Conservazione quantità di moto
Su una rotaia con attrito nullo si trovano due carrelli A e B di massa rispettivamente 100 g e 50 g, collegati da una molla compressa e legati con una corda.
Quando la corda viene tagliata, la molla lancia i due carrelli in verso opposto, e A si muove con velocità di 0.50 m/s.
Calcola la velocità del carrello B.
R. -0.80 m/s
Dati:
$m_A$ = 100 g = $1.0 * 10^-1$ Kg
$m_B$ = 50 g = $5.0 * 10^-2$ Kg
$v_A$ = 0 m/s
$V_A$ = 0.40 m/s
$v_B$ = 0 m/3
$V_B$ = ?
Svolgimento:
Ho supposto che
il carrello A va verso sinistra e che
il carrello B va verso destra
quindi la mia situazione è:
carrello A – molla – carrello B.
Pongo l'asse x che va verso sinistra quindi ho che
$v_A$ ha il segno +
$v_B$ ha il segno -
Applico il principio di conservazione della quantità di moto
$m_A * vec\v_A + m_B * vec\v_B = m_A vec\V_A + m_B vec\V_B$
$0 + 0 = = m_A * V_A - m_B * V_B$
$V_B = (m_A V_A) / m_B = + 0.8$ m/s
DOMANDA
Io mi aspettavo
$V_B = - 0.8$ m/s
perché ho posto l’asse x che va verso sinistra e il carrello B va verso destra.
Come posso giustificare il segno $+0.8$ che ho ottenuto?
Secondo me è perché ho scelto bene il verso del vettore B e quindi, avendo scelto bene, ho ottenuto $+0.8$.
Se avessi scelto male avrei ottenuto $– 0.8$.
(Non so se mi sono spiegata. Nella mia testa è un po’ quando calcolo il verso delle correnti di una maglia sfruttando Kirchhoff: se ottengo il segno $+ 3$A allora la corrente gira nella maglia come ho scelto io, se ho ottengo $– 3$A allora la corrente gira in verso opposto).
Grazie in anticipo per il chiarimento.
Quando la corda viene tagliata, la molla lancia i due carrelli in verso opposto, e A si muove con velocità di 0.50 m/s.
Calcola la velocità del carrello B.
R. -0.80 m/s
Dati:
$m_A$ = 100 g = $1.0 * 10^-1$ Kg
$m_B$ = 50 g = $5.0 * 10^-2$ Kg
$v_A$ = 0 m/s
$V_A$ = 0.40 m/s
$v_B$ = 0 m/3
$V_B$ = ?
Svolgimento:
Ho supposto che
il carrello A va verso sinistra e che
il carrello B va verso destra
quindi la mia situazione è:
carrello A – molla – carrello B.
Pongo l'asse x che va verso sinistra quindi ho che
$v_A$ ha il segno +
$v_B$ ha il segno -
Applico il principio di conservazione della quantità di moto
$m_A * vec\v_A + m_B * vec\v_B = m_A vec\V_A + m_B vec\V_B$
$0 + 0 = = m_A * V_A - m_B * V_B$
$V_B = (m_A V_A) / m_B = + 0.8$ m/s
DOMANDA
Io mi aspettavo
$V_B = - 0.8$ m/s
perché ho posto l’asse x che va verso sinistra e il carrello B va verso destra.
Come posso giustificare il segno $+0.8$ che ho ottenuto?
Secondo me è perché ho scelto bene il verso del vettore B e quindi, avendo scelto bene, ho ottenuto $+0.8$.
Se avessi scelto male avrei ottenuto $– 0.8$.
(Non so se mi sono spiegata. Nella mia testa è un po’ quando calcolo il verso delle correnti di una maglia sfruttando Kirchhoff: se ottengo il segno $+ 3$A allora la corrente gira nella maglia come ho scelto io, se ho ottengo $– 3$A allora la corrente gira in verso opposto).
Grazie in anticipo per il chiarimento.
