mv_2rArr v_2=((m+m_g)v_c+m_gv')/(m+m_g) $

FASE 4 ( il gatto , in volo , arriva sulla slitta 1 che è ancora in moto )
Per la conservazione del sistema gatto-slitta1
$ p_i=m_gv_g+mv_1=p_f=(m+m_g)v_(1f) $ dove $ v_1 $ è la velocità con la quale la slitta sta ancora muovendosi dopo il salto iniziale del gatto , e questa è stata trovata nella FASE 1 . $ v_(1f) $ è la velocità finale della slitta 1 richiesta dal problema dopo che il gatto atterra su di essa . Quindi
$ m_(g)(v'-v_2)+mv_1=(m+m_g)v_(1f)rArr $

$ rArr v_(1f)=(m_(g)(v'-v_2)+mv_1)/(m+mg) $ che è la seconda velocità richiesta dal problema . Spero di non essermi perso qualche segno e di essere stato quanto più chiaro possibile

Grazie per la pazienza

[Studente Anonimo]

"Mynameis":
Io ho suddiviso il problema in 4 fasi ...

Mi sembra una buona idea. Tuttavia, orientando l'asse verso destra, preferisco le notazioni sottostanti:

Passo 1

$\{(m_Gv_G+m_Sv_(S_1)=0),(v_G=v_r+v_(S_1)):} rarr \{(v_G=m_S/(m_G+m_S)v_r),(v_(S_1)=-m_G/(m_G+m_S)v_r):}$

Passo 2

$[(m_G+m_S)v_(GS_2)=(m_Gm_S)/(m_G+m_S)v_r] rarr [v_(GS_2)=(m_Gm_S)/(m_G+m_S)^2v_r]$

Passo 3

$\{(m_Gv_G+m_Sv_(S_2)=(m_Gm_S)/(m_G+m_S)v_r),(v_G=-v_r+v_(S_2)):} rarr \{(v_G=-m_S^2/(m_G+m_S)^2v_r),(v_(S_2)=(m_G(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^2v_r):}$

Passo 4

$[(m_G+m_S)v_(GS_1)=-(m_Gm_S^2)/(m_G+m_S)^2v_r-(m_Gm_S)/(m_G+m_S)v_r] rarr [v_(GS_1)=-(m_Gm_S(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^3v_r]$

In definitiva:

$\{(v_(GS_1)=-(m_Gm_S(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^3v_r),(v_(S_2)=(m_G(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^2v_r):}$

Come verifica, si può imporre la conservazione della quantità di moto tra la situazione iniziale e quella finale:

$[(m_G+m_S)v_(GS_1)+m_Sv_(S_2)=0] rarr [ -(m_Gm_S(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^2v_r+(m_Gm_S(m_G+2m_S))/(m_G+m_S)^2v_r=0]$

[Mynameis1]

Ciao, grazie per la risposta . Desidererei però avere più informazioni sulle notazioni utlizzate da te ed alcuni chiarimenti che a quanto ho capito mi hanno portato all'errore nello svolgimento . Scelto positivo ( da entrambi ) il verso destro per le velocità , nel Passo 1 $ v_G $ è sicuramente col segno "+" ma $ v_(S1) $ non dovrebbe essere col segno meno? Parliamo della quantità di moto finale . Per lo stesso motivo nella legge di composizione delle velocità non dovrebbe essere $ v_G=-v_(S1)+v_r $ dato che il gatto si muove nel verso positivo delle velocità , la slitta 1 parte verso sinistra ( pertanto avrà segno meno come scritto precedentemente nella conservazione di $ P $ ) e la slitta vede il gatto andare verso destra ( segno positivo delle velocità appunto ) . Per cui cosa c'è di sbagliato nel sistema
$ { ( m_Gv_G-mv_1=0 ),( v_G=-v_1+v' ):} $ ?

Inoltre potresti gentilmente spiegarmi meglio come hai proceduto nei vari passaggi scritti da te nei quattro passi ? Ho un poco di difficoltà a ritrovarmici

[Studente Anonimo]

Ho preferito procedere senza determinare a priori il segno delle velocità incognite. Per esempio, orientando l'asse verso destra, nel Passo 1 ho considerato positiva solo la velocità assegnata dal testo, $[v_r gt 0]$ per intenderci. Il segno delle due velocità incognite si determina risolvendo il sistema:

$\{(m_Gv_G+m_Sv_(S_1)=0),(v_G=v_r+v_(S_1)):} rarr \{(v_G=m_S/(m_G+m_S)v_r),(v_(S_1)=-m_G/(m_G+m_S)v_r):}$

Se, viceversa, si preferisce determinare a priori il segno delle velocità incognite e procedere con i loro moduli:

$\{(m_Gv_G-m_Sv_(S_1)=0),(v_G=v_r-v_(S_1)):} rarr \{(v_G=m_S/(m_G+m_S)v_r),(v_(S_1)=m_G/(m_G+m_S)v_r):}$

del tutto equivalente al sistema che hai proposto, identificando $m_S$ con $m$, $v_(S1)$ con $v_1$ e $v_r$ con $v'$:

${(m_Gv_G-mv_1=0),(v_G=-v_1+v'):}$

Ciò premesso, dovresti orientarti più agevolmente anche con gli altri 3 passi. Viceversa, fammi sapere.

[Mynameis1]

Sì ora comincio ad avere il tutto più chiaro anche se adesso comincerò a riguardare meglio il problema per capirlo più a fondo ed anche per controllare o meno la correttezza del mio procedimento confrontandolo col tuo . Ho fatto una prima verifica dei moduli delle velocità finali sostituendo i valori forniti dal problema sia nelle mie leggi finali che nelle tue e i moduli delle velocità sono uguali quindi credo che il mio procedimento possa ( ma ancora è presto per dirlo ) essere considerato giusto , oltre al tuo . Correggimi se sbaglio : tu hai affrontato tutto il problema supponendo di non conoscere ( in ogni passaggio ) il verso delle velocità ?
Grazie ancora

[Studente Anonimo]

"Mynameis":
... tu hai affrontato tutto il problema supponendo di non conoscere (in ogni passaggio) il verso delle velocità?

Affermativo. Ad ogni modo, avevo dato un'occhiata al tuo procedimento e mi era sembrato, al netto di eventuali sviste, sostanzialmente corretto.

[Mynameis1]

Ok , riguarderò meglio perché mi interessa molto approfondire tutti gli esercizi e cercare eventuali alternative. Come ultima domanda ti volevo chiedere se consigli di procedere sempre come hai fatto tu ( cioè supponendo di non conoscere il verso delle velocità incognite ) e quindi mettere il "+" nelle velocità ( mi riferisco alla $ v_(S1) $ del nostro esempio nel Passo 1 ) oppure , se già noto , procedere con i moduli

[Studente Anonimo]

In generale, preferisco che sia la risoluzione del sistema a determinare il segno delle velocità. Per esempio, nel Passo 3, quando il gatto tenta di tornare indietro, non è detto che la sua velocità assoluta sia diretta verso sinistra, dipende dal valore della velocità relativa. Ovviamente, poiché il gatto dovrebbe riuscire a ritornare sulla prima slitta per dare un senso al problema, si può presumere che lo sia.

[Mynameis1]

D'accordo , ho capito . Grazie molte , studierò ancora un poco questo problema

[Studente Anonimo]

Buon proseguimento.