Risposte
LA componente di $vecV_B$ sull’asse $x$ è data da $-V_B$ , in quanto $V_B = 0.8 m/s$ è soltanto il modulo della velocità del carrello B. C’è la solita confusione tra vettori, componenti e moduli. Nel passare dall’equazione vettoriale giusta :
$ vec0 = m_A vec\V_A + m_B vec\V_B $
alla corrispondente equazione scalare, hai messo istintivamente il segno “$-$" :
$ 0 = m_A V_A - m_B V_B $
e quindi hai saltato il passo consistente nella moltiplicazione della equazione vettoriale per il versore $hati$ dell’asse $x$.
Ma se risolvi l’equazione vettoriale che hai scritto, senza prima proiettare sull’asse $x$ , hai :
$ vecV_B = - (m_A)/(m_B) vecV_A$
e questo segno “$-$” vuol dire semplicemente che il vettore $vecV_B$ ha verso opposto a quello di $vecV_A$; il suo modulo poi è uguale al modulo di $vecV_A$ moltiplicato per il rapporto $(m_A)/(m_B)$ .
Nota che risolvere l’equazione vettoriale elimina la necessità di scegliere a priori il verso positivo dell’asse $x$ .
$ vec0 = m_A vec\V_A + m_B vec\V_B $
alla corrispondente equazione scalare, hai messo istintivamente il segno “$-$" :
$ 0 = m_A V_A - m_B V_B $
e quindi hai saltato il passo consistente nella moltiplicazione della equazione vettoriale per il versore $hati$ dell’asse $x$.
Ma se risolvi l’equazione vettoriale che hai scritto, senza prima proiettare sull’asse $x$ , hai :
$ vecV_B = - (m_A)/(m_B) vecV_A$
e questo segno “$-$” vuol dire semplicemente che il vettore $vecV_B$ ha verso opposto a quello di $vecV_A$; il suo modulo poi è uguale al modulo di $vecV_A$ moltiplicato per il rapporto $(m_A)/(m_B)$ .
Nota che risolvere l’equazione vettoriale elimina la necessità di scegliere a priori il verso positivo dell’asse $x$ .
Ho capito perferttamente il tuo discorso ma...
a liceali che NON sono abituati a lavorare con i vettori e mettono subito i numeri con i segni
in base al fatto se i vettori che usano sono concordi o discorsi al sistema di riferimento,
la mia spiegazione del segno "+0.8" pure aspettandomi un "-0.8" è corretta?
(come si fa per la corrente?)
a liceali che NON sono abituati a lavorare con i vettori e mettono subito i numeri con i segni
in base al fatto se i vettori che usano sono concordi o discorsi al sistema di riferimento,
la mia spiegazione del segno "+0.8" pure aspettandomi un "-0.8" è corretta?
(come si fa per la corrente?)
E tu perché hai scritto innanzitutto una equazione vettoriale, se sei un liceale che non conosce i vettori e non sai come si ragiona con essi? No, non è giusta, perché hai stabilito istintivamente il verso di $vecV_B$ quando hai scritto la proiezione sull’asse $x$.
Perché se fossi una liceale forse questo problema non me lo sarei posto e tanto meno avrei usato una equazione vettoriale scritta in modo corretto.
Non ho usato l'istinto. Ho visto che $vecV_B$ è discorde al verso, scelto ad arbitro, dell'asse x e quindi gli ho dato il segno $-V_B$.
Sto chiedendo un consiglio didattico su come gestire al meglio l'argomento a livello liceale sfruttando i vettori ma... tenendo presente che hanno difficoltà a gestire equazioni formate da sole lettere.
Sei in grado di darmelo?
"Shackle":
hai stabilito istintivamente il verso di $vecV_B$ quando hai scritto la proiezione sull’asse $x$.
Non ho usato l'istinto. Ho visto che $vecV_B$ è discorde al verso, scelto ad arbitro, dell'asse x e quindi gli ho dato il segno $-V_B$.
Sto chiedendo un consiglio didattico su come gestire al meglio l'argomento a livello liceale sfruttando i vettori ma... tenendo presente che hanno difficoltà a gestire equazioni formate da sole lettere.
Sei in grado di darmelo?
Ascolta , dbh : sono dotato di molta pazienza, e rispondo sempre a tono a chi mi pone delle domande, ma non mi piace esser preso in giro. Evinco da ciò che scrivi che sei forse una insegnante, e ora mi chiedi un consiglio didattico su come far digerire equazioni vettoriali a dei liceali poco avvezzi a ragionare con questi mezzi. Avresti potuto, e forse dovuto ( per la netiquette del forum) spiegare subito lo scopo del tuo post, ma ti sei limitata a presentare un problema di conservazione della quantità di moto in una maniera che non è a livello liceale. Ti ho risposto adeguatamente, a livello della domanda, dandoti le spiegazioni necessarie.
Se rileggi quello che ti ho scritto, trovi i consigli didattici belli e pronti, già dati. Ancora non ti sei resa conto di ciò che ti ho detto, e cioè che $-V_B$ è una componente , non stai "dando un segno al vettore $vecV_B$ ” , per il semplice fatto che i vettori non hanno un segno, stai invece proiettando un’equazione vettoriale, e quindi i vettori coinvolti, su un asse.
Se sei in grado di far comprendere questo ai tuoi ragazzi, bene. Altrimenti non ho altro da consigliarti.
Ti saluto.
Se rileggi quello che ti ho scritto, trovi i consigli didattici belli e pronti, già dati. Ancora non ti sei resa conto di ciò che ti ho detto, e cioè che $-V_B$ è una componente , non stai "dando un segno al vettore $vecV_B$ ” , per il semplice fatto che i vettori non hanno un segno, stai invece proiettando un’equazione vettoriale, e quindi i vettori coinvolti, su un asse.
Se sei in grado di far comprendere questo ai tuoi ragazzi, bene. Altrimenti non ho altro da consigliarti.
Ti saluto.
Beh, se ti ho offeso chiedo scusa. Non prendo in giro nessuno. Non è mia intenzione.
Ho perso, credo da molti anni ormai, l'abitudine a lavorare con i vettori e dovendo usarli ho chiesto aiuto nel forum.
Premesso che un vettore è una grandezza caratterizzata da intensità, direzione e verso e che lo posso scrivere con le sue componenti ricordavo che
il vettore (3, 5) nel piano cartesiano Oxy ha
- la coda nell'origine,
e la testa
- si sposta a destra di 3 quadretti e
- sale di 5 quadretti.
Avendo trovato pertanto che la componente su x del vettore B è $V_{xB} =+0.8$ mi ha sorpreso perché mi aspettavo di trovare la componenete $V_{xB} =-0.8$.
Da qui lidea di scrivere nel forum per avere un chiarimento.
Ho perso, credo da molti anni ormai, l'abitudine a lavorare con i vettori e dovendo usarli ho chiesto aiuto nel forum.
Premesso che un vettore è una grandezza caratterizzata da intensità, direzione e verso e che lo posso scrivere con le sue componenti ricordavo che
il vettore (3, 5) nel piano cartesiano Oxy ha
- la coda nell'origine,
e la testa
- si sposta a destra di 3 quadretti e
- sale di 5 quadretti.
Avendo trovato pertanto che la componente su x del vettore B è $V_{xB} =+0.8$ mi ha sorpreso perché mi aspettavo di trovare la componenete $V_{xB} =-0.8$.
Da qui lidea di scrivere nel forum per avere un chiarimento.
Non mi sono offeso, sia chiaro, le offese sono un’altra cosa. Forse un po’ contrariato...sí.
Per tornare al problema, dovresti rinfrescarti un po’ le idee sui vettori , anzi sulle grandezze fisiche vettoriali, che cioè si possono esprimere usando appunto i vettori. Una equazione vettoriale sostituisce tre equazioni scalari, quindi in definitiva è anche più semplice da maneggiare, una volta capito come funziona, non c’è neppure bisogno di un sistema di riferimento. Il riferimento è però necessario quando devi lavorare con le componenti. E in certe circostanze, come quando tutti i vettori sono paralleli ad un asse ( come nel tuo caso) , è più immediato scrivere l’equazione usando fin da subito le componenti dei vettori sull’asse detto. Per esempio, nel caso in esame, scrivendo direttamente l’equazione tra componenti delle quantità di moto sull’asse $x$ , con la condizione che la loro somma deve essere uguale a quella iniziale, e cioè nulla, si ha subito :
$ 0 = m_AV_A + m_BV_B $
questa è una equazione tra componenti, e come vedi da essa ricavi che : $ V_B = - (m_A)/(m_B)V_A$
nella quale compare subito il famigerato segno “-“ , che prima abbiamo fatto un po’ fatica a ricavare. Però a volte questo modo di procedere può essere pericoloso nel senso che può indurre in errore. Allora ci vuole sempre il famoso grano di sale, per verificare che la soluzione trovata sia accettabile.
In altre circostanze, si può procedere alla maniera da te suggerita, nel senso che si assume per le quantità vettoriali incognite un certo verso , si risolvono le equazioni, e si verifica se il risultato ha il segno stabilito in fase di impostazione. Se il segno è positivo l’accordo c’è, e l’impostazione era corretta. Se il segno è negativo, vuol dire che l’impostazione non era corretta, cioè occorreva assumere il verso opposto.
Comunque, è sempre la pratica a fare da guida in moti casi.
Per tornare al problema, dovresti rinfrescarti un po’ le idee sui vettori , anzi sulle grandezze fisiche vettoriali, che cioè si possono esprimere usando appunto i vettori. Una equazione vettoriale sostituisce tre equazioni scalari, quindi in definitiva è anche più semplice da maneggiare, una volta capito come funziona, non c’è neppure bisogno di un sistema di riferimento. Il riferimento è però necessario quando devi lavorare con le componenti. E in certe circostanze, come quando tutti i vettori sono paralleli ad un asse ( come nel tuo caso) , è più immediato scrivere l’equazione usando fin da subito le componenti dei vettori sull’asse detto. Per esempio, nel caso in esame, scrivendo direttamente l’equazione tra componenti delle quantità di moto sull’asse $x$ , con la condizione che la loro somma deve essere uguale a quella iniziale, e cioè nulla, si ha subito :
$ 0 = m_AV_A + m_BV_B $
questa è una equazione tra componenti, e come vedi da essa ricavi che : $ V_B = - (m_A)/(m_B)V_A$
nella quale compare subito il famigerato segno “-“ , che prima abbiamo fatto un po’ fatica a ricavare. Però a volte questo modo di procedere può essere pericoloso nel senso che può indurre in errore. Allora ci vuole sempre il famoso grano di sale, per verificare che la soluzione trovata sia accettabile.
In altre circostanze, si può procedere alla maniera da te suggerita, nel senso che si assume per le quantità vettoriali incognite un certo verso , si risolvono le equazioni, e si verifica se il risultato ha il segno stabilito in fase di impostazione. Se il segno è positivo l’accordo c’è, e l’impostazione era corretta. Se il segno è negativo, vuol dire che l’impostazione non era corretta, cioè occorreva assumere il verso opposto.
Comunque, è sempre la pratica a fare da guida in moti casi.
"Shackle":
In altre circostanze, si può procedere alla maniera da te suggerita, nel senso che si assume per le quantità vettoriali incognite un certo verso , si risolvono le equazioni, e si verifica se il risultato ha il segno stabilito in fase di impostazione. Se il segno è positivo l’accordo c’è, e l’impostazione era corretta. Se il segno è negativo, vuol dire che l’impostazione non era corretta, cioè occorreva assumere il verso opposto.
Ecco! Questo è ciò che volevo dire con il mio +0.8
Ora ti sei spiegato super bene. GRAZIE!!!!!
Ora il difficile e far capire la tua frase a chi sta messo peggio di me e il cui prof vuole i vettori ma non gli ha spiegato questa cosa.
Fornirò questa spiegazione a chi mi ha chiesto l'esercizio a meno che tu mi dica di nuovo che sto sbagliando.
Con il cambio degli esami di maturità scientifica sembra che i docenti abbiano tutti una gran... voglia di precisione e dettagli e...
i libri delle superiori, a mio parere, sono poco dettagliati
1. sui vettori, che a appaiono su mezza riga di definizione e poi scompaiono nella applicazione della regola,
2. e sulle variazioni, per esempio, di energia potenziale. Partono con un delta U e poi... puf! Scopare e scrivono solo U.
Se proprio vuoi far capire il ragionamento a chi sta messo peggio di te (mi dispiace per loro, conosco certe situazioni...), devi accompagnarla con l’esempio del tuo stesso problema, e ti suggerisco di farlo cosí :
Abbiamo l' equazione vettoriale : $vec0 = m_avecV_a + m_b vecV_b$
nella quale abbiamo assunto arbitrariamente il verso del vettore $vecV_b$ uguale a quello di $vecV_a$ , cioè concorde con l’asse $x$. Sarà giusto ? Siccome i vettori velocità sono paralleli a tale asse, proiettiamola sull’asse, e scriviamo :
$0 = m_aV_a + m_bV_b$ [nota]come vedi, ho scritto anche $vec0 $ nella prima e solo $0$ nella seconda, perche $vec0$ è in realtà il vettore nullo[/nota]
e risolviamo questa . Otteniamo : $V_b = - m_a/m_b V_a$
Dunque, la componente di $vecV_b$ è negativa, essendo positiva la componente di $vecV_a$ (ora sí che possiamo parlare di segni, perchè stiamo ragionando con le componenti). Questo vuol dire che l’assunto iniziale , cioè $vecV_b$ concorde con $vecV_a$ e con l’asse $x$, era sbagliato.
Ma sei sicura che , con poche nozioni incamerate, capiscano questo ragionamento? Mi auguro di sí .
Abbiamo l' equazione vettoriale : $vec0 = m_avecV_a + m_b vecV_b$
nella quale abbiamo assunto arbitrariamente il verso del vettore $vecV_b$ uguale a quello di $vecV_a$ , cioè concorde con l’asse $x$. Sarà giusto ? Siccome i vettori velocità sono paralleli a tale asse, proiettiamola sull’asse, e scriviamo :
$0 = m_aV_a + m_bV_b$ [nota]come vedi, ho scritto anche $vec0 $ nella prima e solo $0$ nella seconda, perche $vec0$ è in realtà il vettore nullo[/nota]
e risolviamo questa . Otteniamo : $V_b = - m_a/m_b V_a$
Dunque, la componente di $vecV_b$ è negativa, essendo positiva la componente di $vecV_a$ (ora sí che possiamo parlare di segni, perchè stiamo ragionando con le componenti). Questo vuol dire che l’assunto iniziale , cioè $vecV_b$ concorde con $vecV_a$ e con l’asse $x$, era sbagliato.
Ma sei sicura che , con poche nozioni incamerate, capiscano questo ragionamento? Mi auguro di sí .
mi è piaciuto il tuo marcare l'attenzione su $vec\0$ (anche questa notazione nei libri di fisica liceale che ho consultato non mi sembra di averla mai trovata).
Proverò a far capire a questo ragazzo il tuo ragionamento.
Speriamo bene
Ti ringrazio per l'aiuto, la paziena ed il suggerimento.
La prossima volta che scriverò un nuovo post/thread dichiarerò subito che è un problema che mi è stato proposto da un liceale anche se io ho studiato un po' più di loro.
I vettori alle superiori si fanno poco e male ma... dall'anno scorso sembra che i prof stiano inizando a marcare l'attenzione su questo concetto. Io credo a causa del cambio di esame di maturità scientifica.
Io non tocco libri di fisica universitaria (facoltà di matematica) dal 2000 e ne sono sprovvista così... ora ho scoperto questo forum e... ho pensato di appoggiarmi a chi aiuta, più freschi di studi e bravi di me in fisica, per chiedere aiuto sui problemi che posso incontrare.
Proverò a far capire a questo ragazzo il tuo ragionamento.
Speriamo bene
Ti ringrazio per l'aiuto, la paziena ed il suggerimento.
La prossima volta che scriverò un nuovo post/thread dichiarerò subito che è un problema che mi è stato proposto da un liceale anche se io ho studiato un po' più di loro.
I vettori alle superiori si fanno poco e male ma... dall'anno scorso sembra che i prof stiano inizando a marcare l'attenzione su questo concetto. Io credo a causa del cambio di esame di maturità scientifica.
Io non tocco libri di fisica universitaria (facoltà di matematica) dal 2000 e ne sono sprovvista così... ora ho scoperto questo forum e... ho pensato di appoggiarmi a chi aiuta, più freschi di studi e bravi di me in fisica, per chiedere aiuto sui problemi che posso incontrare.
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